《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件 孟祥波 第一章 隨機事件及其概率

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩---嚴加安”隨機非隨意，概率破玄機；無序隱有序，統(tǒng)計解迷離．第一章隨機事件及其概率第一節(jié)隨機事件二、隨機事件四、小結(jié)一、隨機試驗與樣本空間三、隨機事件的關(guān)系及其運算

在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.如：“水從高處流向低處”確定性現(xiàn)象的特征：條件完全決定結(jié)果“同性電荷必然互斥”“太陽不會從西邊升起”（1）確定性現(xiàn)象一、隨機試驗與樣本空間結(jié)果可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”.

實例2

“拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)”.

實例1

“用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā)，觀察彈著落點的情況”.結(jié)果:“彈著點會不盡相同”.（2）隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象的特點：

概率論是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.

在概率論中，把在一定條件下可以重復(fù)試驗或觀察，且能預(yù)知所有可能結(jié)果，但每次試驗的結(jié)果不能預(yù)知，而大量重復(fù)試驗的結(jié)果卻能呈現(xiàn)出某種規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象．條件不能完全決定結(jié)果

與隨機現(xiàn)象相應(yīng)的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗．對隨機現(xiàn)象所做的試驗如果滿足：（1）可重復(fù)性，即在相同條件下可重復(fù)進行；定義1：（2）可知性，即每次試驗的所有可能結(jié)果不止一個且都明確可知；（3）隨機性，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)前無法預(yù)知會出現(xiàn)哪個結(jié)果．我們稱這樣的試驗為隨機試驗，有時簡稱試驗，通常用大寫英文字母等表示．E1：拋擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；下面給出幾個隨機試驗的具體例子：

E2：拋擲一枚硬幣兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)；

E3

：在東西南北四面同樣受敵時，同時選擇兩個方向突圍；

E4

：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；例1：

E5

：記錄某放射性物質(zhì)在一分鐘內(nèi)放射的粒子數(shù)；

E6：在一批燈泡中任意抽取一個，測試它的壽命x；

E7：考察一個汽車通過十字路口時遇紅燈的停留時間t；

E8：考察用同一把尺子測量不同物體長度時取整的舍入誤差r.隨機試驗E的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為樣本空間，記作Ω

或S．定義2：因此，例1中隨機試驗E1的樣本空間為樣本空間的每一個元素，即隨機試驗的每個結(jié)果稱為樣本點，通常用或等表示．若記H=正面、T=反面，則E1的樣本空間也可以表示為隨機試驗E2的樣本空間為隨機試驗E3的樣本空間為隨機試驗E4的樣本空間為同學(xué)們可試著寫一寫隨機試驗E5~E8的樣本空間．隨機試驗E5的樣本空間為隨機試驗E6的樣本空間為隨機試驗E7的樣本空間為隨機試驗E8的樣本空間為二、隨機事件隨機試驗的樣本空間Ω

中用來表示某些結(jié)果的樣本點的集合稱為隨機事件，簡稱事件．定義3：隨機事件是樣本空間Ω

的子集，用大寫英文字母等表示．對于隨機現(xiàn)象，我們關(guān)心的往往不只是其所有的可能結(jié)果，而更加關(guān)心某些部分結(jié)果．如：擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點、燈泡壽命超過5000小時．

如：在試驗E4中,骰子“出現(xiàn)1點”,“出現(xiàn)2點”,“出現(xiàn)6點”,“點數(shù)不大于4”,“點數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機事件．

是所有樣本點構(gòu)成的集合,它在每次試驗中都必然發(fā)生,稱為必然事件,空集

不含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,稱為不可能事件．

由一個樣本點組成的單點集{e}稱為基本事件．不可能事件與必然事件是特殊的隨機事件．注：

設(shè)試驗為從裝有三個白球(記為1,2,3號)與兩個黑球(記為4,5號)的袋中任取兩個球．(a)如果只觀察顏色，則樣本空間為(b)如果只觀察號碼，則樣本空間為其中ωi

j是樣本點,表示取出的是第i號球和第j號球．在E4中，基本事件有6個：如：在E5中，基本事件有無窮個：例2：（3個樣本點）（10個樣本點）三、隨機事件的關(guān)系及其運算

1.包含關(guān)系若事件A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生,則稱事件B

包含事件A,

記作

B包含A

BA若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.任何一個隨機事件都是樣本空間

的一個子集，故隨機事件之間的關(guān)系與運算可以看作集合之間的關(guān)系與運算．

2.相等關(guān)系

3.事件的和（或并）若事件A

與事件B至少一個發(fā)生，則稱事件A與事件B

的和(或并)

,記作推廣

稱為可列個事件和，簡記為和，簡記為稱為n個事件的,

ABA與B的并

4.事件的交（或積）若事件A與事件B

都發(fā)生，則稱事件A與事件B

的交(或積)

,記作簡記推廣

稱為可列個事件和，簡記為或的和，簡記為或稱為

n

個事件的

BAA與B的交

5.事件的差若事件A

發(fā)生且事件

B

不發(fā)生，則稱事件A與事件B

的差

,記作

即如：在擲骰子的實驗中，事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件

B

為“點數(shù)不大于4”，則A與B的差6.互不相容（或互斥）事件若事件A

與事件

B兩個不相容事件A

與B的和記作A

+

B；n個

注：不能同時發(fā)生，則稱事件A與事件B互不相容（或互斥），記作互不相容事件的和記作（簡作）；可列個互不相容事件的和記作（簡記作）.A與B互斥

7.對立事件在每次隨機試驗中，若事件A

與事件注：任意隨機事件A均存在對立事件且唯一.件B

有且僅有一個發(fā)生，即且，則稱事件A與事件B互為對立事件（或逆事件），記作A與B對立由對立事件定義可知：事件的運算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：（4）德摩根（DeMorgan）律(或?qū)ε悸?：注：以上運算律可推廣到有限多個或可列多個情形.例3：甲、乙、丙三人各投籃一次，記A“甲投中”，B“乙投中”，C“丙投中”，用上述三個事件分別表示下述各事件：（1）甲未投中：（2）甲投中而乙未投中：（3）三人中只有丙未投中：（4）三人中至少有一人投中：（5）三人中至少有一人未投中：（6）三人中恰有一人投中：（7）三人中恰有兩人投中：（8）三均未投中：（9）三人中至少兩人投中：（10）三人中至多一人投中：（11）三人中至多兩人投中：注：用簡單事件表示復(fù)雜事件，表示方法往往不唯一，如：例3的（5）和（11），對于同一事件，表示方法簡繁立見.所以，在解決具體問題時，根據(jù)需要選擇一種恰當?shù)姆椒〞箚栴}描述變得簡潔有效.小結(jié)1.主要概念：樣本點，樣本空間，隨機事件.2.用樣本空間的子集表示隨機事件：

該子集中任意一個樣本點發(fā)生時事件就發(fā)生.隨機事件={導(dǎo)致該事件發(fā)生的所有樣本點的集合}3.隨機事件的7種關(guān)系：（1）包含關(guān)系（2）相等關(guān)系（3）事件的和（或并）（4）事件的交（或積）（5）事件的差（6）互不相容（或互斥）事件（7）對立事件4.事件的運算律（四個）：交換律、結(jié)合律、分配律、德摩根律（或?qū)ε悸桑┑诙?jié)隨機事件的概率二、古典概型與幾何概型四、小結(jié)一、頻率與概率三、概率的公理化定義及其運算性質(zhì)在相同的條件下重復(fù)進行n次試驗，隨機事件一、頻率與概率定義1：A發(fā)生的次數(shù)稱作頻數(shù)，比值稱作隨機事件A的頻率，記作，即

在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗，試驗結(jié)果具有一定的內(nèi)在規(guī)律性，即隨機事件在這種大量重復(fù)試驗的條件下出現(xiàn)的機會是穩(wěn)定的。所以，我們可以將隨機事件的出現(xiàn)機會與一定數(shù)值相對應(yīng)。如：實踐證明：相同條件下的大量重復(fù)試驗中，事件

A的頻率具有穩(wěn)定性．也就是說，當試驗次數(shù)n充分大時，事件A的頻率在某一個確定的數(shù)字附近擺動.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當拋的次數(shù)足夠大時，硬幣正面朝上的頻率越來越穩(wěn)定于0.5.歷史上一些著名統(tǒng)計學(xué)家進行過拋硬幣試驗，得到的結(jié)果結(jié)果見下表試驗者拋硬幣次數(shù)/次正面朝上次數(shù)/次正面朝上的頻率Buffon404020480.5069Fisher1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005

n充分大時，事件A的頻率在0.5附近擺動.例1：祖沖之第一次把它計算到小數(shù)點后七位，此紀錄隨后被保持了1000多年．人們對于圓周率的計算從未停止過，此后一直有人不斷將π

算得越來越精確.

1873年，英國學(xué)者沈克士公布了一個π的數(shù)值，該數(shù)值小數(shù)點后面一共有707位．當時人們都是采用手動計算，即便對他的計算有疑問，也無法確切知曉真實結(jié)果．圓周率π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，我國數(shù)學(xué)家?guī)资旰螅鼜厮固氐馁M林生對沈克士計算的結(jié)果產(chǎn)生疑問，他統(tǒng)計了沈克士計算結(jié)果的608位小數(shù)，得到的結(jié)果如表數(shù)字0123456789出現(xiàn)次數(shù)60626768645662445867費林生產(chǎn)生懷疑的理由是什么？圓周率π

是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此理論上每個數(shù)字的出現(xiàn)都不會具有某種偏好性，即每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或者這些數(shù)字的出現(xiàn)頻率應(yīng)都接近0.1，但是數(shù)字7出現(xiàn)的頻率過小．這就是費林生產(chǎn)生懷疑的原因．頻率的性質(zhì)：（1）非負性：（2）規(guī)范性：（3）有限可加性：頻率穩(wěn)定性的事實說明隨機事件發(fā)生的可能具有客觀存在性．設(shè)m個隨機事件兩兩不相容，有在相同的條件下重復(fù)進行

n次試驗，隨機事定義2：件A發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)

p附近擺動，則稱p為事件A的概率，記為注1:隨機事件A發(fā)生的概率具有頻率所具備的性質(zhì)．這是利用頻率的穩(wěn)定性對隨機事件概率的統(tǒng)計注2:定義，實際應(yīng)用中常常用頻率來估計概率，即當n足夠大時，有

為了估計某個魚塘里的魚數(shù)，從該魚塘捕撈例2：100條魚，做完標記后再放入魚塘．過些時日后，從魚塘里捕撈40條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條有標記．試問，魚塘里大約有多少條魚？則利用概率與頻率的關(guān)系，解：設(shè)魚塘中有x條魚，于是即魚塘里大約有2000條魚．有二、古典概型與幾何概型定義3：（1）古典概型如果隨機試驗具有下述兩個特征：（1）隨機試驗只有有限個可能的結(jié)果；則稱這樣的隨機試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）每個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．在古典概型中，設(shè)隨機試驗的樣本空間且由概率的規(guī)范性和有限可加性，知則對于包含k個樣本點的隨機事件A發(fā)生的概率為分析：輔助知識：（1）加法原理：（2）乘法原理：設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有方法（每種方法均可完成這件事），則完成這件事的方法總數(shù)為設(shè)完成一件事有m個步驟，第i步有方法（必須完成每一步驟才能最終完成這件事）,則完成這件事的方法總數(shù)為（3）排列公式：當時稱為n個元素的全排列，即（4）組合公式：從n個元素中任取個排成一排，則不同的排列總數(shù)為從n個元素中任取個組成一組，則不同的組合總數(shù)為例3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，求兩次點數(shù)之和為7的概率．解：令骰子先后兩次出現(xiàn)的結(jié)果為樣本空間記“兩次點數(shù)之和為7”為事件A事件則兩次點數(shù)之和為7的概率本題若按照兩次點數(shù)之和作為樣本空間，即注：而“和為7”只是樣本空間中的一個樣本點，若按照古典概型的概率計算公式會得出的結(jié)果.這樣做不對.這樣做對嗎？錯誤的根源在于將“點數(shù)之和”出現(xiàn)的每個結(jié)果視為等可能的了．（隨機抽樣問題）設(shè)有一批產(chǎn)品共N件，其中例4：有M件次品．從中抽取n件產(chǎn)品，求恰好抽到k件次品的概率．考慮如下兩種情形：解：（1）放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗后放回，再抽取下一件；（2）不放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗后不再放回，繼續(xù)抽取下一件．

記“恰好抽到k件次品”為事件D則（2）因為是不放回抽樣，故從N件產(chǎn)品中抽取n件（1）因為是放回抽樣，故從N件產(chǎn)品中抽取n件產(chǎn)品總的方法數(shù)是產(chǎn)品總的方法數(shù)是則注：本題不放回抽樣情形，根據(jù)排列組合關(guān)系，有由此可知，可將不放回抽樣理解為一次性抽取n件產(chǎn)品（而不是一次只抽取一個）．實際計算中，常將不放回抽樣等價地視作后一種情形加以處理，這樣可避免考慮次序的復(fù)雜問題．（抽簽公平問題）有設(shè)a張好簽和b張壞簽放例5：到一起供人們抽取，試說明抽簽的公平性．解：記“第k個人抽到好簽”為第k個人抽到的好簽只能來自a張好簽之一，故有a種方法，意一張簽（有a+b-1張），說明結(jié)果與抽簽次序無關(guān)，故抽簽是公平的．其余的k-1個人可以抽取其他的任則（生日問題）求個人至少有兩人例6：生日相同的概率，所謂生日相同是指同月同日（不要求年份相同）．不妨設(shè)一年的天數(shù)為解：記“至少有兩人生日相同”為C．則將n個小球放入N個盒子中總的方法數(shù)是

若將每一天視作盒子，每個人的生日看作小球，而每個盒子里最多放一個小球的方法數(shù)是因此下面列舉幾個至少兩個人生日相同的概率3040506070800.70630.89120.97040.99410.99920.9999古典概型的計算公式在實際生活中用處很廣泛，比如抽檢產(chǎn)品的合格率（或者次品率）、彩票的中獎概率等等.（2）幾何概型古典概型包括兩要素：所有結(jié)果的有限性以及每個結(jié)果的等可能性．在等可能的情形下，我們也會遇到所有的結(jié)果并不是有限的情形，比如樣本空間是一條線段、平面區(qū)域或空間立體等．定義4：設(shè)樣本空間Ω是一個區(qū)域（一條線段、平面區(qū)域或有限空間立體），它的度量記為（度量的含義是線段的長度、平面區(qū)域的面積或空間立體的體積），樣本點落入樣本空間的部分區(qū)域A的可能性只與成比例，而與區(qū)域A的位置和形狀無關(guān)，若將樣本點落入?yún)^(qū)域A的事件仍記為A，則事件A的概率此時的概率稱為幾何概率．例7：（會面問題）兩位同學(xué)約好8點到9點之間在某公園門口見面，先到者最多等候另一個人20分鐘，過時就離開．若兩個人均可在8點到9點之間任意時刻到達某公園門口，試計算兩人能見面的概率．記8點為0時刻，解：記“兩人能見面”為A，時刻（單位：分鐘），于是x,y

表示兩人到達某公園門口的則樣本空間為則三、概率的公理化定義及其運算性質(zhì)前文定義的概率作為隨機事件發(fā)生可能性的度量，在等可能概型（包括古典概型和幾何概型）中應(yīng)用比較成功．但是，在有些情況下，“等可能性”就不太明確了，以至于會出現(xiàn)某些看似“矛盾”的結(jié)果．1899年，法國學(xué)者貝特朗提出一個問題：在一個圓內(nèi)任意選擇一條弦，這條弦的弦長長于這個圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率是多少．人們基于對“任意選擇”的不同理解，得到了不止一個結(jié)果，這在根本上動搖了人們早先對于幾何概率的認識，該問題后來被稱為貝特朗奇論（Bertrand'sParadox）．為什么同一個隨機事件會有不同的概率呢？直到1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫通過公理化形式給出概率應(yīng)該滿足的幾條本質(zhì)特性（而不是直接定義隨機事件的概率），完美解釋了貝特朗奇論不同結(jié)果的合理性，并在此基礎(chǔ)上展開了概率理論和應(yīng)用的研究．

設(shè)隨機試驗E的樣本空間Ω，若存在對應(yīng)定義5：法則，對于任意隨機事件，是一個實數(shù)且滿足：（1）非負性：

（2）規(guī)范性:（3）可列可加性：則稱為隨機事件A的概率．有對于兩兩不相容事件概率的性質(zhì)：（1）不可能事件的概率為0，即分析：利用可列可加性，知于是從而有（2）有限可加性，即由規(guī)范性及性質(zhì)（2）易知，（3）對于事件A,B

，有若則進而有從而，對任意事件A，有（4）對于任意兩個事件A,B，有對于任意三個事件A、B、C，有在1~2000的整數(shù)中隨即取一數(shù)，求該數(shù)至少能例8：被5整除或6整除或8整除的概率是多少？解：記事件A,B,C分別表示該數(shù)能被5、6、8整除，則該數(shù)至少能被5、6、8整除的概率為回顧:貝特朗奇論之所以會有不同的概率結(jié)果出現(xiàn)，是因為對于“任意選擇”的不同理解導(dǎo)致求解概率時有不同的對應(yīng)法則，從而出現(xiàn)了不同的“概率值”．那么，古典概型或幾何概型為什么只有一個概率結(jié)果呢？我們可以從古典概型或幾何概型概率的定義得知，滿足公理化定義的概率測度（對應(yīng)法則）是唯一的，從而對某一隨機事件其概率值唯一．小結(jié)1.主要概念：古典概型，幾何概型，概率2.概率的性質(zhì)第三節(jié)條件概率二、概率乘法公式四、小結(jié)一、條件概率的概念及性質(zhì)三、全概率公式與貝葉斯公式一、條件概率的概念及性質(zhì)定義1：世間萬物是相互聯(lián)系和作用著的，隨機事件也不例外．我們經(jīng)常會基于某個事件發(fā)生與否再去考慮另外一個事件，這就涉及到條件概率．設(shè)，若在隨機事件A發(fā)生的條件下隨機事件B發(fā)生的概率記作是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率．定義則稱事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率注1:與成反比（或與成正比），而與成正比，即與成正比，（即）可知比例系數(shù)是1．當然，既然是事件A發(fā)生的條件下才去考慮事件B，所以要求事件A必須能發(fā)生，即再通過概率的規(guī)范性由定義知，條件概率也是概率，從而概率擁有注2:的性質(zhì)條件概率也滿足.如：

袋中有大小和質(zhì)地均相同的球共5個，其中黑例1：球有3個，白球有2個．從中不放回地取兩個球，求已知在第一次取得黑球的條件下第二次也取得黑球的概率．解：記表示第i次取得黑球，方法一（定義法）：在第一次取得黑球的條件下第二次也取得黑球的概率是在第一次取得黑球的條件方法二（樣本空間轉(zhuǎn)換）：下第二次也取得黑球的概率

因為在第一次取得黑球的條件下，第二次再取球時，此時袋中只剩4個球且黑球還有2個（此即樣本空間轉(zhuǎn)換），故結(jié)果顯然．很顯然，方法二比方法一計算便捷，但并不是說方法一就沒用，如將問題改成求已知在第二次取得黑球的條件下第一次也取得黑球的概率，此時方法二就失效了（因作為條件的事件比待考慮的事件晚發(fā)生，無法使用樣本空間的轉(zhuǎn)換），但方法一即定義法依然有效：其中利用抽簽公平性的結(jié)論直接有

當計算條件概率時，一般若作為條件的事件先發(fā)生，則可以采用樣本空間轉(zhuǎn)換的方法進行求解；否則，可以采用利用定義及古典概型公式進行求解．方法總結(jié)二、概率乘法公式定理1：設(shè)A,B為兩個隨機事件且(1)(2)(1)和(2)都稱為概率乘法公式．推廣：設(shè)為n個隨機事件且則或者，若則則袋中有大小和質(zhì)地均相同的球共5個，其中黑球例2：有3個，白球有2個．從中不放回地取兩個球，求兩次均抽到黑球的概率．解：記“兩次均抽到黑球”為A，方法一（古典概型）：方法二（概率乘法公式）：球，i=1,2,記

表示第i次取得黑則一個壇子中最開始放著a個紅球和b個白球(大例3：小和質(zhì)地均一樣），任意從中取出一個，記下其顏色放回，并且再放入c個與它同色的球；接著再從壇中取出一個球，如此以往，這個模型被稱作波利亞壇子模型（Polya'surnscheme）．求從壇子中先后取出的球的顏色是“紅白紅紅”的概率．記表示第i次取得紅球，．則所求概率是解：當時，分別對應(yīng)于不放回抽樣和放回抽樣．一般地，對波利亞壇子模型的前n次抽取記錄結(jié)果記為事件，若其中紅色球在結(jié)果序列中出現(xiàn)k次，相應(yīng)地白色球在結(jié)果序列中出現(xiàn)n-k次，則其中符號表示連乘．三、全概率公式與貝葉斯公式基于條件概率的乘法公式可以引申出來兩個非常重要的概率公式——全概率公式與貝葉斯公式．定義2：設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間，為E的一組隨機事件，若（1）（2）則稱為樣本空間Ω的一個劃分（或完備事件組）．也可以作為劃分的定義．注3:設(shè)為樣本空間Ω的一個劃分且定理2：則對于任意隨機事件A有上式稱作全概率公式．證明：因為所以注4:全概率公式突出了一個“全”，即任何隨機事件A發(fā)生的概率是其全部影響因素的綜合作用效果，也即是其各個影響因素的加權(quán)平均，各自的權(quán)重即是每個因素出現(xiàn)的概率有三個盒子，每個盒子中均放有紅、黑兩種顏例4：色的小球，其中1號盒子中裝有2個紅球1個黑球，2號盒子裝有3個紅球和1個黑球，3號盒子裝有2個紅球和2個黑球．隨機選定一個盒子并從中任取一球，求取得紅球的概率．解：記表示球取自第i個盒子，i=1,2,3；得紅球．A表示取易知，構(gòu)成樣本空間的一個劃分，則由全概率公式有依題意，有代入上式，有全概率公式是全面衡量一件事情發(fā)生的可能性，而不是基于某個實現(xiàn)條件的概率，因此該公式是以當前具備的知識去綜合預(yù)測或判斷將來某件事情發(fā)生的可能性．當然，有時我們又不得不根據(jù)當前已有結(jié)果去做過去認識的某些修正，這就涉及到貝葉斯公式．設(shè)為樣本空間Ω的一個劃分且定理3：則對于任意隨機事件A且有上式稱作貝葉斯（Bayes）公式．證明：利用概率的乘法公式及全概率公式即得結(jié)論．貝葉斯公式是利用已有結(jié)論重新評估或修正各注5:個條件出現(xiàn)的概率，公式中的和分別稱作原因或條件的先驗概率和后驗概率．是在沒有進一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的前提下認定的各條件發(fā)生的概率；在獲得了新的信息（事件A已經(jīng)發(fā)生）后，對先前各條件發(fā)生概率的修正，即形成概率．有三個盒子，每個盒子中均放有紅、黑兩種顏例5：色的小球，其中1號盒子中裝有2個紅球1個黑球，2號盒子裝有3個紅球和1個黑球，3號盒子裝有2個紅球和2個黑球．隨機選定一個盒子并從中任取一球發(fā)現(xiàn)是紅球，求該紅球來自2號盒子的概率．則由貝葉斯公式有解：記表示球取自第i個盒子，i=1,2,3；得紅球．A表示取易知，構(gòu)成樣本空間的一個劃分，依題意，有代入上式，有同理可以求得這些后驗概率是在發(fā)現(xiàn)隨機選定一個盒子任取一球而得到紅球這個信息的基礎(chǔ)上，重新對原有認識進行的修正.臨床記錄表明，利用某種試驗檢查癌癥具有如例6：下效果：對癌癥患者進行試驗結(jié)果呈陽性反應(yīng)者占95%，對非癌癥患者進行試驗結(jié)果呈陰性反應(yīng)者占96%，現(xiàn)利用該試驗方法對某市居民進行癌癥普查，若該市癌癥患者數(shù)約占居民總數(shù)的0.4%，求（1）試驗結(jié)果呈陽性反應(yīng)的被檢查者確實患有癌癥的概率；（2）試驗結(jié)果呈陰性反應(yīng)的被檢查者確實未患癌癥的概率．解：

記A為“被檢查者實際上確實患有癌癥”，

B為“被檢查者試驗結(jié)果呈陽性反應(yīng)”．則按題意，知（1）依照貝葉斯公式有而于是這表明試驗結(jié)果呈陽性反應(yīng)的被檢查者實際上確實患有癌癥的可能性并不大，還需要進一步檢查才能綜合評判最終是否確診．于是

這表明試驗結(jié)果呈陰性反應(yīng)的被檢查者未患癌癥的可能性極大．（2）依照貝葉斯公式有而小結(jié)1.主要概念：條件概率，完備事件組2.定理：概率乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式第四節(jié)隨機事件的獨立性二、伯努利概型一、隨機事件獨立性的定義及其性質(zhì)三、小結(jié)事件之間是相互影響的，因此一般來講乘法公式知，一般即事件A的發(fā)生會影響到事件B的發(fā)生．由條件概率的一、隨機事件獨立性的定義及其性質(zhì)定義1：若兩個隨機事件A,B滿足則稱事件A、B相互獨立，簡稱獨立．注1:兩個事件獨立本質(zhì)上是兩個事件發(fā)生與否互不影響，這都表明而當時，有或當時即同理當時，也成立.這樣，利用定義事件的獨立性，就不必再要求或了.亦即當時從而成立；

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張牌，記A例1：為“抽到Q”，B為“抽到的牌是紅色”，判斷事件A,B是否獨立？解：故所以事件A,B獨立．另解:由題意因故事件A,B獨立．從事件獨立性的定義，不難得到如下性質(zhì)．（1）必然事件Ω、不可能事件Φ與任意事件A獨立．（2）若A,B獨立，則由知當A,B獨立時，A與獨立．同理可證其他情形．均獨立．（3）已知，則“A,B獨立”與“A,B不相容”不會同時成立．另外，A,B獨立意味著各自發(fā)生與否互不影響

，而A,B不相容恰好表明A,B之間的排斥特性（自然不獨立）．獨立相容不相容不獨立對于三個或三個以上事件的獨立性，則應(yīng)考慮到其任何局部之間都滿足互不影響的特性．定義2：設(shè)有n個隨機事件，若其中任意k個事件滿足則稱n個事件是相互獨立的．(*)注2:式(*)包含的等式數(shù)上述定義中，若其中任意兩個事件均滿足式(*)，注3:當n較大時，判斷相互獨立的等式數(shù)非常多，因此實踐中往往根據(jù)實際情況判斷事件之間的獨立性．則稱n個事件是兩兩獨立的．顯然，相互獨立必兩兩獨立，兩兩獨立不一定相互獨立，也即兩兩獨立是相互獨立的必要而非充分條件．在一個質(zhì)地均勻的正四面體的表面涂上顏色，其例2：中三個面的每個面均涂一種顏色，分別是紅色、綠色和藍色，第四個面將三種顏色均涂上．隨機地拋一次這個正四面體，將有一個面著地，試討論各著地面顏色的獨立性．出現(xiàn)上述例題結(jié)論的原因是，只要兩種顏色同時著地也就意味著三種顏色同時著地，即那個涂有三種顏色的面著地，從而表明兩種顏色同時著地同另外一種顏色著地有聯(lián)系（不獨立）．由題意易知故R,G,B兩兩獨立而非相互獨立．記R,G,B分別表示紅色、綠色和藍色著地，解：若事件相互獨立，則（1）則其中任意個事件也相互獨立．（2）則將其中任意個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立．n個事件獨立的性質(zhì)：（3）則甲乙丙三人獨立地破譯密碼，已知各自能破譯例3：出密碼的概率分別是和．問密碼能被破譯出來的概率是多少？記A,B,C分別表示甲、乙、丙破譯出密碼，解：則依題意二、伯努利概型定義3：互不影響