2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題第I卷（選擇題，共60分）一、單選題（共8小題，每題5分，共40分）1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B.i C.3 D.3i【正確答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法化簡復(fù)數(shù)，即可知虛部.【詳解】，故其虛部為1.故選：A2.已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如右圖所示的直觀圖，其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一個(gè)A.等邊三角形 B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【正確答案】ABC=2.AOBCBC=2.AOBC=AB=.AC=OBC=2.AOBC,且AO=2A′O′=AB=.AC=AB=AC=2.故△ABC等邊三角形3.已知一個(gè)圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為60°，則圓錐的高為（）A. B. C.20cm D.10cm【正確答案】D【分析】畫出圖形，利用余弦值求出圓錐的高.【詳解】如圖，由題意得：，BC=20cm，則cm.故選：D4.如圖，在中，C為BD的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用向量加，減，數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】.故選：D5.在中，，，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】由余弦定理可得，即，，解得.故選：B.6.把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的半徑為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積關(guān)系即可得出半徑【詳解】因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，所以圓柱的高為，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，故選：C7.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】化簡得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】，.故選：C8.如圖，從無人機(jī)上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機(jī)的高度是，則此時(shí)峽谷的寬度是（）A60 B. C.30 D.【正確答案】A【分析】利用銳角三角函數(shù)，得到，，進(jìn)而利用，即可得到答案.【詳解】由已知得，得到，，故選：A二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）．A.模等于1個(gè)單位長度的向量是單位向量，所有單位向量均相等B.已知平面內(nèi)的一組基底，，則向量，也能作為一組基底C.已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為D.已知，i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則【正確答案】BC【分析】結(jié)合單位向量、向量的基底、投影向量、虛數(shù)等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A，雖然單位向量模長相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，A錯(cuò)誤；對于B，∵，為一組基底，∴，不共線，∴，也不共線，∴，也可以作為一組基底，B正確；對于C選項(xiàng)，，兩邊平方得，，所以在方向上的投影向量為，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選BC．10.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，若，則（）A.z的實(shí)部是1 B.z的虛部是 C. D.【正確答案】AC【分析】依題意根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)與模，即可判斷；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，的?shí)部為，虛部為；故選：AC11.已知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D若，，，則【正確答案】ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)?，所以，即，整理可得，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確.故選：ACD.12.在圓錐中，C是母線上靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)，，底面圓的半徑為r，圓錐的側(cè)面積為，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為B.當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐側(cè)面一周的最小長度為C.當(dāng)時(shí)，圓錐的外接球表面積為D.當(dāng)時(shí)，棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【正確答案】BCD【分析】依題意可得，對于A，利用余弦定理求出，即可判斷為鈍角，從而求出截面面積最大值，對于B、C、D，首先求出圓錐的高，將圓錐的側(cè)面展開，化曲為直，利用余弦定理計(jì)算最小值，即可判斷B，求出外接球的半徑，即可求出外接球的表面積，從而判斷C，再求出圓錐的內(nèi)切球的半徑與正四面體的外接球的半徑，即可判斷D；【詳解】解：依題意可知，所以．對于A選項(xiàng)，，所以，所以為鈍角，所以過頂點(diǎn)和兩母線的截面三角形的最大面積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對于BCD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，圓錐的高為．以下分析BCD選項(xiàng)：側(cè)面展開圖的弧長為，所以圓心角．所以，B選項(xiàng)正確．設(shè)圓錐的外接球的球心為，半徑為，所以，解得，所以外接球的表面積為，C選項(xiàng)正確．棱長為的正四面體如下圖所示，正方體的邊長為，體對角線長為，所以棱長為的正四面體的外接球半徑為．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，所以，所以棱長為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D選項(xiàng)正確．故選：BCD第II卷（選擇題，共90分）三、填空題（共4小題）13.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)___________.【正確答案】【分析】化簡得到，再計(jì)算模長得到答案.【詳解】，則.故答案為.14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，那么的最大內(nèi)角的余弦值為________.【正確答案】【分析】由邊的大小關(guān)系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【詳解】角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，則是最大角，則，故答案為.本題考查三角形中的邊角關(guān)系，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于簡單題.15.已知向量，是兩個(gè)不共線的向量，且，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)__________．【正確答案】1【分析】由三點(diǎn)共線可令且，結(jié)合已知有，即可求m值.【詳解】由，，三點(diǎn)共線，可令且，∴，綜上，，可得.故116.如圖所示，一個(gè)由圓錐和圓柱組成的玻璃容器，中間聯(lián)通（玻璃壁厚度忽略不計(jì)），容器中裝有一定體積的水，圓柱高為10，底面半徑為3，圓錐高為，底面半徑大于圓柱，左圖中，圓柱體在下面，液面保持水平，高度為，右圖中將容器倒置，水恰好充滿圓錐，則圓錐底面的半徑為________．【正確答案】【分析】根據(jù)前后體積一致，列出計(jì)算式即可求解.【詳解】,解得.故四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.（1）若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，求m的值；（2）若，求m的值.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)純復(fù)數(shù)的定義:實(shí)部為0，虛部不等于0，列出方程即可求解.（2）設(shè)，代入式子化簡，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等充要條件即可列出式子進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以滿足，解得:或.【小問2詳解】設(shè)，則，將其代入，則，整理得:，且，解得:，或，或，解得:18.已知向量與的夾角，且．（1）求（2）在上的投影向量；（3）求向量與夾角的余弦值．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先求出，可求得;（2）根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可；（3）利用向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】，，所以；【小問2詳解】在上的投影向量為∶；【小問3詳解】，則，即向量與夾角的余弦值為．19.如圖，已知點(diǎn)A，B，M，N同一平面內(nèi)，且，，，，.（1）求MN的長；（2）求△AMN的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）連接，根據(jù)余弦定理得到，確定，利用勾股定理計(jì)算得到答案.（2）分別計(jì)算，，，面積相減得到答案.【小問1詳解】如圖所示：連接，則，，則，則，.【小問2詳解】，，，故.20.如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時(shí)的速度沿著直線追擊（1）當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里（2）問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正確答案】（1）兩船相距海里.（2）巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【小問1詳解】由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里.【小問2詳解】當(dāng)巡邏艇經(jīng)過小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.21.已知（1）當(dāng)k為何值時(shí)，與共線？（2）若，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，由三點(diǎn)共線可得與共線，列出方程，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)樗?，，因?yàn)榕c共線，所以，解得.【小問2詳解】因?yàn)樗?，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線，即，解得.22.如圖，在中，D，E在BC上，，，．（1）求的值；（2）求面積的取值范圍．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，然后利用正弦定理即得；（2）設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結(jié)合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【小問1詳解】因?yàn)?，，，所以，，故，即，則在中，根據(jù)正弦定理可得，；【小問2詳解】設(shè)，則，由解得，在中，，則，，由，得，則，故面積的取值范圍為．2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3i-2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．一個(gè)田徑隊(duì)，有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人，比賽后，立即用分層抽樣的方法，從全體隊(duì)員中抽出一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查，其中男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽的人數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，用斜二測畫法所畫的一個(gè)平面圖形的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形O'A'B'C'，則原平面圖形的周長為（）A．10a B．8a C．6a D．4a4．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)．則（）A． B． C． D．5．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m6．卡拉夫金字塔（如圖1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像，是世界上最緊密的建筑之一。從外側(cè)看，金字塔的形狀可以抽象成一個(gè)正四棱錐（如圖2），其中，點(diǎn)E為SB的中點(diǎn)，則SA，CE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知三棱錐S﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝，SC＝AB＝，則球O的體積是（）A． B． C． D．8．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝5，點(diǎn)O為其外接圓的圓心，已知，則邊a＝（）A．5 B．6 C．7 D．8二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列四個(gè)命題中正確的是（）A．若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個(gè)平面 B．若兩條直線相交，則這兩條直線確定一個(gè)平面 C．若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不共線 D．若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線10．為豐富老年人的業(yè)余生活，某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個(gè)興趣社團(tuán)，該小區(qū)共有2000名老年人，每位老人依據(jù)自己興趣愛好最多可參加其中一個(gè)，各個(gè)社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社的老人有8名，參加太極拳社團(tuán)的有12名，則（）A．這五個(gè)社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100 B．脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20% C．這五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4% D．從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40%11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，有如下命題，其中正確的是（）A．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形 B．若sinA＞sinB，則A＞B C．若，則△ABC是鈍角三角形 D．若a3+b3＝c3，則△ABC為銳角三角形12．已知圓錐的底面半徑為1，高為，S為頂點(diǎn)，A，B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A．圓錐的體積為π B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為 C．圓錐截面SAB的面積的最大值為 D．從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無彈性細(xì)繩的最短長度為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則|z﹣3i|的最大值為．14．已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則．15．如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是．16．已知三棱錐P﹣ABC的棱長均為4，先在三棱錐P﹣ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1，然后再放入一個(gè)球O2，使得球O2與球O1及三棱錐P﹣ABC的三個(gè)側(cè)面都相切，則球O2的表面積為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知復(fù)數(shù)z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，m∈R．（1）當(dāng)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求m的取值范圍．18．在斜三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC．（1）求角A的大??；（2）若a＝2，且BC上的中線AD長為，求斜三角形ABC的面積．19．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，對角線AC交BD于點(diǎn)O，點(diǎn)M在AB上，且滿足OM⊥BD．（1）求的值；（2）若N為線段AC上任意一點(diǎn)，求的最小值．20．如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路（長度均超過2千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M，N，從觀景臺P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM＝2千米，AN＝2千米．（1）求線段MN的長度；（2）若∠MPN＝60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值．21．如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．（1）求三棱錐B﹣AB1E的體積；（2）若E是DD1的中點(diǎn)，求證：BF∥平面AB1E．22．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB＝2．（1）求證：AC⊥平面BDEF；（2）求BC與平面AEF所成角的正弦值． 答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．選：B．2．選：A．3．解：由直觀圖還原得到原圖形，如圖，∴OA＝BC＝a，OB＝2a，∠BOA＝90°，∴AB＝OC＝3a，原圖形的周長為8a，故選：B．4．解：因?yàn)椤鰽BC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，所以＝＝＝＝，故選：A．5．解：由題可得∠ACB＝30°，所以，則AC＝120，在△ABC中，∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∠ABC＝105°，由正弦定理可得，即，解得．故選：D．6．選：C．7．解：將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為a，b，c，如圖所示：則，故a2+b2+c2＝8，球O的半徑R＝＝，故體積為πR3＝．故選：D．8．解：如圖，∵c＝5，O為△ABC的外接圓圓心，∴＝＝＝，∴a2＝49，a＝7．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分）9．解：公理2的推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)A正確；公理2的推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面，選項(xiàng)B正確；空間四點(diǎn)不共面，則其中任何三點(diǎn)不共線，否則由公理2的推論1：直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這空間四點(diǎn)共面，所以選項(xiàng)C正確；若兩條直線沒有公共點(diǎn)，可以互相平行，不一定是異面直線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．解：由于參加朗誦社團(tuán)的同學(xué)有8名，該社團(tuán)人數(shù)占比為10%，∴社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人，故A錯(cuò)誤；合唱團(tuán)人數(shù)為80×30%＝24，舞蹈社團(tuán)人數(shù)為80×25%＝20人，∴脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為80﹣24﹣12﹣20﹣8＝16，∴脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占有五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的＝20%，故B正確；五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的＝4%，故C正確；脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%，舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%，∴這兩個(gè)社團(tuán)人數(shù)占五個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的45%，∴從這五個(gè)社團(tuán)中任選一人，其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．解：由sin2A＝sin2B可得2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，A錯(cuò)誤；若sinA＞sinB，則a＞b，所以A＞B，B正確；若，則C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，C正確；D項(xiàng)：a3+b3＝c3，則c最大，1＝（）3+（）3＜（）2+（）2，∴a2+b2＞c2，∴C為銳角，又知C為最大角，∴△ABC為銳角三角形，D正確．故選：BCD．12．解：對于A：因?yàn)閳A錐的底面半徑為1，高為，所以體積，故A正確；對于B：設(shè)圓錐的母線為l，則，設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為θ，由弧長公式得：lθ＝2πr，即2θ＝2π，解得：θ＝π，故B錯(cuò)誤；對于C：顯然當(dāng)圓錐截面SAB為軸截面時(shí)，其面積最大，此時(shí)，故C正確；對于D：由B可得該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，所以從點(diǎn)A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點(diǎn)A的無彈性細(xì)繩的最短長度為4，故D錯(cuò)誤；故選：AC．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．解：滿足|z|＝1的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，|z﹣3i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（0，3）的距離，如圖：則|z﹣3i|的最大值為4．故4．14．-18．15．解：在圖2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面積為S＝﹣＝，高為2，∴四棱柱的體積為V＝2a×＝，設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h，則V＝＝，解得h＝．∴圖1中容器內(nèi)水面的高度是．故．16．解：如圖所示：依題意得，底面ABC的外接圓半徑為，點(diǎn)P到平面ABC的距離為，所以，所以，設(shè)球O1的半徑為R，所以，則，得，設(shè)球O2的半徑為r，則，又，得，所以球O2的表面積為．故．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解：（1）∵z是純虛數(shù)，∴2m2﹣m﹣1＝0且m2+2m﹣3≠0，解得；（2）∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，∴，解得﹣3＜m＜﹣．故m的取值范圍為（﹣3，﹣）．18．解：（1）∵asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC，∴由正弦定理可得，a2+4bc?cos2A＝b2+c2，∴cos2A＝＝cosA，∵三角形ABC為斜三角形，∴∠A不為直角，即cosA≠0，∴cosA＝，又∵A∈（0，π），∴A＝；（2）∵A＝，a＝2，∴由余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc，①∵BC上的中線AD長為，可得BD＝CD＝1，∴在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC＝，又∵cos∠ADB＝cos（π﹣∠ADC）＝﹣cos∠ADC，∴＝﹣，整理可得b2+c2＝8，②∴由①②解得b＝c＝2，∴S△ABC＝bcsinA＝＝．19．解：方法一（1）在梯形ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2OC，∴＝＝＝；（2）令，＝則，即，＝令，則，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值．方法二（1）以