“四翼”檢測評價（十四） 萬有引力定律與航天

“四翼”檢測評價（十四）萬有引力定律與航天eq\a\vs4\al(A)組—重基礎(chǔ)·體現(xiàn)綜合1.北斗問天，國之夙愿。我國北斗三號系統(tǒng)的收官之星是地球靜止軌道衛(wèi)星，其軌道半徑約為地球半徑的7倍。與近地軌道衛(wèi)星相比，地球靜止軌道衛(wèi)星()A．周期大 B．線速度大C．角速度大 D．加速度大解析：選A近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑稍大于地球半徑，由萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，由于地球靜止軌道衛(wèi)星的軌道半徑大于近地軌道衛(wèi)星的軌道半徑，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的線速度較小，B錯誤；由萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(2π,T)2，解得周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的周期較大，A正確；由ω＝eq\f(2π,T)，可知地球靜止軌道衛(wèi)星的角速度較小，C錯誤；由萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得加速度a＝Geq\f(M,r2)，所以地球靜止軌道衛(wèi)星的加速度較小，D錯誤。2.如圖所示，在同一軌道平面內(nèi)的兩顆人造地球衛(wèi)星A、B繞地球做同方向的勻速圓周運動，周期分別為TA、TB。某時刻A、B和地球恰好在同一條直線上，從此時刻開始到A、B和地球再次共線的時間間隔為t，下列說法中正確的是()A．A、B衛(wèi)星的線速度vA<vBB．A、B衛(wèi)星的向心加速度aA<aBC．t一定大于TAD．t一定大于eq\f(TA,2)解析：選D設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，a＝eq\f(GM,r2)。由v＝eq\r(\f(GM,r))知衛(wèi)星的軌道半徑越大，線速度越小，所以有vA＞vB，故A錯誤；由a＝eq\f(GM,r2)知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，向心加速度越小，所以有aA＞aB，故B錯誤；由幾何關(guān)系可知，從圖中位置開始至A、B和地球再次共線，A比B多轉(zhuǎn)過的角度為nπ(n＝1,2,3，…)，則有eq\f(2π,TA)·t－eq\f(2π,TB)·t＝nπ(n＝1,2,3，…)，可得t＝eq\f(n,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(TA,1－\f(TA,TB))))(n＝1,2，3，…)，即t一定大于eq\f(TA,2)，故C錯誤，D正確。3．(2023·湖南師大附中高一檢測)2022年6月6日，神舟十四號在軌期間開展24項航天醫(yī)學(xué)實驗，此項活動對航天醫(yī)學(xué)領(lǐng)域有著重要意義。已知神舟十四號的運行軌道距離地面約為400km，距離地心約為1.06倍地球半徑，可以近似看成圓周運動。同步衛(wèi)星距離地心約為6.6倍地球半徑，下列說法正確的是()A．神舟十四號在軌運行的角速度比同步衛(wèi)星大B．神舟十四號在軌運行的線速度比同步衛(wèi)星小C．神舟十四號相對地面保持相對靜止D．神舟十四號在軌的運行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度解析：選A二者都圍繞地球做圓周運動，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝mω2r＝meq\f(v2,r)，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，v＝eq\r(\f(GM,r))，神舟十四號的軌道半徑較小，相應(yīng)角速度、線速度均較大，A正確，B錯誤；由萬有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，同步衛(wèi)星的運行周期為24h，而神舟十四號運行周期小于同步衛(wèi)星，不可能相對地面保持靜止，C錯誤；當(dāng)r＝R時，衛(wèi)星的環(huán)繞速度等于第一宇宙速度，而神舟十四號軌道半徑略大于地球半徑，運行速度必然略小于第一宇宙速度，D錯誤。4．某科幻電影中的黑洞模型花費三十名研究人員將近一年的時間，用數(shù)千臺計算機精確模擬才得以實現(xiàn)。若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度大約為()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2解析：選C黑洞實際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，設(shè)黑洞表面的重力加速度為g，對黑洞表面的某一質(zhì)量為m的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，聯(lián)立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入數(shù)據(jù)得黑洞表面重力加速度約為1012m/s2，故C正確。5．由中山大學(xué)發(fā)起的空間引力波探測工程“天琴計劃”擬對一個超緊湊雙白矮星系統(tǒng)產(chǎn)生的引力波進行探測。該計劃采用三顆相同的衛(wèi)星岱(SC1、SC2、SC3)構(gòu)成一個等邊三角形，三角形邊長約為地球半徑的27倍，地球恰好處于三角形中心，衛(wèi)星將在以地球為中心的圓軌道上運行，如圖所示(只考慮衛(wèi)星和地球之間的引力作用)，則()A．衛(wèi)星繞地球運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期B．衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度大于近地衛(wèi)星的向心加速度C．衛(wèi)星繞地球運行的速度等于第一宇宙速度D．衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度解析：選A根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知軌道半徑越大，周期越大，故衛(wèi)星繞地球運行的周期大于近地衛(wèi)星的運行周期，A正確；由Geq\f(Mm,r2)＝ma，可知軌道半徑越大，向心加速度越小，所以衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度小于近地衛(wèi)星的向心加速度，故B錯誤；第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，該衛(wèi)星繞地球運行的速度小于第一宇宙速度，所以C錯誤；地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，所以D錯誤。6．(2023·煙臺高一檢測)如圖為某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動的示意圖，若A星的軌道半徑大于B星的軌道半徑，雙星的總質(zhì)量為M，雙星間的距離為L，其運動周期為T，則()A．A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量B．A的線速度一定大于B的線速度C．L一定，M越大，T越大D．M一定，L越小，T越大解析：選B雙星系統(tǒng)中兩星間距不變，角速度相等，根據(jù)v＝rω，因為rB<rA，故vA>vB，故B正確；雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，所以向心力相等，故mArAω2＝mBrBω2，因為rB<rA，所以mB>mA，即B的質(zhì)量一定大于A的質(zhì)量，故A錯誤；根據(jù)牛頓第二定律得Geq\f(mAmB,L2)＝mAeq\f(4π2,T2)rA＝mBeq\f(4π2,T2)rB，其中rA＋rB＝L，聯(lián)立解得：T＝2πeq\r(\f(L3,GmA＋mB))＝2πeq\r(\f(L3,GM))，故L一定，M越大，T越小，M一定，L越小，T越小，故C、D錯誤。7．(多選)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍。下列應(yīng)用公式進行的推論正確的有()A．由v＝eq\r(gR)可知，甲的速度是乙的eq\r(2)倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝eq\f(GMm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq\f(1,4)D．由eq\f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍解析：選CD兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，甲的軌道半徑是乙的2倍，由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r))，則乙的速度是甲的eq\r(2)倍，A錯誤；由ma＝eq\f(GMm,r2)，可得a＝eq\f(GM,r2)，則乙的向心加速度是甲的4倍，B錯誤，由F＝eq\f(GMm,r2)，結(jié)合兩人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，可知甲的向心力是乙的eq\f(1,4)，C正確；兩衛(wèi)星均繞地球做圓周運動，且甲的軌道半徑是乙的2倍，結(jié)合開普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2eq\r(2)倍，D正確。8．(多選)某國際研究小組觀測到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞二者連線上的某點做勻速圓周運動，雙星系統(tǒng)中質(zhì)量較小的星體能“吸食”質(zhì)量較大的星體的表面物質(zhì)，達到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的。根據(jù)大爆炸宇宙學(xué)可知，雙星間的距離在緩慢增大，假設(shè)星體的軌道近似為圓，則在該過程中()A．雙星做圓周運動的角速度不斷減小B．雙星做圓周運動的角速度不斷增大C．質(zhì)量較大的星體做圓周運動的軌道半徑減小D．質(zhì)量較大的星體做圓周運動的軌道半徑增大解析：選AD設(shè)質(zhì)量較小的星體質(zhì)量為m1，軌道半徑為r1，質(zhì)量較大的星體質(zhì)量為m2，軌道半徑為r2。雙星間的距離為L，則L＝r1＋r2，轉(zhuǎn)移的質(zhì)量為Δm。根據(jù)萬有引力提供向心力，對m1：Geq\f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m1＋Δm)ω2r1，①對m2∶Geq\f(m1＋Δmm2－Δm,L2)＝(m2－Δm)ω2r2，②由①②得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))，總質(zhì)量m1＋m2不變，兩者距離L增大，則角速度ω變小，故A正確，B錯誤。由②式可得r2＝eq\f(Gm1＋Δm,ω2L2)，把ω的值代入得：r2＝eq\f(Gm1＋Δm,\f(Gm1＋m2,L3)L2)＝eq\f(m1＋Δm,m1＋m2)L，因為L增大，故r2增大，即質(zhì)量較大的星體做圓周運動的軌道半徑增大，故C錯誤，D正確。9．半徑R＝4500km的某星球上有一傾角為30°的固定斜面，一質(zhì)量為1kg的小物塊在力F作用下從靜止開始沿斜面向上運動，力F始終與斜面平行。如果物塊和斜面間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),3)，力F隨時間變化的規(guī)律如圖所示(取沿斜面向上方向為正)，2s末物塊速度恰好又為0。引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2。試問：(1)該星球的質(zhì)量大約是多少？(2)要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，至少需要多大速度？(計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解析：(1)設(shè)星球表面的重力加速度為g。小物塊在力F1＝20N作用過程中有：F1－mgsinθ－μmgcosθ＝ma1，1s末速度為v＝a1t1，小物塊在力F2＝4N作用過程中有：F2＋mgsinθ＋μmgcosθ＝ma2，且有v＝a2t2，聯(lián)立以上四式，解得g＝8m/s2，由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq\f(gR2,G)＝eq\f(8×4500×1032,6.67×10－11)kg≈2.4×1024kg。(2)要從該星球上拋出一個物體，使該物體不再落回星球，拋出物體的最小速度為v′，必須滿足：mg＝meq\f(v′2,R)，得v′＝eq\r(gR)＝eq\r(8×4500×103)m/s＝6×103m/s＝6.0km/s。答案：(1)2.4×1024kg(2)6.0km/seq\a\vs4\al(B)組—重應(yīng)用·體現(xiàn)創(chuàng)新10．(2023·徐州高一檢測)“雙星系統(tǒng)”是由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體。如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2＝3∶2，下列說法中正確的是()A．m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2B．m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2C．m1做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)LD．m2做圓周運動的半徑為eq\f(2,5)L解析：選C設(shè)雙星m1、m2距轉(zhuǎn)動中心O的距離分別為r1、r2，雙星繞O點轉(zhuǎn)動的角速度為ω，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得Geq\f(m1m2,L2)＝m1r1ω2＝m2r2ω2。又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，所以可解得r1＝eq\f(2,5)L，r2＝eq\f(3,5)L。m1、m2運動的線速度分別為v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3。綜上所述，選項C正確。11．(2023·揭陽高一檢測)“天問一號”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉(zhuǎn)移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，則天問一號()A．發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間B．從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間小于6個月C．在環(huán)繞火星的停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小D．在地火轉(zhuǎn)移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度解析：選C因“天問一號”要掙脫地球引力束縛，變軌到繞太陽轉(zhuǎn)動，則發(fā)射速度要大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，即發(fā)射速度介于11.2km/s與16.7km/s之間，A錯誤；由P點轉(zhuǎn)移到Q點的轉(zhuǎn)移軌道的半長軸大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，則其周期大于地球公轉(zhuǎn)周期(12個月)，則從P點轉(zhuǎn)移到Q點的時間為轉(zhuǎn)移軌道周期的一半，應(yīng)大于6個月，B錯誤；因“天問一號”在環(huán)繞火星的停泊軌道的半長軸小于調(diào)相軌道的半長軸，則由開普勒第三定律可知在停泊軌道運行的周期比在調(diào)相軌道上小，C正確；從P點變軌時，要增大速度，此后做離心運動，速度減小，在地火轉(zhuǎn)移軌道Q點運動的速度小于地球繞太陽的速度，D錯誤。12．我國已掌握“高速半彈道跳躍式再入返回技術(shù)”。如圖虛線為大氣層邊界，返回器與服務(wù)艙分離后，從a點無動力滑入大氣層，然后從c點“跳”出，再從e點“躍”入，實現(xiàn)多次減速，可避免損壞返回器。d點為軌跡的最高點，離地心的距離為r，返回器在d點時的速度大小為v，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則返回器()A．在b點處于失重狀態(tài)B．在a、c、e點時的速率相等C．在d點時的加速度大小為eq\f(GM,r2)D．在d點時的速度大小v＞eq\r(\f(GM,r))解析：選C由題意知，返回器在b點處于超重狀態(tài)，故A錯誤；從a到e通過大氣層，除了受到萬有引力作用，由于有空氣的阻力作用，在a、c、e三點時的速率不等，故B錯誤；在d點受萬有引力F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，所以加速度a＝eq\f(GM,r2)，故C正確；在d點，v＜eq\r(\f(GM,r))，所以D錯誤。13．神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律，天文學(xué)家觀測河