第十四屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題解析（五年級(jí)）

PAGEPAGE1第十四屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題（詳解（五年級(jí)組）時(shí)間：60分鐘 總分：120分（第1題～第5題，每題6分）1. 已知a344b55c66d則abcd?！敬鸢浮?【分析】方程+分?jǐn)?shù)計(jì)算可以求出a3b4c5d6，則abcd34563。2 3 4 5 2 3 4 5一個(gè)四位數(shù)是25的整數(shù)倍，其各位數(shù)字之和是25，這個(gè)四位數(shù)是 ?！敬鸢浮?925、4975、5875、6775、7675、8575、9475【分析】整除性+00：不存在；25：9925，150：不存在；末兩位75：4975，5875，6775，7675，8575，9475，共6個(gè)；（2772，515919395，97，所得的積都是回文數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)是 ?！敬鸢浮?5【分析】整除+數(shù)位分析不妨令這個(gè)兩位數(shù)為ab，因?yàn)閍b95得到的乘積是回文數(shù)，所以，乘積首末位數(shù)字為5，b是奇數(shù)，ab955cc5，（估算又因?yàn)?553503595656175（可以試出95555225）說(shuō)明ab53～65之間；又因?yàn)?，四位回文?shù)一定是11的倍數(shù)，因此，只能是ab55。4. 172015215的余數(shù)是 ?！敬鸢浮?【分析】余數(shù)：可計(jì)算性因?yàn)閛d15，241mod15，22015238od151720152826od15余數(shù)為6。5%215000股，當(dāng)天股10%5000股。如果不計(jì)后續(xù)費(fèi)等費(fèi)用，小李買賣這個(gè)股票了元。（注：第一個(gè)括號(hào)內(nèi)填盈利或虧損）【答案】盈利，600【分析】百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題買入價(jià)：21元/5%，可以求出原股價(jià)215%20元/股；206%19.2元/股；第二天賣出價(jià)：19.2110%21.12元/股；因?yàn)?1.1221，所以，一共賺了21.12215000600元。（第6題～第10題，每題8分）2448216平方厘米。這根木料最多能鋸出 個(gè)這樣的正方體（注：每鋸一次會(huì)損耗木料2毫米）【答案】11【分析】長(zhǎng)、正方體表面積可以求出截面積為2166362448366820.2680.260.211（植樹(shù)問(wèn)題，11段。7. A11111!11B111!1，2 3 4

99

50 51 52 99則A B（填<、>、=，它們相差 （大數(shù)減小數(shù)。1【答案】A B，50【分析】分?jǐn)?shù)計(jì)算+整體代換A1111!112?111!1?2 3

99

2 4

100??1111!11?111!1?2 3 4 99 100 2 3 50B1111!11?111!1?2 3 4 99 100 2 3 491所以，A B，相差一個(gè) 。50三位數(shù)n是一個(gè)完全平方數(shù)它每一位上的數(shù)字和也恰好是一個(gè)完全平方數(shù)這樣的三位數(shù)共有 個(gè)。【答案】13【分析】數(shù)論綜合：平方數(shù)+估算+余數(shù)為方便說(shuō)明，假設(shè)a2n，因?yàn)?12961，3221024，所以，10a31；三位數(shù)的數(shù)字和最大為27，因此n的數(shù)字和可能是25、16、9、4、1；數(shù)字和為1：102100，共1個(gè)；4：11212120240029（9的倍數(shù)）122144，152225，182324，212441，302900，共5個(gè)；16（167od9，所以a4od9a5od9）132169，142196，222484，232529，312961，共5個(gè)；數(shù)字和為25（同理257od9，所以a4od9，a5od9）沒(méi)有滿足條件的； 因此，一共有125513個(gè)。7動(dòng)一次這間展室的電燈開(kāi)關(guān)。如果開(kāi)始時(shí)7間展室都亮著燈，那么他走過(guò)100間展室后，還有 間展室亮著燈。【答案】3【分析】周期問(wèn)題+奇偶性從第一間出發(fā)到第七間，再回到第二間可以看作一個(gè)周期，1 2 3 4 5 6

一個(gè)周期走過(guò)12個(gè)房間，1號(hào)與7號(hào)房間撥動(dòng)1次開(kāi)關(guān)，2號(hào)～6號(hào)房間撥動(dòng)2次開(kāi)關(guān)，即一個(gè)周期后1號(hào)、7號(hào)狀態(tài)改變1次，2號(hào)～6號(hào)房間狀態(tài)不變；100128!4，8個(gè)周期后，依然是全亮的；再走過(guò)4個(gè)房間，4個(gè)房間就都暗了，因此，最后還有3間展室亮著燈。若三角形ABC中有一個(gè)內(nèi)角是30度且可以將三角形ABC分成兩個(gè)等鈍角三角形，則另兩個(gè)內(nèi)角是 度（請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的情況）【答案】15°，135°或者10°，140°【分析】角度問(wèn)題：等腰三角形的分割可以按照內(nèi)角30度是否被分割來(lái)分類，如果30度內(nèi)角不被分割，如下圖：60°30°60°30°另一個(gè)三角形有一個(gè)60°的內(nèi)角，此種情況不符合題意；150°30°120°此種情況可以求出另外兩個(gè)內(nèi)角為15°，135°；如果30度內(nèi)角被分割，如下圖：adaadaca2bd180!a2b，且ab30!；a20!b10!140°；綜上所述：有兩種情況，另兩個(gè)內(nèi)角分別為15°，135°或者10°，140°。（第11題～第15題，每題10分）11.已知11212S3123S41234512345…，那么12S3!299 ?！敬鸢浮?50【分析】數(shù)列巧算+奇偶性正負(fù)數(shù)（或取整）1S21S32S42S53S63，……規(guī)律比較明顯，可知12S3S4!2980，且S?n?（向上取整，所以，S 2992150。n 2

299AB地，30AB20分1鐘追上了甲，丙在行完全程的5

時(shí)，也追上了甲。乙到達(dá)B地后立即加速返回，速度比原來(lái)提高了20%。當(dāng)乙、丙兩人相遇時(shí)，甲與他們相距1530米。已知丙的速度是甲的2倍，甲平均每分鐘走 米?！敬鸢浮?56【分析】多人行程+比例+分?jǐn)?shù)應(yīng)用3020甲:T乙52因?yàn)槁烦滔嗤?，所以，V甲乙25；丙行完全程的15

時(shí)追上甲，且丙的速度是甲的

2倍：1，1030分鐘，行了全程的1300分鐘；10丙走全程需要150分鐘；根據(jù)（1（2）120分鐘；同時(shí)求出V甲:V乙:V丙2:5:4，B4211全程；甲丙甲丙15乙A B20%，此時(shí)V甲:V乙:V丙2:5120%:42:6:41:3:2，B122全程的地方相遇，5 23 25此時(shí)丙走了全程的325

，甲又走了全程的3，50此時(shí)甲與乙丙之間相距全程的43?13?9，5 25 2 5025因此，全程為153094250米，甲的速度為425030085米/分。25 64121賽過(guò)程共有種?！敬鸢浮?0【分析】計(jì)數(shù)綜合：排列組合因?yàn)槎际前凑?號(hào)到4號(hào)的順序出場(chǎng)，我們可以用4個(gè)白球代表一班隊(duì)員，4個(gè)黑球代表二班隊(duì)員，以下給出一兩種情況進(jìn)行解釋：（1）可以看作一班1號(hào)隊(duì)員贏了二班所有隊(duì)員；（2）可以看作一班1號(hào)隊(duì)員輸了，2號(hào)隊(duì)員出場(chǎng)贏了二班所有隊(duì)員；（3）可以看作一班1號(hào)隊(duì)員贏了二班前3名隊(duì)員，輸給了二班4號(hào)隊(duì)員，一班2號(hào)隊(duì)員取得勝利；如上，可以將題目轉(zhuǎn)換為4個(gè)白球和4個(gè)黑球的排列問(wèn)題：因?yàn)榍虿o(wú)順序，因此可以通過(guò)組合算出有C4C4876570種。8 4 4321ABCD52DEFCBEAOB17AOEBOF的面積之和是 。AODAOFB C【答案】18【分析】代數(shù)分析+面積公式

mA Day E17 O xbz FaB n CDEFCaEFbADmBCn，已知SΔAOB17，令SΔEOFxSΔAOEySΔBOFz，利用面積公式進(jìn)行分析：

ABCD

mn2ab52……（12

F

abm，2

C

abn，2由題意得：SΔADFSΔBECxSABCDSΔAOB，即abmabnx521735……（2）2 2mn2ab

3 將（1 ?mnab2x

4，（3（4）amn2x34amnx17……（52而S

amanamn，ΔADE

ΔBCF 2 2 2所以，根據(jù)（5）可以得出SΔADESΔBCFSΔEOF17，xySDSBSESCFSF52171718在ABC!8這道有余數(shù)的除法算式中ABC2994那么A 。【答案】8或2864【分析】整數(shù)數(shù)論+因式分