高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第27講 4.5.1函數(shù)的零點與方程的解（學(xué)生版）

第05講4.5.1函數(shù)的零點與方程的解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系，并能結(jié)合函數(shù)的圖象判定函數(shù)的零點。②能根據(jù)函數(shù)零點存在性定理對函數(shù)零點存在進行判定，同時能處理與函數(shù)零點問題相結(jié)合的求參數(shù)及綜合類的問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能判定函數(shù)零點的存在，同時能解決與函數(shù)零點相結(jié)合的綜合問題知識點01：函數(shù)零點的概念1、函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點①一次函數(shù)只有一個零點；②反比例函數(shù)沒有零點；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個零點1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時，有一個零點0；當(dāng)時，無零點。知識點02：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數(shù)零點的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程的實數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解【即學(xué)即練1】（2023春·四川廣安·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的零點為．【答案】2【詳解】令，則，得.故答案為：3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).知識點03：二次函數(shù)的零點問題一元二次方程的實數(shù)根也稱為函數(shù)的零點.當(dāng)時，一元二次方程的實數(shù)根、二次函數(shù)的零點之間的關(guān)系如下表所示：的實數(shù)根（其中）方程無實數(shù)根的圖象的零點函數(shù)無零點【即學(xué)即練2】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)的一個零點是1，則它的另一個零點是．【答案】3【詳解】由，所以令或，故另一個零點為3故答案為：3題型01求函數(shù)的零點【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的零點為．【典例2】（2023秋·遼寧鐵嶺·高一鐵嶺市清河高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則函數(shù)的零點為.【變式1】（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的零點是【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）求下列函數(shù)的零點．(1)；(2).題型02函數(shù)零點個數(shù)的判斷【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1 B．2C．1或2 D．0【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）方程的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，方程的實根個數(shù)為．【典例4】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是.【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)個【變式2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù).(1)作出函數(shù)的圖象；(2)就a的取值范圍討論函數(shù)的零點的個數(shù)．【變式3】（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）若的值域為，則至多有個零點.【變式4】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為個．題型03判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間【典例1】（2023春·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）若是方程的解，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·天津紅橋·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)為方程的解，若，則的值為.【變式1】（2023秋·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的零點為，且，，則k的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．3題型04已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）設(shè)表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【典例4】（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù).當(dāng)時，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知，試討論的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的m的取值范圍.【變式1】（2023·北京·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)若恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則實數(shù)a的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．2【變式3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則的取值集合是.【變式4】（2023·高一課時練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)．(1)求的值；(2)畫出的圖象，并指出其單調(diào)減區(qū)間；(3)若關(guān)于的方程有2個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．題型05已知零點所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023春·河南信陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023秋·高一單元測試）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為．【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·上海青浦·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）若關(guān)于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是．【變式3】（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值范圍是.題型06二次函數(shù)的零點問題【典例1】（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的零點為，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一課時練習(xí)）方程的一根大于1，一根小于1，則實數(shù)的取值范圍是.【典例3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）判斷二次函數(shù)在內(nèi)是否存在零點；（2）若二次函數(shù)的兩個零點均為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【變式1】（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測）已知關(guān)于的方程，存在兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）若關(guān)于的方程在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù).(1)若該函數(shù)有兩個不相等的正零點，求的取值范圍；(2)若該函數(shù)有兩個零點，一個大于1，另一個小于1，求的取值范圍．題型07函數(shù)與方程綜合【典例1】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)，常數(shù).(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)若，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【典例2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)討論關(guān)于x的方程的實數(shù)解的個數(shù)．【變式1】（2023秋·江蘇無錫·高一無錫市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)a的值；(2)若方程在區(qū)間上無解，求實數(shù)m的取值范圍.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，函數(shù)在軸左側(cè)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（

）.A． B． C． D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知方程的解在內(nèi)，則（

）A．3 B．2 C．1 D．03．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)的兩個零點都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．4．（2023·高一課時練習(xí)）已知二次函數(shù)，若，則在區(qū)間內(nèi)的零點情況是（

）A．有兩個零點 B．有唯一零點 C．沒有零點 D．不確定5．（2023春·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則（

）A． B．C． D．6．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)實數(shù)a為常數(shù)，則函數(shù)存在零點的充分必要條件是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若函數(shù)有五個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南駐馬店·高一河南省駐馬店高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）享有“數(shù)學(xué)王子”稱號的德國數(shù)學(xué)家高斯，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，被稱為“高斯函數(shù)”，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，設(shè)為函數(shù)的零點，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的零點可以是（）A． B．C． D．10．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，為常數(shù)），則（

）A． B．C． D．函數(shù)僅有一個零點三、填空題11．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)在上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是．12．（2023春·江蘇揚州·高一揚州市廣陵區(qū)紅橋高級中學(xué)?？计谥校┤羰欠匠痰慕?，則在區(qū)間內(nèi)(填序號).①；②；③；④.四、解答題13．（2023·高一課時練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，．（1）求這個函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，求函數(shù)的零點．14．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)若，求證：在區(qū)間內(nèi)存在零點.B能力提升1．（2023春·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·天津·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，．若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·高一景寧中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；②在上的值域為，則稱區(qū)間為的級“調(diào)和區(qū)間”.若函數(shù)存在級“調(diào)和區(qū)間”，則的取值范圍是.4．（2023春·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”.若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”.記函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別為和，即.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：若函數(shù)為增函數(shù)，則.設(shè)