河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）②（含解析）

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一．整式的加減（共1小題）

1．（2023河北二模）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對(duì)稱數(shù)”，如555，323，191都是“對(duì)稱數(shù)”．

（1）請(qǐng)你寫出2個(gè)“對(duì)稱數(shù)”；

（2）嘉琪說(shuō)：“任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．”他的說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

二．分式的混合運(yùn)算（共1小題）

2．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為．

（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；

（2）請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式．

三．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

3．（2023河北二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）若在y軸上有點(diǎn)P，使得S△PAB＝5，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線DC的解析式．

四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

4．（2023古冶區(qū)二模）如圖1是嘉嘉做“探究拉力F與斜面高度h的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置，一個(gè)高度可自動(dòng)調(diào)節(jié)的斜面上，斜面的初始高度為0.1m，兩個(gè)相同彈簧測(cè)力計(jì)分別拉著質(zhì)量不同的木塊，圖2是電腦軟件顯示的拉力F與斜面高度h的關(guān)系圖象．

（1）分別求AC和BC段的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明點(diǎn)C的意義；

（2）當(dāng)兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相差0.4N時(shí)，求斜面h的高度．

五．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）

5．（2023藁城區(qū)二模）已知拋物線G：y＝ax2﹣2ax+a+m（a，m均為常數(shù)，且a≠0），G交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P在拋物線G上，連接CP，且CP平行于x軸．

（1）用a表示m，并求拋物線G的對(duì)稱軸及P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)拋物線G經(jīng)過（﹣1，3）時(shí)，求G的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如果把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”．

如圖，當(dāng)a＞0時(shí)，若拋物線G位于線段CP下方的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個(gè)“整點(diǎn)”，求a的取值范圍．

六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

6．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）如圖，拋物線L1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A（﹣2，0），其頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），將拋物線L1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L2，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求拋物線L1的表達(dá)式；

（2）試用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出拋物線L2的表達(dá)式；

（3）若直線y＝t（t為常數(shù)）與拋物線L1，L2均有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍；

七．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

7．（2023橋西區(qū)二模）如圖1公園的一組同步噴泉由間隔2米的6個(gè)一樣的噴泉組成，呈拋物線形的水流從垂直于地面且高為1m的噴嘴中向同一側(cè)噴出，其最高點(diǎn)隨時(shí)間勻速變化，發(fā)現(xiàn)由最高變?yōu)樽畹陀脮r(shí)5S，然后從最低變?yōu)樽罡撸钟脮r(shí)5s，重復(fù)循環(huán)．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，變化的拋物線的對(duì)稱軸始終為直線x＝1，水流最高時(shí)距地面2m，水流在地面的落點(diǎn)距噴嘴最遠(yuǎn)水平距離為3m．

（1）求水流最高時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式；

（2）水流最低時(shí)，對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在噴泉水流高低變化過程中，水流始終經(jīng)過對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）當(dāng)水流最高時(shí)，淇淇以2m/s的速度從噴泉最高處的正下方跑過，若淇淇的身高為1.6m，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明，他是否會(huì)被淋濕？

八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

8．（2023邢臺(tái)二模）如圖，在△ABC和△DBE中，，∠A＝∠BDE＝60°，DE邊交BC邊于F點(diǎn)，且∠ABD＝∠CBE．

（1）求證：△ABC≌△DBE；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AC邊上，若∠DBF＝15°，求CD的長(zhǎng)．

九．三角形綜合題（共1小題）

9．（2023路北區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，過點(diǎn)B作BE⊥AB，且BE＝3，點(diǎn)D在線段AC上，AD＝1，連接DE，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△BFE≌△CFD；

（2）若AB＝，求證：點(diǎn)D在∠ABC的平分線上；

（3）連接BD，若△BDE是等腰三角形，直接寫出AB的長(zhǎng)．

一十．四邊形綜合題（共1小題）

10．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）探索與發(fā)現(xiàn)．

小張同學(xué)在用作圖軟件探索圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)行如下操作：如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的AB邊上取定點(diǎn)E，使AE＝2，在AD邊上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P，連接PE，以PE為邊在AB的上方作正方形PEFG，連接AF，BF．

（1）小張同學(xué)通過觀察發(fā)現(xiàn)圖中∠APE＝∠FEB，請(qǐng)給出證明；

（2）探索過程中發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△AFB的面積是個(gè)定值，請(qǐng)證明并求出這個(gè)定值；

（3）進(jìn)一步探索后發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，△AFB的周長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)P位置的變化而變化，但存在一個(gè)最小值，請(qǐng)你求出△AFB周長(zhǎng)的最小值．

一十一．切線的性質(zhì)（共1小題）

11．（2023古冶區(qū)二模）淇淇受古代“石磨”（如圖1）這種“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”動(dòng)力傳輸工具的啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖2，兩個(gè)固定長(zhǎng)度的連桿AP，BP的連接點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON．當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)B恰好落在⊙O上，如圖3．請(qǐng)僅就圖3的情形解答下列問題．

（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；

（2）若⊙O的半徑為5，，求BP的長(zhǎng)．

一十二．圓的綜合題（共1小題）

12．（2023橋西區(qū)二模）如圖1，經(jīng)過Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，圓心O在斜邊AB上，AC＝4，直徑AB所對(duì)的弧長(zhǎng)為長(zhǎng)的3倍，將等腰Rt△ADE的直角頂點(diǎn)D放置在邊BC上，EF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）∠ABC＝°；

（2）求證：△ACD≌△DFE；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

一十三．相似形綜合題（共1小題）

13．（2023古冶區(qū)二模）如圖1，矩形ABCD中，BD為對(duì)角線，，．

（1）求AB的長(zhǎng)和∠ADB的度數(shù)．

（2）如圖2，若點(diǎn)E是矩形AD邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F沿BD以2cm/s的速度從B向D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

①求t為何值時(shí)，以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？

②作點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P，當(dāng)PE⊥BD時(shí)，直接寫出t的值．

一十四．列表法與樹狀圖法（共4小題）

14．（2023邢臺(tái)二模）問題在甲、乙兩個(gè)不透明的盒子里分別裝有完全相同的3個(gè)球和2個(gè)球，甲盒中3個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，乙盒中2個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2；現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中分別摸出一個(gè)球，求恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同的概率．

嘉淇用畫樹狀圖法進(jìn)行求解，過程如下：一共有四種等可能結(jié)果，其中恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同有（1，1），（2，2）兩種等可能結(jié)果，因此P（恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同）④

（1）已知嘉淇的解法是錯(cuò)誤的，他開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是；

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法給出正確的求解過程．

15．（2023路北區(qū)二模）有四個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)注﹣2，﹣1，1，3這四個(gè)數(shù)字，把標(biāo)注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機(jī)拿出兩個(gè)小球，所標(biāo)數(shù)字和的絕對(duì)值為k的概率記作Pk（如：P3是任取兩個(gè)數(shù)，其和的絕對(duì)值為3的概率）

（1）用列表法求P1；

（2）張亮認(rèn)為：“Pk的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)．”你認(rèn)為張亮的想法正確嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明；

（3）能否找到概率Pi，Pj，Pm（i＜j＜m），使Pi+Pj+Pm＝0.5．若能找到，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不能找到，請(qǐng)說(shuō)明理由．

16．（2023橋西區(qū)二模）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)處各有一個(gè)圈．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后若正面朝上，就沿正方形的邊順時(shí)針移動(dòng)到下一個(gè)圈：若反面朝上，就沿正方形的對(duì)角線移動(dòng)到對(duì)角的圈．例如，若從圈A開始，第一次擲出正面，就順時(shí)針移動(dòng)到圈B：若第二次擲出反面，就移動(dòng)到對(duì)角的圈D．若甲從圈A開始．

（1）拋擲一次硬幣，甲移動(dòng)到圈C的概率為；

（2）拋擲兩次硬幣，用畫樹狀圖的方法求甲移動(dòng)到圈D的概率；

（3）拋擲三次硬幣，甲移動(dòng)到圈B與回到圈A的可能性一樣嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

17．（2023安次區(qū)二模）某工廠進(jìn)行廠長(zhǎng)選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”、“良好”、“合格”、“不合格”．

（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為，“合格”人數(shù)的百分比為；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為；

（4）在“優(yōu)秀”中有甲、乙、丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，利用列表或樹狀圖，求剛好抽中甲、乙兩人的概率．

河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（提升題）②

參考答案與試題解析

一．整式的加減（共1小題）

1．（2023河北二模）一個(gè)三位正整數(shù)，將它的個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置，所得的新數(shù)恰好與原數(shù)相同，我們把這樣的三位正整數(shù)稱為“對(duì)稱數(shù)”，如555，323，191都是“對(duì)稱數(shù)”．

（1）請(qǐng)你寫出2個(gè)“對(duì)稱數(shù)”；

（2）嘉琪說(shuō)：“任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．”他的說(shuō)法是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）616，626；

（2）正確，理由見解析．

【解答】解：（1）由題意可得，

“對(duì)稱數(shù)”為616，626；

（2）正確，理由：

設(shè)一個(gè)對(duì)稱數(shù)為100a+10b+a，

由題意可得，（100a+10b+a）﹣（a+b+a）＝101a+10b﹣2a﹣b＝99a+9b，

∵99a+9b能被9整除，

∴任意一個(gè)“對(duì)稱數(shù)”減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果都是9的倍數(shù)．

二．分式的混合運(yùn)算（共1小題）

2．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為．

（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；

（2）請(qǐng)證明（1）中的數(shù)學(xué)關(guān)系式．

【答案】（1）；

（2）見解析．

【解答】解：（1）由題意得：加入m克糖后糖水濃度為：，

由糖水變甜可知：，

故答案為：；

（2）利用作差法比較大?。?/p>

．

∵m＞0，b＞a＞0，

∴b﹣a＞0，b+m＞0，即，

∴，即．

三．待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式（共1小題）

3．（2023河北二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若將△DAB沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)C處．

（1）求線段AB的長(zhǎng)；

（2）若在y軸上有點(diǎn)P，使得S△PAB＝5，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線DC的解析式．

【答案】（1）5；（2）（0，）或（0，）；（3）C（8，0），直線CD的解析式為y＝x﹣6．

【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，

∴B（0，4）．

∴OB＝4

令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，

∴A（3，0）．

∴OA＝3．

在Rt△OAB中，AB＝＝5；

（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，則|4﹣y|×3＝5，

解得y＝或，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

（3）OC＝OA+AC＝3+5＝8，

∴C（8，0），

設(shè)OD＝x，則CD＝DB＝x+4．

在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，

∴D（0，﹣6）．

設(shè)CD的解析式為y＝kx﹣6，將C（8，0）代入得：8k﹣6＝0，解得：k＝，

∴直線CD的解析式為y＝x﹣6．

四．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

4．（2023古冶區(qū)二模）如圖1是嘉嘉做“探究拉力F與斜面高度h的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置，一個(gè)高度可自動(dòng)調(diào)節(jié)的斜面上，斜面的初始高度為0.1m，兩個(gè)相同彈簧測(cè)力計(jì)分別拉著質(zhì)量不同的木塊，圖2是電腦軟件顯示的拉力F與斜面高度h的關(guān)系圖象．

（1）分別求AC和BC段的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明點(diǎn)C的意義；

（2）當(dāng)兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相差0.4N時(shí)，求斜面h的高度．

【答案】（1）AC段的函數(shù)關(guān)系式為F1＝10h；BC段的函數(shù)關(guān)系式為F2＝5h+1.5；點(diǎn)C為表示當(dāng)斜面高度為0.3m時(shí)，兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相同；

（2）0.22m或0.38m．

【解答】解：（1）由圖可知，點(diǎn)A（0.1，1），C（0.3，3），

設(shè)AC段的函數(shù)關(guān)系式為F1＝kh+d（k≠0），

則，

解得，

∴AC段的函數(shù)關(guān)系式為F1＝10h；

由圖可知B（0.1，2）和C（0.3，3），設(shè)BC段的函數(shù)關(guān)系式為F2＝ah+b（a≠0），

則，

解得，

∴BC段的函數(shù)關(guān)系式為F2＝5h+1.5，

點(diǎn)C為表示當(dāng)斜面高度為0.3m時(shí)，兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相同；

（2）當(dāng)兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相差0.4N時(shí)，

得：|5h+1.5﹣10h|＝0.4，

即5h+1.5﹣10h＝0.4或10h﹣5h﹣1.5＝0.4，

解得h＝0.22或h＝0.38，

∴當(dāng)兩個(gè)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力相差0.4N時(shí)，斜面h為的高度為0.22m或0.38m．

五．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）

5．（2023藁城區(qū)二模）已知拋物線G：y＝ax2﹣2ax+a+m（a，m均為常數(shù)，且a≠0），G交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P在拋物線G上，連接CP，且CP平行于x軸．

（1）用a表示m，并求拋物線G的對(duì)稱軸及P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)拋物線G經(jīng)過（﹣1，3）時(shí)，求G的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如果把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”．

如圖，當(dāng)a＞0時(shí)，若拋物線G位于線段CP下方的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個(gè)“整點(diǎn)”，求a的取值范圍．

【答案】（1）m＝﹣3﹣a，x＝1，P（2，﹣3）；

（2）y＝2x2﹣4x﹣3，（1，﹣5）；

（3）5＜a≤6．

【解答】（1）將C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a+m得：m＝﹣3﹣a，

對(duì)稱軸為：，

∵CP平行于x軸．

∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴P（2，﹣3）；

（2）將（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a+2a﹣3＝3，

∴a＝2，

∴G的表達(dá)式為：y＝2x2﹣4x﹣3，

∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，

∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣5）；

（3）∵a＞0，拋物線G位于線段CP下方的部分與線段CP所圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有5個(gè)“整點(diǎn)”，且C（0，﹣3），P（2，﹣3），

∴區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)為（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），（1，﹣8），

將（1，﹣8）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝5，

將（1，﹣9）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝6，

∴5＜a≤6．

六．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

6．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）如圖，拋物線L1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A（﹣2，0），其頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），將拋物線L1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L2，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．

（1）求拋物線L1的表達(dá)式；

（2）試用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出拋物線L2的表達(dá)式；

（3）若直線y＝t（t為常數(shù)）與拋物線L1，L2均有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍；

【答案】（1）y＝2x2+4x；

（2）y＝﹣2（x﹣2m﹣1）2+2；

（3）﹣2≤t≤2．

【解答】解：（1）∵拋物線L1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A（﹣2，0），

∴拋物線L1的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．

∵頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣2，

∴拋物線L1的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）2﹣2．

∵拋物線L1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴a×1﹣2＝0．

∴a＝2．

∴拋物線L1的表達(dá)式為：y＝2（x+1）2﹣2＝2x2+4x．

（2）∵點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，

∴MA＝MC，MB＝MD．

∴四邊形ABCD為平行四邊形．

過點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，如圖，

∵∠BEM＝∠DFM＝90°，∠BME＝∠DMF，

∴△BEM≌△DFM（AAS）．

∴ME＝MF，BE＝DF．

∵B（﹣1，﹣2），

∴OE＝1，BE＝2．

∴DF＝2．

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0）（m＞0），

∴OM＝m．

∴ME＝OM+OE＝m+1．

∴MF＝ME＝m+1．

∴OF＝OM+MF＝2m+1．

∴D（2m+1，2）．

∵將拋物線L1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線L2，

∴拋物線L2的解析式為：y＝﹣2（x﹣2m﹣1）2+2．

（3）∵直線y＝t（t為常數(shù)）是與x軸平行的直線，

∴當(dāng)直線y＝t（t為常數(shù)）在點(diǎn)B與點(diǎn)D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與拋物線L1、L2均有交點(diǎn)．

∵B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，

∴t的取值范圍為﹣2≤t≤2．

七．二次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

7．（2023橋西區(qū)二模）如圖1公園的一組同步噴泉由間隔2米的6個(gè)一樣的噴泉組成，呈拋物線形的水流從垂直于地面且高為1m的噴嘴中向同一側(cè)噴出，其最高點(diǎn)隨時(shí)間勻速變化，發(fā)現(xiàn)由最高變?yōu)樽畹陀脮r(shí)5S，然后從最低變?yōu)樽罡?，又用時(shí)5s，重復(fù)循環(huán)．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，變化的拋物線的對(duì)稱軸始終為直線x＝1，水流最高時(shí)距地面2m，水流在地面的落點(diǎn)距噴嘴最遠(yuǎn)水平距離為3m．

（1）求水流最高時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式；

（2）水流最低時(shí)，對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），在噴泉水流高低變化過程中，水流始終經(jīng)過對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）；

（3）當(dāng)水流最高時(shí)，淇淇以2m/s的速度從噴泉最高處的正下方跑過，若淇淇的身高為1.6m，請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明，他是否會(huì)被淋濕？

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；

（2）（1，），（2，1）；

（3）淇淇會(huì)被淋濕．

【解答】解：（1）由題意得：水流最高時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線的頂點(diǎn)是（1，2），

設(shè)水流最高時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為：y＝a（x﹣1）2+2，

把（0，1）代入得：a+2＝1，

∴a＝﹣1，

∴水流最高時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1；

（2）水流最低時(shí)，對(duì)應(yīng)拋物線的對(duì)稱軸是：直線x＝1，

則與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（﹣1，0），

設(shè)此時(shí)拋物線的解析式為：y＝m（x﹣3）（x+1），

把（0，1）代入得：﹣3m＝1，

∴m＝﹣，

∴水流最低時(shí)所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+1，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），

∵拋物線總過（0，1），對(duì)稱軸是直線x＝1，

∴在噴泉水流高低變化過程中，水流始終經(jīng)過對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），

故答案為：（1，），（2，1）；

（3）淇淇跑過噴泉用時(shí)：2×5÷2＝5（s），

而噴泉從最高2米到最低米用時(shí)5s，

∵＜1.6，

∴淇淇會(huì)被淋濕．

八．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

8．（2023邢臺(tái)二模）如圖，在△ABC和△DBE中，，∠A＝∠BDE＝60°，DE邊交BC邊于F點(diǎn)，且∠ABD＝∠CBE．

（1）求證：△ABC≌△DBE；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AC邊上，若∠DBF＝15°，求CD的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見解析；

（2）6﹣2．

【解答】（1）證明：∵∠ABD＝∠CBE，

∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，

即∠ABC＝∠DBE，

∵∠A＝∠BDE＝60°，，

在△ABC與△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（AAS）．

（2）∵△ABC≌△DBE，

∴AB＝DB，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴△ABD＝∠ADB＝60°，AB＝AD，

∵∠DBF＝15°，∠ADB＝∠DCB+∠DBF，

∴∠DCB＝45°，

過B作BM⊥AC于M點(diǎn)，

∴∠CBM＝∠MCB＝45°，

∵，

∴MB＝MC＝6，

∵∠A＝60°，

∴，，

∴．

九．三角形綜合題（共1小題）

9．（2023路北區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，過點(diǎn)B作BE⊥AB，且BE＝3，點(diǎn)D在線段AC上，AD＝1，連接DE，交BC于點(diǎn)F．

（1）求證：△BFE≌△CFD；

（2）若AB＝，求證：點(diǎn)D在∠ABC的平分線上；

（3）連接BD，若△BDE是等腰三角形，直接寫出AB的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）或．

【解答】（1）證明：∵AC＝4，AD＝1，

∴DC＝BE＝3，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE＝∠A＝90°，

∴∠ABE+∠A＝180°，

∴BE∥AC，

∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，

在△BFE和△CFD中，

，

∴△BFE≌△CFD（ASA）；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，

∵∠A＝90°，，AC＝4，

∴BC＝＝3，

∵∠DCM＝∠ACB，

∴tan∠DCM＝tan∠ACB，

∴，即，

∴DM＝1，

∴AD＝DM，

∵AD⊥AB，DM⊥BC，

∴點(diǎn)D在∠ABC的角平分線上；

（3）分三種上情況，

①若BE＝BD＝3，

∵∠A＝90°，

∴AB＝＝＝2；

②若BE＝DE＝3，

過點(diǎn)D作DN⊥BE于點(diǎn)N，則四邊形ABND為矩形，

∴AD＝BN＝1，AB＝DN，

∴NE＝BE﹣BN＝2，

∴DN＝＝＝；

③若BD＝DE，則BE＝2，這與BE＝3不相符，故不存在．

綜上所述，AB的長(zhǎng)為或．

一十．四邊形綜合題（共1小題）

10．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）探索與發(fā)現(xiàn)．

小張同學(xué)在用作圖軟件探索圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)行如下操作：如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的AB邊上取定點(diǎn)E，使AE＝2，在AD邊上設(shè)置動(dòng)點(diǎn)P，連接PE，以PE為邊在AB的上方作正方形PEFG，連接AF，BF．

（1）小張同學(xué)通過觀察發(fā)現(xiàn)圖中∠APE＝∠FEB，請(qǐng)給出證明；

（2）探索過程中發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△AFB的面積是個(gè)定值，請(qǐng)證明并求出這個(gè)定值；

（3）進(jìn)一步探索后發(fā)現(xiàn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，△AFB的周長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)P位置的變化而變化，但存在一個(gè)最小值，請(qǐng)你求出△AFB周長(zhǎng)的最小值．

【答案】（1）見解析；

（2）S△AFB＝6；

（3）△AFB周長(zhǎng)的最小值為6+．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD、PEFG均為正方形，

∴∠BAD＝∠PEF＝90°，

∴∠APE+∠AEP＝90°，∠FEB+∠AEP＝90°，

∴∠APE＝∠FEB；

（2）解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，

∴∠BAD＝90°，AB＝6，

∴∠PAE＝∠EHF＝90°，

由（1）知，∠APE＝∠FEB，

∴∠APE＝∠HEF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴PE＝EF，

在△APE和△HEF中，

，

∴△APE≌△HEF（AAS），

∴AE＝FH＝2，

∴S△AFB＝＝＝6；

（3）解：如圖，過點(diǎn)F作FN∥AB交BC于點(diǎn)N，作點(diǎn)B關(guān)于FN的對(duì)稱點(diǎn)M，連接AM，

則四邊形HBNF為矩形，

∴FH＝BN＝2，

由（2）可知，F(xiàn)H＝2，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在直線FN上運(yùn)動(dòng)，

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)N垂直平分BM，且M在BC上，

∴BN＝MN＝2，BF＝MF，

∴AF+BF＝AF+MF，BM＝MN+MN＝4，

∵AF+MF≥AM，

∴當(dāng)A、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，AF+MF取得最小值為AM，

即此時(shí)，△AFB的周長(zhǎng)取得最小值，最小值為AB+AF+BF＝AB+AF+MF＝AB+AM，

在Rt△ABM中，AM＝＝＝，

∴△AFB周長(zhǎng)的最小值為AB+AM＝6+．

一十一．切線的性質(zhì)（共1小題）

11．（2023古冶區(qū)二模）淇淇受古代“石磨”（如圖1）這種“曲柄連桿機(jī)構(gòu)”動(dòng)力傳輸工具的啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖2，兩個(gè)固定長(zhǎng)度的連桿AP，BP的連接點(diǎn)P在⊙O上，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動(dòng)，OM⊥ON．當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)B恰好落在⊙O上，如圖3．請(qǐng)僅就圖3的情形解答下列問題．

（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；

（2）若⊙O的半徑為5，，求BP的長(zhǎng)．

【答案】（1）見解析；

（2）．

【解答】（1）證明：連接OP，

∵AP是⊙O的切線，

∴OP⊥AP，即∠OPA＝90°，

∴∠PAO+∠POA＝90°，

∵OA⊥OB，

∴∠POA+∠1＝90°，

∴∠PAO＝∠1，

∵OP＝OB，

∴∠OPB＝∠PBO，

∴∠1＝2∠PBO，

∴∠PAO＝2∠PBO．

（2）解：過點(diǎn)P作PC⊥ON，垂足為C，

在Rt△POA中，OP＝5，，

∴，

∵∠1＝∠PAO，

∴，

設(shè)PC＝3x，OC＝4x，則，

∴x＝1，

∴PC＝3，OC＝4，BC＝5+4＝9，

在Rt△PBC中，

．

一十二．圓的綜合題（共1小題）

12．（2023橋西區(qū)二模）如圖1，經(jīng)過Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，圓心O在斜邊AB上，AC＝4，直徑AB所對(duì)的弧長(zhǎng)為長(zhǎng)的3倍，將等腰Rt△ADE的直角頂點(diǎn)D放置在邊BC上，EF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）∠ABC＝30°；

（2）求證：△ACD≌△DFE；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在AB上時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

【答案】（1）30；（2）證明見解答；（3）8﹣4．

【解答】（1）解：連接OC，

∵直徑AB所對(duì)的弧長(zhǎng)為長(zhǎng)的3倍，

∴直徑AB所對(duì)的圓心角為所對(duì)的圓心角的3倍，

∴∠AOC＝×180°＝60°，

∴∠ABC＝∠AOC＝30°，

故答案為：30；

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ADC＝90°，

∵等腰Rt△ADE的直角頂點(diǎn)D放置在邊BC上，

∴AD＝ED，∠ADE＝90°，

∴∠ADC+∠EDF＝90°，

∴∠CAD＝∠FDE

∵EF⊥BC，

∴∠DFE＝90°＝∠ACD，

在△ACD和△DFE中，

，

∴△ACD≌△DFE（AAS）；

（3）由（1）知，∠ABC＝30°，

在Rt△ABC中，AC＝4，

∴BC＝AC＝4，

由（2）知，△ACD≌△DFE，

∴AC＝DF＝4，CD＝EF，

設(shè)CD＝x，則EF＝x，

∵點(diǎn)E落在AB上，

∴∠EBF＝30°，

在Rt△BEF中，BF＝EF＝x，

∵BC＝CD+DF+BF，

∴x+4+x＝4，

∴x＝8﹣4，

即EF的長(zhǎng)為8﹣4．

一十三．相似形綜合題（共1小題）

13．（2023古冶區(qū)二模）如圖1，矩形ABCD中，BD為對(duì)角線，，．

（1）求AB的長(zhǎng)和∠ADB的度數(shù)．

（2）如圖2，若點(diǎn)E是矩形AD邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F沿BD以2cm/s的速度從B向D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

①求t為何值時(shí)，以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？

②作點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P，當(dāng)PE⊥BD時(shí)，直接寫出t的值．

【答案】（1）AB＝4cm，∠ADB＝30°；

（2）①當(dāng)t的值為2s或時(shí)，以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似；

②t的值為3s或1s．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A＝90°，

在Rt△ABD中，

∵，

∴∠ADB＝30°，

∵，

∴；

（2）①∵點(diǎn)E是矩形AD邊的中點(diǎn)，，

∴，

在Rt△ABD中，，

由題意可知，BF＝2t，則DF＝8﹣2t，

當(dāng)△DEF∽△DAB時(shí)，，

即，

解得t＝2s，

當(dāng)△DFE∽△DAB時(shí)，，

即，

解得，

∴當(dāng)t的值為2s或時(shí)，以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似；

解：②t的值為3s．理由如下：

第一種情況，如圖所示，

由題意作P點(diǎn)，使EP交BD于M，作FN⊥AD于N，PD與EF的延長(zhǎng)線于Z，

由D關(guān)于EF對(duì)稱點(diǎn)為P，EZ⊥PD，EZ是PD的垂直平分線，

∴EP＝ED，PZ＝DZ，EZ＝EZ，

則△EPZ≌△EDZ（SSS），有∠PEZ＝∠DEZ，

∵PE⊥BD，F(xiàn)N⊥AD，

∴∠EMF＝∠ENF＝90°，

∵∠MEF＝∠NEF，EF＝EF，

∴△MEF≌△NEF（AAS），

由E為AD中點(diǎn)，，，，，

，BF＝8﹣2＝6cm，

．

第二種情況如圖所示：

∵P、D關(guān)于EF對(duì)稱，

∴FM是PD的垂直平分線，

∴EP＝ED，

∴∠EPD＝∠EDP，

∵∠ADB＝30°，PN⊥BD，

∴∠DEN＝60°，

∴∠EDP＝30°，

∴PDF＝60°，

又∵PF＝DF，

∴△PFD是等邊三角形，

∴FN＝DN＝3cm，

∴BF＝8﹣6＝2（cm），

∴t＝1s，

綜上所述，t的值為3s或1s．

一十四．列表法與樹狀圖法（共4小題）

14．（2023邢臺(tái)二模）問題在甲、乙兩個(gè)不透明的盒子里分別裝有完全相同的3個(gè)球和2個(gè)球，甲盒中3個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，乙盒中2個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2；現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中分別摸出一個(gè)球，求恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同的概率．

嘉淇用畫樹狀圖法進(jìn)行求解，過程如下：一共有四種等可能結(jié)果，其中恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同有（1，1），（2，2）兩種等可能結(jié)果，因此P（恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同）④

（1）已知嘉淇的解法是錯(cuò)誤的，他開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①；

（2）請(qǐng)用畫樹狀圖法給出正確的求解過程．

【答案】（1）①；

（2）．

【解答】解：（1）嘉淇的解法是錯(cuò)誤的，他開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，

故答案為：①；

（2）畫樹狀圖如下：

共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同的結(jié)果有3種，即（1，1），（1，1），（2，2），

∴P（恰好摸到兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字相同）＝．

15．（2023路北區(qū)二模）有四個(gè)完全相同的小球，分別標(biāo)注﹣2，﹣1，1，3這四個(gè)數(shù)字，把標(biāo)注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機(jī)拿出兩個(gè)小球，所標(biāo)數(shù)字和的絕對(duì)值為k的概率記作Pk（如：P3是任取兩個(gè)數(shù)，其和的絕對(duì)值為3的概率）

（1）用列表法求P1；

（2）張亮認(rèn)為：“Pk的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)．”你認(rèn)為張亮的想法正確嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說(shuō)明；

（3）能否找到概率Pi，Pj，Pm（i＜j＜m），使Pi+Pj+Pm＝