人教A版數(shù)學選修2-1講義第2章2.42.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)Word版含答案

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學習目標核心素養(yǎng)1.掌握拋物線的幾何性質(zhì)．(重點)2.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷及相關(guān)問題．(重點)3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點弦、弦中點等問題．(難點)1.通過拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng).2.通過直線與拋物線的位置關(guān)系、焦點弦及中點弦、拋物線綜合問題的學習，提升學生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學運算的核心素養(yǎng).1．拋物線的幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)圖形性質(zhì)焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸y軸頂點(0，0)離心率e＝12.焦點弦直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，與拋物線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，由拋物線的定義知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，故|AB|＝x1＋x2＋p．3．直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0時，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點．當k＝0時，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，此時直線與拋物線有一個公共點．思考：直線與拋物線只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？[提示]可能相切，也可能相交，當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線相交且只有一個公共點．1．拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M到x軸的距離是()A.eq\f(17,16) B.eq\f(7,8)C．1 D.eq\f(15,16)D[拋物線方程可化為x2＝eq\f(1,4)y，其準線方程為y＝－eq\f(1,16)，點M到焦點的距離等于點M到準線的距離．∴點M到x軸的距離是eq\f(15,16).]2．頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16yD[頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由頂點到準線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.]3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝6，則|AB|＝()A．10 B．8C．6 D．4B[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]4．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________．2[F(1，0)，由拋物線定義得A點橫坐標為1.∴AF⊥x軸，∴|BF|＝|AF|＝2.]拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用【例1】(1)已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長等于2eq\r(3)，則拋物線的方程為________．(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，求拋物線的標準方程．(1)y2＝3x或y2＝－3x[根據(jù)拋物線和圓的對稱性知，其交點縱坐標為±eq\r(3)，交點橫坐標為±1，則拋物線過點(1，eq\r(3))或(－1，eq\r(3))，設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，則2p＝3，從而拋物線方程為y2＝3x或y2＝－3x.](2)解：由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.而拋物線準線方程為x＝－eq\f(p,2)，于是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，從而△AOB的面積為eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，可得p＝2.因為拋物線開口向右，所以其標準方程為y2＝4x.拋物線各元素間的關(guān)系拋物線的焦點始終在對稱軸上，頂點就是拋物線與對稱軸的交點，準線始終與對稱軸垂直，準線與對稱軸的交點和焦點關(guān)于頂點對稱，頂點到焦點的距離等于頂點到準線的距離為eq\f(p,2).1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)xC[設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點A在x軸上方)，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故選C.]與中點弦、焦點弦有關(guān)的問題【例2】(1)過點Q(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，則AB所在直線的方程為________．(2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9.①求該拋物線的方程；②O為坐標原點，C為拋物線上一點，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\o(OB,\s\up8(→))，求λ的值．思路探究：(1)法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，用點差法求kAB；法二：設(shè)直線AB的方程，建立方程求解．(2)①設(shè)出直線方程，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)焦點弦長公式求解．②根據(jù)①求出點A、B的坐標，設(shè)出點C的坐標，由eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋λeq\o(OB,\s\up8(→))，可用λ表示點C的坐標，最后根據(jù)點C在拋物線上求出λ值．[解](1)法一：設(shè)以Q為中點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，∴k＝4.∴所求弦AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.法二：設(shè)弦AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的兩根就是線段端點A，B兩點的縱坐標，由根與系數(shù)得y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在直線的方程為4x－y－15＝0.(2)①直線AB的方程是y＝2eq\r(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2))；設(shè)eq\o(OC,\s\up8(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.直線與拋物線相交的弦長問題直線和拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k.(1)一般的弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.(2)焦點弦長公式：當直線經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點時，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(3)“中點弦”問題解題策略兩種方法2．(1)已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點．若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________．y2＝4x[設(shè)拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(2,1)＝2px1，①,yeq\o\al(2,2)＝2px2，②))②－①整理得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)，又eq\f(y2－y1,x2－x1)＝1，y1＋y2＝4，所以2p＝4.因此拋物線C的方程為y2＝4x.](2)直線l過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，若|AB|＝8，求直線l的方程．[解]因為拋物線y2＝4x的焦點坐標為(1，0)，若直線l與x軸垂直，則直線l的方程為x＝1，此時|AB|＝4，不合題意，所以可設(shè)所求直線l的方程為y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).又AB過焦點，由拋物線的定義可知|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，所以eq\f(2k2＋4,k2)＝6，解得k＝±1.所以所求直線l的方程為x＋y－1＝0或x－y－1＝0.直線與拋物線的位置關(guān)系【例3】(1)已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則()A．直線與拋物線有一個公共點B．直線與拋物線有兩個公共點C．直線與拋物線有一個或兩個公共點D．直線與拋物線可能沒有公共點(2)已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點P(－2，1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y2＝4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？思路探究：(1)直線y＝kx－k過定點(1，0)，根據(jù)定點與拋物線的位置關(guān)系判斷．(2)直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)“Δ”的正負判斷．(1)C[直線方程可化為y＝k(x－1)，因此直線恒過定點(1，0)，點(1，0)在拋物線y2＝2px(p>0)的內(nèi)部，因此直線與拋物線有一個或兩個公共點，故選C.](2)解：由題意，直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－1＝k（x＋2），,y2＝4x，))(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(Ⅰ)：當k＝0時，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝eq\f(1,4)，這時，直線l與拋物線只有一個公共點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).(Ⅱ)：當k≠0時，方程①的判別式為Δ＝－16(2k2＋k－1)．a(chǎn)．由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)，所以方程①只有一個解，從而方程組(*)只有一個解，這時直線l與拋物線只有一個公共點．b．由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1<k<eq\f(1,2)，于是，當－1<k<eq\f(1,2)，且k≠0時，方程①有兩個解，從而方程組(*)有兩個解，這時直線l與拋物線有兩個公共點．c．由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>eq\f(1,2).于是當k<－1或k>eq\f(1,2)時，方程①沒有實數(shù)解，從而方程組(*)沒有解，直線l與拋物線無公共點．綜上，當k＝0或k＝－1或k＝eq\f(1,2)時，直線l與拋物線只有一個公共點．當－1<k<eq\f(1,2)，且k≠0時直線l與拋物線有兩個公共點．當k<－1或k>eq\f(1,2)時，直線l與拋物線無公共點．直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．(2)若k2≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當Δ<0時，直線與拋物線相離，無公共點．3．若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．[解]因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝（a＋1）x－1，,y2＝ax))只有一組實數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①(1)當a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)當a＋1≠0，即a≠－1時，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程組有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))綜上，實數(shù)a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用[探究問題]1．若兩條直線的斜率存在且傾斜角互補時，兩條直線的斜率有什么關(guān)系？[提示]兩條直線的斜率互為相反數(shù)．2．如何求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小值？[提示]法一：設(shè)A(t，－t2)為拋物線上的點，則點A到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)＝eq\f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))\s\up20(2)－\f(4,3)＋8))＝eq\f(1,5)|3(t－eq\f(2,3))2＋eq\f(20,3)|＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))eq\s\up20(2)＋eq\f(4,3).∴當t＝eq\f(2,3)時，d有最小值eq\f(4,3).法二：如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－eq\f(4,3).∴最小距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).【例4】如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點為坐標原點，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．(1)求拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，證明：直線AB的斜率為定值．思路探究：第(1)問可以利用待定系數(shù)法解決；第(2)問關(guān)鍵是如何將PA與PB兩條直線的傾斜角互補與直線AB的斜率聯(lián)系起來．[解](1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由點P(1，2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求拋物線的方程是y2＝4x，準線方程是x＝－1.(2)證明：因為PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，所以kPA＝－kPB，即eq\f(y1－2,x1－1)＝－eq\f(y2－2,x2－1).又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝eq\f(yeq\o\al(2,1),4)，x2＝eq\f(yeq\o\al(2,2),4)，從而有eq\f(y1－2,\f(yeq\o\al(2,1),4)－1)＝－eq\f(y2－2,\f(yeq\o\al(2,2),4)－1)，即eq\f(4,y1＋2)＝－eq\f(4,y2＋2)，得y1＋y2＝－4，故直線AB的斜率kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝－1.1．若本例題改為：如圖所示，已知直線l：y＝2x－4交拋物線y2＝4x于A，B兩點，試在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求出這個最大面積．如何求解？[解]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－4，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))由圖可知，A(4，4)，B(1，－2)，則|AB|＝3eq\r(5).設(shè)P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點，d為點P到直線AB的距離，則d＝eq\f(|2x0－y0－4|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),2)－y0－4))＝eq\f(1,2\r(5))|(y0－1)2－9|.∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.∴d＝eq\f(1,2\r(5))[9－(y0－1)2]．從而當y0＝1時，dmax＝eq\f(9,2\r(5))，Smax＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2\r(5))×3eq\r(5)＝eq\f(27,4).故當點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))時，△PAB的面積取得最大值，最大值為eq\f(27,4).2.若本例改為：在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點F(1，0)，直線l：x＝－1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求動點Q的軌跡方程；(2)記Q的軌跡為曲線E，過點F作兩條互相垂直的直線交曲線E的弦為AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，求證：直線MN過定點(3，0)．如何求解？[解](1)因為點F(1，0)，直線l：x＝－1，所以點R是線段FP的中點，由此及RQ⊥FP知，RQ是線段FP的垂直平分線．因為|PQ|是點Q到直線l的距離，而|PQ|＝|QF|，所以動點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為y2＝4x(x>0)．(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直線AB：x＝my＋1(m≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2－4my－4＝0.于是，有yM＝eq\f(y1＋y2,2)＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m)．同理，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋1，－\f(2,m))).因此，直線MN的斜率kMN＝eq\f(2m＋\f(2,m),（2m2＋1）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋1)))＝eq\f(m,m2－1)，方程為y－2m＝eq\f(m,m2－1)(x－2m2－1)，即mx＋(1－m2)y－3m＝0.顯然，不論m為何值，(3，0)均滿足方程，所以直線MN過定點(3，0)．應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便．(2)軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系．(3)在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．(4)圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運算找到定點、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點、定值．1．討論拋物線的幾何性質(zhì)，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質(zhì)，也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程．2．直線與拋物線的相交弦問題共有兩類，一類是過焦點的弦，一類是不過焦點的弦．解決弦的問題，大多涉及到拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率．常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，這樣避免求交點．尤其是弦的中點問題，還應(yīng)注意“點差法”的運用．3．判斷直線與拋物線位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：利用圖象，數(shù)形結(jié)合，判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，但有誤差影響判斷的結(jié)果．(2)代數(shù)法：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋