經(jīng)典-復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章-復(fù)數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景

（莫里斯克萊恩

）(1908-1992)(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點來看,十九世紀最獨特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論.這個新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀,幾乎象微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀那樣.這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個世紀的數(shù)學(xué)享受.它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.第一頁第二頁，共98頁。的概念,從而建立了復(fù)變函數(shù)理論.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，人們引入復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于計算某些復(fù)雜的實函數(shù)的積分.(1)代數(shù)方程

在實數(shù)范圍內(nèi)無解.

（阿達馬）說:實域中兩個真理之間的最短路程是通過復(fù)域.(3)復(fù)變函數(shù)理論可以應(yīng)用于流體的平面平行流動等問題的研究.函數(shù)理論證明了應(yīng)用復(fù)變第二頁第三頁，共98頁。(4)應(yīng)用于計算繞流問題中的壓力和力矩等.(5)應(yīng)用于計算滲流問題.例如：大壩、鉆井的浸潤曲線.(6)應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強度.例如：熱爐中溫度的計算.最著名的例子是飛機機翼剖面壓力的計算,從而研究機翼的造型問題.第三頁第四頁，共98頁。變換應(yīng)用于頻譜分析和信號處理等.(8)復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ).積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域．頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進行分析.隨著計算機的發(fā)展，語音、圖象等作為信號，在頻域中的處理要方便得多.(9)第四頁第五頁，共98頁。變換應(yīng)用于控制問題.在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比.(11)Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng).(12)小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號分析和圖象處理、語音識別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報等等.(13)復(fù)變函數(shù)與積分變換的計算可以使用為科學(xué)和工程計算設(shè)計的軟件(10)第五頁第六頁，共98頁。主要內(nèi)容

本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及表示式、復(fù)數(shù)的運算、平面點集的概念.然后討論復(fù)變函數(shù)的極限連續(xù)性.第六頁第七頁，共98頁?！?.1-1.2復(fù)數(shù)及其表示式1復(fù)數(shù)的概念2復(fù)數(shù)的四則運算3復(fù)數(shù)的表示方法4乘冪與方根第七頁第八頁，共98頁。1.1.1復(fù)數(shù)的概念由于解代數(shù)方程的需要,人們引進了復(fù)數(shù).例如，簡單的代數(shù)方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解.為了建立代數(shù)方程的普遍理論，引入等式由該等式所定義的數(shù)稱為第八頁第九頁，共98頁。當復(fù)數(shù)的虛部為零、實部不為零(即y=0,)時，復(fù)數(shù)x+iy等于x+i0為實數(shù)x,而虛部不為零(即)的復(fù)數(shù)稱為虛數(shù).在虛數(shù)中,實部為零(即x=0,)的稱為純虛數(shù).例如,3+0i=3是實數(shù),4+5i,-3i都是虛數(shù),而-3i是純虛數(shù).數(shù)x+iy(或x+yi)的,并記做稱形如x+iy或x+yi的表達式為復(fù)數(shù)，其中

x和y是任意兩個實數(shù).把這里的x和y分別稱為復(fù)第九頁第十頁，共98頁。顯然,z=x+iy是x-yi的共軛復(fù)數(shù),即共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)x-iy稱為復(fù)數(shù)x+yi的(其中x,y均為實數(shù)),并記做.第十頁第十一頁，共98頁。1.1.2復(fù)數(shù)的四則運算注意

復(fù)數(shù)不能比較大小.設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2是兩個復(fù)數(shù),如果x1=x2,y1=y2,則稱z1和z2相等,記為z1=z2.復(fù)數(shù)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2的加、減、乘、除運算定義如下：(1)復(fù)數(shù)的和與差第十一頁第十二頁，共98頁。(2)復(fù)數(shù)的積(3)復(fù)數(shù)的商復(fù)數(shù)運算的性質(zhì)1.交換律第十二頁第十三頁，共98頁。2.結(jié)合律3.分配律第十三頁第十四頁，共98頁。解例1.1設(shè)

求與第十四頁第十五頁，共98頁。例1.2……第十五頁第十六頁，共98頁。例1.3設(shè)z1,z2是兩個復(fù)數(shù),證明證明因為所以由運算規(guī)律7，有本例也可以用乘法和共軛復(fù)數(shù)的定義證明.第十六頁第十七頁，共98頁。給定一復(fù)數(shù)z=x+yi,在坐標平面XOY上存在惟一的點P(x,y)與z=x+yi對應(yīng).反之,對XOY平面上的點P(x,y),存在惟一的復(fù)數(shù)z=x+yi與它對應(yīng).根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運算及向量的代數(shù)運算的定義知這種對應(yīng)構(gòu)成了同構(gòu)映射.因此可以用XOY平面上的點表示復(fù)數(shù)z.這時把XOY平面平面稱為復(fù)平面.有時簡稱為z平面.1.1.3復(fù)平面與復(fù)數(shù)的表示法第十七頁第十八頁，共98頁。顯然,實數(shù)與x軸上的點一一對應(yīng),而x軸以外的點都對應(yīng)一個虛數(shù),純虛數(shù)與y軸上的點(除原點)對應(yīng).因此,稱x軸為實軸,y軸為虛軸.今后把復(fù)平面上的點和復(fù)數(shù)z不加區(qū)別,即“點z”和“復(fù)數(shù)z”是同一個意思.有時用C表示全體復(fù)數(shù)或復(fù)平面.復(fù)數(shù)z也可以用以原點為起點而以點P為終點的向量表示(如圖).第十八頁第十九頁，共98頁。這時復(fù)數(shù)加、減法滿足向量加、減法中的平行四邊形法則.用表示復(fù)數(shù)z時,這個向量在x軸和y軸上的投影分別為x和y.把向量的長度r稱為復(fù)數(shù)z的或稱為z的絕對值,并記做|z|.顯然第十九頁第二十頁，共98頁。如果點P不是原點(即),那么把x軸的正向與向量的夾角q稱為復(fù)數(shù)z的輻角,記做Argz.

對每個,都有無窮多個輻角,因為用q0表示復(fù)數(shù)z的一個輻角時,就是z的輻角的一般表達式.第二十頁第二十一頁，共98頁。有時,在進行說明后,把主輻角定義為滿足的方向角；但當z=0時,|z|=0.滿足的復(fù)數(shù)z的稱為主輻角(或稱輻角的主值),記做argz,則的輻角,這時上式仍然成立.當z=0時,Argz沒有意義,即零向量沒有確定第二十一頁第二十二頁，共98頁。當時,有說明：當z在第二象限時，第二十二頁第二十三頁，共98頁。利用直角坐標與極坐標之間的關(guān)系數(shù)z的三角表示式.再利用Euler公式

復(fù)數(shù)z=x+yi可表示為稱為復(fù)復(fù)數(shù)z=x+yi又可表示為稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式,其中r=|z|,q=Argz.第二十三頁第二十四頁，共98頁。例1.4將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此第二十四頁第二十五頁，共98頁。2)顯然,r=|z|=1,又因此第二十五頁第二十六頁，共98頁。例1.5寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：第二十六頁第二十七頁，共98頁。當時,當時,共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實軸對稱的.第二十七頁第二十八頁，共98頁。復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)從幾何上看,復(fù)數(shù)z2-z1所表示的向量,與以z1為起點、z2為終點的向量相等(方向相同,模相等).復(fù)數(shù)的加、減運算對應(yīng)于復(fù)平面上相應(yīng)向量的加、減運算.第二十八頁第二十九頁，共98頁。1.1.4

乘冪與方根設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2的三角表示式為根據(jù)乘法定義和運算法則及兩角和公式,第二十九頁第三十頁，共98頁。于是應(yīng)該注意的是中的加法是集合的加法運算：即將兩個集合中所有的兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.元素相加構(gòu)成的集合第三十頁第三十一頁，共98頁。兩個復(fù)數(shù)相乘的幾何意義設(shè)兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為先將z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度,再將模變到原來的r2倍,于是所得的向量z就表示乘積第三十一頁第三十二頁，共98頁。利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么第三十二頁第三十三頁，共98頁。如果寫成指數(shù)形式，即如果那么特別地，當|z|=r=1時,變?yōu)榈谌摰谌捻摚?8頁。稱為DeMovie公式（棣摩弗公式）.那么DeMovie公式仍然成立.設(shè)如果定義負整數(shù)冪為當(即)時,第三十四頁第三十五頁，共98頁。則如果將z1和z2寫成指數(shù)形式于是

兩個復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.第三十五頁第三十六頁，共98頁。方根,記做或如果于是,當時,對給定的復(fù)數(shù)z,方程wn=z的解w稱為z的n次第三十六頁第三十七頁，共98頁。滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術(shù)根.于是當取k=0,1,2,···,n-1時,對一個取定的q,可得

n個相異根如下第三十七頁第三十八頁，共98頁。由三角函數(shù)的周期性第三十八頁第三十九頁，共98頁?？梢?除w0,w1,···,wn-1外,均是重復(fù)出現(xiàn)的,故當z=0時,w=0就是它的n次方根.常取主輻角.若用指數(shù)表示式,則當z=reiq時,這n個復(fù)數(shù)就是所要求的n個根.在上面的推導(dǎo)過程中,可取q為一個定值,通第三十九頁第四十頁，共98頁。例1.6求方程w4+16=0的四個根.因為-16=24e(2k+1)pi,所以w4=24e(2k+1)pi.于是第四十頁第四十一頁，共98頁。w1,w2,w3,w4恰好是以原點為圓心、半徑為2的圓一般情況下,n個根就是以原點為中心、半徑為的圓的內(nèi)接正多邊形的n個頂點所表示的復(fù)數(shù).|z|=2的內(nèi)接正方形的四個頂點(如圖).第四十一頁第四十二頁，共98頁。例1.7求[解]因為所以第四十二頁第四十三頁，共98頁。即注：四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy第四十三頁第四十四頁，共98頁。例1.8設(shè)求解：若取則若取則第四十四頁第四十五頁，共98頁。§1.3平面點集的一般概念1區(qū)域2Jordan曲線、連通性第四十五頁第四十六頁，共98頁。1.3.1區(qū)域1.鄰域z0是復(fù)平面內(nèi)的定點,滿足不等式|z-z0|<d的一切點所組成的集合{z||z-z0|<d}稱為z0的d鄰域,簡稱為z0的鄰域,其中d>0.z0的鄰域?qū)嶋H上是以z0為中心,d為半徑的圓的內(nèi)部所有點組成的點集,簡記為B(z0,d).由滿足不等式0<|z-z0|<d的一切點所組成的集合稱為z0的去心鄰域.第四十六頁第四十七頁，共98頁。滿足不等式|z|>R(R>0)的一切點(包括無窮遠點)的集合稱為無窮遠點的鄰域.用R<|z|<+

表示無窮遠點的去心鄰域.2.內(nèi)點設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得該鄰域內(nèi)的一切點均屬于E,則稱z0是E的內(nèi)點.即存在r>0,滿足第四十七頁第四十八頁，共98頁。3.外點4.邊界點

設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若存在z0的一個鄰域,使得在此鄰域內(nèi)的一切點均不屬于E,則稱z0是E的外點.即存在r>0,滿足設(shè)E是復(fù)平面上的點集,z0是一個定點,若z0的任何鄰域內(nèi)都含有屬于E的點和不屬于E的點,則稱z0是E的邊界點.第四十八頁第四十九頁，共98頁。即對任意的r>0,存在z1,z2

B(z0,r),滿足顯然,E的內(nèi)點屬于E,而外點不屬于E,但邊界點既可能屬于E,也可能不屬于E.

E的邊界點的全體所組成的集合稱為E的邊界,記做

E.

5.開集設(shè)G是復(fù)平面上的點集,如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,則稱G為開集.第四十九頁第五十頁，共98頁。例1.9設(shè)z0是定點,r>0是常數(shù),則z0為中心,以r為半徑的圓的內(nèi)部點,即滿足不等式|z-z0|<r

的一切點z所組成的點集(z0的r鄰域)是開集.當0

r<R(r和R均是常數(shù))時,滿足不等式r<|z-z0|<R的一切z所組成的點集也是開集.但滿足不等式r<|z-z0|

R的一切點所組成的點集不是開集.因為在圓周|z-z0|=R上的點屬于集合r<|z-z0|

R,但這些點不是它的內(nèi)點,而是邊界點.第五十頁第五十一頁，共98頁。在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點都是點集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|

R的邊界點.兩個圓周上的點都不屬于點集r<|z-z0|<R,內(nèi)圓周|z-z0|=r不屬于點集r<|z-z0|

R,外圓周|z-z0|=R屬于點集r<|z-z0|

R.6.區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的點集，如果滿足以下兩個條件:(1)D是開集；第五十一頁第五十二頁，共98頁。(2)D內(nèi)的任何兩點z1和z2都可以用一條完全在D內(nèi)的折線,把z1和z2連接起來(具有這個性質(zhì)的點集叫做連通的).則稱D是復(fù)平面上的區(qū)域.簡單地說,連通開集稱為區(qū)域.

基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界第五十二頁第五十三頁，共98頁。為閉區(qū)域,記做

例如,滿足不等式|z-z0|

r和r

|z-z0|

R的一切點所組成的點集都是有界的閉區(qū)域,滿足不等式|z|

R的一切點所組成的點集是無界的閉區(qū)域.如果一個平面點集完全包含在原點的某一個鄰域內(nèi),那么稱它是有界的.不是有界集的點集叫做無界集.由區(qū)域D和它的邊界

D所組成的點集，稱第五十三頁第五十四頁，共98頁。(1)圓環(huán)域:例1.10判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.第五十四頁第五十五頁，共98頁。1.3.2Jordan曲線、連通性(1)連續(xù)曲線、Jordan曲線參數(shù)方程x=x(t),y=y(t)(a

t

b)在XOY平面上表示一條曲線C.

把XOY平面視為復(fù)平面時,曲線C的參數(shù)方程可表示為如果x=x(t),y=y(t)(a

t

b)為連續(xù)函數(shù)時,則稱曲線C為連續(xù)曲線.第五十五頁第五十六頁，共98頁。曲線C在復(fù)平面上的參數(shù)方程不僅確定了曲線的形狀,實際上還給出了曲線的方向,也就是說,曲線是沿著t增加的方向變化的.復(fù)平面上對應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點稱為曲線C的起點,對應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點稱為曲線C的終點.若曲線C的起點與終點重合,即z(a)=z(b),則稱C是閉曲線.例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0

t2p)是一條閉曲線,因為z(0)=z(2p)=r.第五十六頁第五十七頁，共98頁。對曲線C的參數(shù)方程做變量代換可得這兩個方程所確定的曲線形狀相同,起點和終點互易,從而方向相反.用Cˉ表示與C形狀相同、方向相反的曲線.如果t1

t2,有z(t1)=z(t2),則稱z(t1)=z(t2)是曲線z=z(t)的重點.第五十七頁第五十八頁，共98頁。如果曲線C:z=z(t)(a

t

b)除起點與終點外無重點,即除t1=a,t2=b之外,如果t1

t2,有z(t1)

z(t2),則稱曲線C是簡單曲線.連續(xù)的簡單閉曲線稱為Jordan曲線.

任何Jordan曲線C將平面分為兩個區(qū)域,即內(nèi)部區(qū)域(有界)與外部區(qū)域(無界),C是它們的公共邊界.內(nèi)部外部邊界第五十八頁第五十九頁，共98頁。下列曲線是否為簡單閉曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉第五十九頁第六十頁，共98頁。關(guān)于曲線方向的說明:

設(shè)C為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選定

C的兩個可能方向中的一個作為正向,則稱C為有向曲線.如果從A到B作為曲線

C的正向,那么從B到A為曲線C的負向,就是Cˉ.除特殊聲明外,正向總是指從起點到終點的方向.CCˉ第六十頁第六十一頁，共98頁。Jordan曲線C有兩個方向,當點z沿著C的一個給定方向變化時,若C的內(nèi)部出現(xiàn)在點z前進方向的左側(cè),就規(guī)定這個方向是正的;否則就說是負的.如果沒有特別說明,約定Jordan曲線的正向為這條曲線的方向.第六十一頁第六十二頁，共98頁。對于圓周曲線可以簡單地說,逆時針方向為曲線的正向,順時針方向為曲線的負向.(2)光滑曲線如果曲線C參數(shù)方程中的x(t)和y(t)都在[a,b]上存在連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且對任何t

[a,b],都有稱C是一條光滑曲線.

第六十二頁第六十三頁，共98頁。由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.能求出長度的曲線稱為可求長曲線.分段光滑曲線是可求長曲線.光滑曲線分段光滑曲線第六十三頁第六十四頁，共98頁。(3)單連通區(qū)域與多連通區(qū)域設(shè)D是復(fù)平面上的一個區(qū)域,如果位于D內(nèi)的任何Jordan曲線的內(nèi)部區(qū)域也都包含于D,則稱D為單連通區(qū)域.若區(qū)域D不是單連通區(qū)域,則稱它為多連通區(qū)域.單連通域多連通域第六十四頁第六十五頁，共98頁。例1.11指出下列不等式所確定的點集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解(1)當時,第六十五頁第六十六頁，共98頁。是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點為中心,半徑為的圓第六十六頁第六十七頁，共98頁。表示到1,–1兩點的距離之表示該橢圓的內(nèi)部,這是有界的單連通區(qū)域(如圖).和為定值4的點的軌跡,因為所以這是橢圓曲線.第六十七頁第六十八頁，共98頁。內(nèi)部.這是有界集,但不是區(qū)域.令是雙葉玫瑰線(也稱雙紐線).表示雙紐線的第六十八頁第六十九頁，共98頁。例1.12滿足下列條件的點集是否區(qū)域?如果是區(qū)域,是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域?這是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.它是單連通區(qū)域.這是以為右邊界的半平面,不包括直線第六十九頁第七十頁，共98頁。它是多連通區(qū)域.它不是區(qū)域.這是以為圓心,以2為半徑的去心圓盤.這是以i為端點,斜率為1的半射線,不包括端點i.第七十頁第七十一頁，共98頁。復(fù)數(shù)可以用平面上的點表示，這是復(fù)數(shù)的幾何表示法的一種，另外還可以用球面上的點表示復(fù)數(shù).設(shè)S是與復(fù)平面C切于原點O的球面.過原點O做垂直于平面C的直線,與S的另一交點為N.原點O稱為S的南極(S極),點N稱為S的北極(如圖).1.4無窮大與復(fù)球面第七十一頁第七十二頁，共98頁。

球面上的點,除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點來表示復(fù)數(shù).球面上的北極N不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點,當球面上的點離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.第七十二頁第七十三頁，共98頁。

規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng),記作

.球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.不包括無窮遠點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.包括無窮遠點的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.

球面上的點與擴充復(fù)平面的點構(gòu)成了一一對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面.第七十三頁第七十四頁，共98頁。

對于復(fù)數(shù)的無窮遠點而言,它的實部、虛部,輻角等概念均無意義,規(guī)定它的模為正無窮大.(1)加法(2)減法(3)乘法(4)除法第七十四頁第七十五頁，共98頁?！?.5復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)1復(fù)變函數(shù)的定義2復(fù)變函數(shù)的極限3函數(shù)的連續(xù)性第七十五頁第七十六頁，共98頁。1.5.1

復(fù)變函數(shù)的定義定義1.1設(shè)E是復(fù)平面上的點集,若對任何z

E,都存在惟一確定的復(fù)數(shù)w和z對應(yīng),稱在E上確定了一個單值復(fù)變函數(shù)，用w=f(z)表示.

E稱為該函數(shù)的定義域.在上述對應(yīng)中,當z

E所對應(yīng)的w不止一個時,稱在E上確定了一個多值復(fù)變函數(shù).數(shù),而例如,w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函第七十六頁第七十七頁，共98頁。是定義在C\{0}上的多值函數(shù).以后不特別申明時，所指的復(fù)變函數(shù)都是單值函數(shù).因為z=x+iy和w都是復(fù)數(shù),若把w記為u+iv時,

u與v也是z的函數(shù),因此也是x和y的函數(shù).于是,可以寫成其中u(x,y)和v(x,y)都是實變量的二元函數(shù).第七十七頁第七十八頁，共98頁。例如:w=z2是一個復(fù)變函數(shù).令因為于是函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個二元實函數(shù)令于是反之,如果第七十八頁第七十九頁，共98頁。反函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)的定義域為復(fù)平面上的點集D,稱復(fù)平面上的點集為函數(shù)w=f(z)的值域.對于任意的w

G,必有D中一個或幾個復(fù)數(shù)與之對應(yīng).于是,確定了G上一個單值或多值函數(shù)z=j(w),稱之為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù).第七十九頁第八十頁，共98頁。定義1.2設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在z0的某個去心鄰域內(nèi)有定義,A是復(fù)常數(shù).若對任意給定的e>0,存在d>0,使得對一切滿足0<|z-z0|<d的z,都有成立,則稱當z趨于z0時,f(z)以A為極限，并記做或注意:定義中z

z0的方式是任意的.1.5.2復(fù)變函數(shù)的極限第八十頁第八十一頁，共98頁。例1.13當z0時,函數(shù)極限不存在.事實上,當z沿直線y=kx趨于零時,該極限值隨k值的變化而變化,所以極限不存在.第八十一頁第八十二頁，共98頁。定義1.3設(shè)f(z)在z0的鄰域內(nèi)有定義,且則稱f(z)在z0處連續(xù).若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱f(z)在區(qū)域D上連續(xù).關(guān)于函數(shù)f(z)在連續(xù)曲線C上的連續(xù)性和閉區(qū)域上的連續(xù)性,只要把上述定義中的z限制在C或上即可.1.5.3函數(shù)的連續(xù)性第八十二頁第八十三頁，共98頁。定理1.1設(shè)則f(x)在處連續(xù)的充分必要條件是都在點連續(xù).證明只須注意,由等式可得不等式第八十三頁第八十四頁，共98頁。又有不等式這個定理說明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價兩個二元實函數(shù)的連續(xù)性.利用這些不等式及，結(jié)論易證.第八十四頁第八十五頁，共98頁。例1.14設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)在點z0連續(xù)，并且f(z0)

0,則存在z0的某個鄰域，使f(z)在此鄰域內(nèi)恒不為0.證明由于f(z)在點z0連續(xù),在點連續(xù),故在點連續(xù).因所以由二元函數(shù)的連續(xù)性,必存在的某個鄰域,使得在此鄰域內(nèi),即在此鄰域內(nèi)f(z)

0.第八十五頁第八十六頁，共98頁。定理1.2設(shè)都在點連續(xù),則都在

點連續(xù)，而

當時，也在點連續(xù).

定理1.3設(shè)在處連續(xù)，

而在點連續(xù)，則

復(fù)合函數(shù)在

點連續(xù).

應(yīng)用或仿證明實函數(shù)類似結(jié)論的方法可以證明上述兩個定理.