垂直于弦的直徑

24.1.2垂直于弦的直徑(1)回顧思考CBADO有關(guān)概念:圓弦弧·ABCDOP直徑CD垂直于弦AB.猜想AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒AP=BP·ABCDOPAP=BP，AC=BC

，AD=BD⌒⌒⌒⌒求證：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為P。已知：

連接OA,OB,則OA=OB.∵OA=OB，OP⊥ＡＢ，∴AP=BP.∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱.∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.證:垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理：二、垂徑定理·ABCDOP①直線CD過圓心O②CD⊥AB幾何語言：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒①直線CD過圓心O②CD⊥AB垂徑定理：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒·ABCDOP

如果交換垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論的部分語句，會(huì)有一些什么樣的結(jié)論呢？①直線CD過圓心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒?①直線CD過圓心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒條件結(jié)論垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

·ABCDOP幾何語言:例1如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離（弦心距）為3厘米，求⊙O的半徑。.AEBO求圓中有關(guān)線段的長度時(shí),常借助垂徑定理轉(zhuǎn)化為直角三角形,從而利用勾股定理來解決問題.

變式一:在⊙O中,直徑為10cm,弦AB的長為8cm,求圓心O到AB的距離.變式二:在⊙O中,直徑為10cm,圓心O到AB的距離為3cm,求弦AB的長.思考:若圓心到弦的距離用d表示,半徑用r表示,弦長用a表示,這三者之間有怎樣的關(guān)系?垂徑定理及其推論的本質(zhì)是:滿足其中任兩條，必定同時(shí)滿足另三條（1）一條直徑（2）垂直弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧·ABCDOP判斷（1）垂直于弦的直線平分弦并且平分弦所對的弧…………..()（2）弦所對的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心……..()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧………()（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分（）×√××√（6）弦的垂直平分線一定是圓直徑所在的直線。（7）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。（8）弦垂直于直徑，這條弦就被直徑平分。（√）（）（√）ABCD

O(5)ABCD

O(6)E例如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的長。若圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長用a表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系？若下面的弓形高為h，則r、d、h之間有怎樣的關(guān)系?r=d+h即右圖中的OE叫弦心距.如圖，P為⊙O的弦BA延長線上一點(diǎn)，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。關(guān)于弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。圓心到弦的距離、半徑、弦長構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題。如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長的最小值為____.最大值為____________.

35ＯＡＢＣＤＥ練習(xí)：ＡＢ是⊙Ｏ的直徑，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ為垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的長．

趙州橋又名安濟(jì)橋，建于隋大業(yè)(公元605-618)年間，距今已1400年，是著名匠師李春建造。主橋拱是圓弧形，跨度（弧所對的弦）長37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為

7.2m，是當(dāng)今世界上跨度最大、建造最早的單孔敞肩型石拱橋。你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？37.47.2

趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2米，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？問題？OABDCr垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理：·ABCDOP①直線CD過圓心O②CD⊥AB幾何語言：③AP=BP④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒①直線CD過圓心O③AP=BP②CD⊥AB④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒條件結(jié)論垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

·ABCDOP幾何語言:

例２．已知⊙O的直徑是５０cm，⊙O的兩條平行弦AB=４０cm，CD=４８cm，求弦AB與CD之間的距離。

.AEBOCD20152525247.AEBOCDFFAB、ＣＤ在點(diǎn)O兩側(cè)ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２AB、ＣＤ在點(diǎn)O同側(cè)ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８過點(diǎn)Ｏ作直線ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。船能過拱橋嗎如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？ADOFCENBHMr垂徑定理的逆應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的深度.ED┌

600在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的深度.BAO600?650DC某機(jī)械加工廠要把一個(gè)如圖所示的破輪子重新加式成新的一個(gè)輪子,加工前先要在圖紙上計(jì)算出這個(gè)破輪子所在圓的直徑.已知圖中弦AB=40cm,高CD=10cm,請你幫助工人師傅求出該破輪的直徑.ABCD練習(xí):例３.

已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。試說明：AC＝BD。E.ACDBO證明：過Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ∵ＯＥ⊥ＡＢ∴ＡＥ＝ＥＢ∵ＯＥ⊥ＣＤ∴ＣＥ＝ＥＤ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ即ＡＣ＝ＢＤ應(yīng)用2:垂徑定理有關(guān)的證明題.CDABE例1：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈連結(jié)AB.⒉作AB的垂直平分線CD，交弧AB于點(diǎn)E.點(diǎn)E就是所求弧AB的中點(diǎn)。求作：弧AB的中點(diǎn)CDABEFG變式一：求弧AB的四等分點(diǎn)。

mn變式二：你能確定弧AB的圓心嗎？CABMO耐心填一填:如圖1,在圓O中,若MN⊥AB,MN為直徑,則_________,____________,___________.·MOABNC2.如圖2,已知圓O的半徑OA長為5,直徑MN垂直于AB,AB長為8,則OC的長為(

)A.3B.6C.9D.103.如圖2:MN為圓O的直徑,AB為弦,MN垂直于AB于點(diǎn)C,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.∠AOC=∠BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN