第1章如何用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)第1章如何用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題2023/11/8課程簡介目的：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的內(nèi)容。該內(nèi)容的開設(shè)使得學(xué)生學(xué)會(huì)使用計(jì)算機(jī)中的數(shù)學(xué)軟件去做計(jì)算和研究工作，而不再是花大量的時(shí)間去鉆研計(jì)算技巧。教材：

劉瓊蓀龔劬

何中市付鸝任善強(qiáng)編著，

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，高等教育出版社2023/11/8何謂“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行折騰連蒙帶猜找規(guī)律從問題出發(fā)學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)眼、動(dòng)腦借助于計(jì)算機(jī)（成千上萬次折騰）嘗試數(shù)學(xué)的探索、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用2023/11/8數(shù)學(xué)是一種很美的語言。伽利略曾說：“自然界的偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的”。希望你能從一些數(shù)學(xué)的探索和數(shù)學(xué)的應(yīng)用中獲得樂趣伽利略（1564-1642）天文學(xué)家、力學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，“近代科學(xué)之父”---作者如何用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題？2023/11/81.1什么是數(shù)學(xué)模型對(duì)于一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。特定對(duì)象—為了解決實(shí)際問題而提出的；特定的目的—研究一個(gè)特定對(duì)象時(shí)要達(dá)到的目的，如分析、預(yù)測、控制、決策等；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)—可以是數(shù)學(xué)關(guān)系式，也可以是程序、圖、表等；數(shù)學(xué)建?！?shù)學(xué)模型的全過程，包括問題分析、模型建立、求解、結(jié)果檢驗(yàn)和應(yīng)用等2023/11/81.1什么是數(shù)學(xué)模型例1.1

新產(chǎn)品的銷量變化規(guī)律

一種新產(chǎn)品進(jìn)入市場以后，產(chǎn)品的銷售量一般會(huì)經(jīng)過“先增后平穩(wěn)略有下降”的一個(gè)過程，這稱為產(chǎn)品的生命周期。怎樣使用數(shù)學(xué)模型來描述產(chǎn)品的銷售量的變化過程呢？問題分析當(dāng)一個(gè)新產(chǎn)品進(jìn)入市場時(shí)，其有關(guān)信息的傳播有兩個(gè)途徑：一是經(jīng)營者或廠家進(jìn)行廣泛的廣告宣傳，消費(fèi)者親眼看到廣告或親耳聽到信息，這是來自消費(fèi)者以外的信息；二是當(dāng)一部分消費(fèi)者購買了該產(chǎn)品之后，經(jīng)過使用對(duì)該產(chǎn)品有了認(rèn)識(shí)，向其周圍的人們進(jìn)行宣傳，這稱之為來自消費(fèi)者內(nèi)部的信息。正是這兩方面的信息促使消費(fèi)者去購買該商品。2023/11/81.1什么是數(shù)學(xué)模型合理假設(shè)設(shè)N為潛在的消費(fèi)者人數(shù)，x(t)為t時(shí)刻購買了該產(chǎn)品的人數(shù)，并且認(rèn)為變量x(t)隨時(shí)間變化是連續(xù)的；購買者增量△x由兩部分組成，一是由外部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增加，其增量記為△x1，二是由內(nèi)部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增加，記為△x2；由外部信息導(dǎo)致消費(fèi)者增量與未購買者人數(shù)成正比，即

△x1=k1(N-x(t))

△t(k1>0為比例系數(shù))(1.1)由內(nèi)部信息導(dǎo)致購買者增量與購買者人數(shù)和未購買者人數(shù)之積成正比，即

△x2=k2x(t)

×(N-x(t))

△t(k2>0為比例系數(shù))(1.2)建立數(shù)學(xué)模型由上述(1.1)和(1.2)式，再由假設(shè)知，△x由△x1和△x2組成，得到：△x=k1(N-x(t))

△t+k2x(t)

×(N-x(t))

△t(1.3)(1.3)式兩端同時(shí)除以△t，并令△t→0，得到微分方程模型如下：2023/11/81.1什么是數(shù)學(xué)模型

，并且，x(0)=0。(1.4)模型求解為分析產(chǎn)品銷售量x(t)隨時(shí)間t的變化情況，對(duì)微分方程(1.4)求解，得：

(1.5)該問題解含有未知參數(shù)k1，k2，N，如何確定它們呢？其方法是采樣，收集某產(chǎn)品從推向市場以來銷售情況的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，用最小二乘法將模型中的未知參數(shù)辨識(shí)出來。例如，使用某種產(chǎn)品一段時(shí)期的銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)模型(1.4)中的參數(shù)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得到k1

=0.02，k2

=0.035，N

=104，通過計(jì)算，具體分析出某產(chǎn)品的銷售量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示：（見P.3圖1.1）2023/11/81.1什么是數(shù)學(xué)模型模型檢驗(yàn)

我們使用某產(chǎn)品一段時(shí)期的銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，將這些實(shí)測數(shù)據(jù)代入模型(1.5)中，如果實(shí)測數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)（模型中對(duì)應(yīng)值）之差的平方和（定義為誤差平方和）很小，則稱該模型通過了檢驗(yàn)。如圖1.2（P.3）所示，符號(hào)“。”表示實(shí)測數(shù)據(jù)，而曲線x(t)是理論曲線。實(shí)際觀測數(shù)據(jù)在理論曲線附近波動(dòng)，其波動(dòng)幅度較小。再通過計(jì)算誤差平方和的值，如果該值相對(duì)于原始數(shù)據(jù)比較小，我們稱該模型通過了檢驗(yàn)，這是可以運(yùn)用該模型進(jìn)行預(yù)測了。以上五步反映了一個(gè)數(shù)學(xué)建模的全過程。2023/11/81.2數(shù)學(xué)模型的分類對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行劃分按應(yīng)用領(lǐng)域劃分，如人口模型、交通模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)模型、金融模型、生態(tài)模型、環(huán)境模型、企業(yè)規(guī)劃模型等等；按數(shù)學(xué)方法劃分，如方程模型、微分方程模型、圖論模型、網(wǎng)絡(luò)模型、概率模型、統(tǒng)計(jì)模型、優(yōu)化模型、最優(yōu)控制模型和隨機(jī)性模型等等；更籠統(tǒng)的劃分，如連續(xù)系統(tǒng)模型、離散系統(tǒng)模型、確定性模型、隨機(jī)性模型等等。建立數(shù)學(xué)模型的目的-能有效地解決實(shí)際問題和預(yù)測未來2023/11/81.3數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟數(shù)學(xué)建模方法大致分為兩類：機(jī)理分析法和測試分析法機(jī)理分析法是根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，通過對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象各個(gè)因素之間的因果關(guān)系的分析，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律，建立的數(shù)學(xué)模型常有明確的物理意義。機(jī)理分析法的特點(diǎn)就是某實(shí)際問題涉及的各個(gè)因素之間有比較明確的物理意義下的因果關(guān)系；測試分析法的特點(diǎn)是通過對(duì)系統(tǒng)輸出的測試來認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的輸入-輸出規(guī)律，建立盡可能與這一規(guī)律相吻合的數(shù)學(xué)模型；

注：許多實(shí)際問題也常將這兩種方法結(jié)合起來，用機(jī)理分析法建立模型的結(jié)構(gòu)，用測試分析法確定模型的參數(shù)。2023/11/81.3數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟圖1.3

數(shù)學(xué)建模過程示意圖2023/11/81.