偏導(dǎo)數(shù)習(xí)題課(練習(xí)冊(cè))

本

章

要

求1.求

二

元

函

數(shù)

的

極

限(

會(huì)

判

斷

極限

不

存

在

)2.求

顯

函

數(shù)

的

一

階

、

高

階

偏

導(dǎo)

數(shù)3.求

隱

函

數(shù)(

一

個(gè)

方

程

情

況

)的

一階

、

二

階

偏

導(dǎo)

數(shù)(公式：方法)4.

求

抽

象

復(fù)

合

函

數(shù)

的

一

階

、

二

階

偏

導(dǎo)

數(shù)(

注

意

點(diǎn)

：

)5.求函數(shù)的全微分、方向?qū)?shù)、梯度(公式：方法)6

.求

空間曲

線(

參

數(shù)

方

程

形

式

)

在

一點(diǎn)

處的

切

線

、

法平面；空間曲面在一點(diǎn)處的切平面、法線(公式：方法)7.求

二

元

函

數(shù)

的

極

值(步驟，方法)8.應(yīng)

用

題中

的

最

值

，

條

件

極

值

的

拉

格

朗日

乘

數(shù)

法(步驟，方法)二

.

6

f(x,y,x)=x2-xy+z2()gradf(1,0,1)(2)f(x,y

,x)在(1,0,1)處沿該點(diǎn)到(2,4,2)方向?qū)?shù)解：

f=2x-y

f,=-x

f=2z)gradf(1,0,)=f、,f,,f)luo

=(2,-1,2)(2P56.三

系·票-sm(x2p2-(x2yX,-2kysim(xy>)=sin(x2y)2(x2y),

=x2sim(xy2)(C/o*)

=/1*(>1(N)P?6.六:-u*px~=(a-1)u?

c*=0,

所以α=1求

a,

使七

、

設(shè)變換

可把求

a-?-210

+5a≠0,6+a-a2=0=3qP57.九求

f(x,y)=(x2-y2-1D)2+4x2y2

極值解：

(0,0),(1,0),(-1,0)在(0,0)

A=-4,B=0,C=4在(±1,0)

A=12,B=-8,C=20f=12x2-4y2-4+8y2

極小值：

f(±1,0)=0AC-B2=-16<0AC-B2>0切平面即

應(yīng)應(yīng)云-1.下面計(jì)算f

=

√xn

√Dn

√4

在條件√N(yùn)+

√v+

√=1下的最大值。十

、

求

√x+√y+√z=1的切平面，使其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之積為最大

解

：F=√x+√

D+√<-1,點(diǎn)(xn~Vn,<n)處切平面法向量在(0,0,f(0,0))

的法向量為(3,1,1)在(0.0,/(0.0)的切向量為(1,0,3)在(u.m./00)的法向量為(3.0.1)P58.一、5

f(x,y)在

(0,0)附近有定義，且f(0,0)=3,f(0,0)=1

則(

)(4)dzlu.o=3dx+dy(B)2=f(x,y)(C)(D)P59.

六

x=flx,f(x,y)]

票

·解：

f1x,f(*,1+1,f(x,D1(x,)

flx,f(x,y)lgf2(x,y)意義不同，符號(hào)不能相同!七：證

()=0上任意點(diǎn)切平面過一個(gè)定點(diǎn)。證：設(shè)

,

點(diǎn)(cm)nrn)處切平面法向量切平面為(x,y,z)=(0,0,0)

代入滿足方程P60.

八：已知

f(u,v)

滿

足

0(x,y)=f(x2-y2,2xy)滿足

解：

K-2xJ+2y/

2-21+2.12xF?+2vFs+2m12.×+2v/12φ--2F-2y1-2v/+2V71+2M-2VS+2.VI=(4.x2+4y2)(f(+f2)=0y*22思路：

設(shè)曲線上的點(diǎn)(x,y,z)求

Iz|

在

條

下

的

最

大

、

最

小

值解

：L=x2+λ(x2+y2-2x2)+μ(x+y+3z-5)上

距

離xOy

面最

遠(yuǎn)

和

最

近

的

點(diǎn)

。P60.

九

：求曲線

C:解：L=x2+λ(x2+y2-2x2)+μ(x+y+3z-5)L.=2ax+μ=0L)=2λy+μ=0L=-4λx+3μ=0Li=x2+y2-2x2=0L=x+y+3x-5=0>

x=Y

(-5,-5,5),(1,1,1)P53.七f(x,y)=1x-y1φ(x,y),φ(x,y)

連續(xù)，f

.(0,0),f,(0,0)存在的條件f(0,0)存在，即有

φ(0,0)=-φ(0,0)

所以：p(0,0)=0P57.

八

設(shè)

z=x(x,y)由方程

x+x=yf(x2-x2)確定，證明：

證：