廣東省潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2021～2022學(xué)年度第一學(xué)期高二級(jí)期中考試數(shù)學(xué)科問卷本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．一、單選題：（本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的斜率后可求直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為，故其傾斜角滿足，而，故，故選：D.2.若直線：與互相平行，且過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由兩條直線平行得到斜率，進(jìn)而通過點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過點(diǎn)，所以的方程為：.故選：C.3.圓的圓心到直線的距離為（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即得.【詳解】由圓可得圓心坐標(biāo)為：(-1，2)，所以圓心到直線的距離為.故選：B4.P是橢圓上一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則（）A.1 B.3 C.5 D.9【答案】A【解析】【分析】首先將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而得出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再根據(jù)橢圓定義即可求解.【詳解】解：對(duì)橢圓方程變形得，易知橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為4，由橢圓的定義可得,又，故.故選：A.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：①；②；③；④.其中運(yùn)算的結(jié)果為向量的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷選項(xiàng)即可.【詳解】①：，故①正確；②：，故②正確；③：，故③正確；④：，故④正確.所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是，故選：D.6.經(jīng)過圓的圓心，且和直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圓的方程寫出圓心坐標(biāo)，根據(jù)與垂直，寫出直線方程即可.【詳解】由題設(shè)，圓的方程可化為，即圓心為，∴過圓心且垂直于的直線方程為，整理得.故選：B7.正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求出異面直線與所成角的大小．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，，1，；∴，∴，即，異面直線與所成的角的大小是．故選：D．8.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與直線相切，則面積最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得直線過定點(diǎn)，由圓心到直線的距離等于半徑，要使得這個(gè)距離最大，可得最大距離為圓心到定點(diǎn)的距離．由此可得圓半徑，得圓方程．【詳解】解：根據(jù)題意，直線，恒過定點(diǎn)，動(dòng)圓，其圓心為，半徑為，若圓的面積最大，即圓心到直線的距離最大，且其最大值，即圓的面積最大時(shí)，圓的半徑，此時(shí)圓的方程為：，故選：B．二、多選題：（本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.（多選）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程可能為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由題可知直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l的方程為，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，可求出直線的斜率，從而可得直線方程【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．由已知得，所以或，所以直線l的方程為或．故選：AB【點(diǎn)睛】此題考查直線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AB【解析】【分析】利用方向向量、法向量之間的共線關(guān)系或垂直關(guān)系，判斷線線、線面的位置關(guān)系即可.【詳解】解：A項(xiàng)，因?yàn)?，，即，且直線，不重合，所以，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)?，，即，所以，所以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知平面過點(diǎn)，其法向量，則下列點(diǎn)不在內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由法向量與平面的任意向量垂直判斷．【詳解】A．，，，在平面內(nèi)；B．，，，不在平面內(nèi)；C．，，，不在平面內(nèi)；D．，，，不在平面內(nèi)；故選：BCD．12.設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.|PF1|＋|PF2|＝2B.離心率e＝C.△PF1F2面積的最大值為D.以線段F1F2為直徑的圓與直線相切【答案】AD【解析】【分析】由橢圓定義可判斷A；求出離心率可判斷B；當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值，求出可判斷C；求出圓心到直線距離可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的定義可知，故A正確；對(duì)于B，由橢圓方程知，所以離心率，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)P為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，△PF1F2的面積取得最大值，最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以線段F1F2為直徑的圓的圓心為(0，0)，半徑為c＝1，圓心到直線的距離為＝1，即圓心到直線的距離等于半徑，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線相切，故D正確.故選：AD.三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.）13.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由于方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：14.已知長(zhǎng)方體中，，，，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的知識(shí)，點(diǎn)到平面的距離可用公式來求，其中為平面的法向量，為平面上任意一點(diǎn)到為終點(diǎn)的向量．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、依次為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，2，，，0，，，0，，，4，，從而，0，，，2，，，4，，設(shè)平面的法向量為，，，由可得，令，所以點(diǎn)到平面的距離為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量法求直線與平面所成角，以及點(diǎn)到平面的距離．屬于立體幾何的常規(guī)題，屬于中檔題．15.已知P為圓上任意一點(diǎn)，A，B為直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則面積的最大值是___________．【答案】3【解析】【分析】直接利用直線和圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)圓的方程，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離，此時(shí)最大面積．故答案為：．16.為保護(hù)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，鎮(zhèn)政府決定為三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站，集中處理三個(gè)自然村的垃圾，受當(dāng)?shù)貤l件限制，垃圾處理站只能建在與村相距，且與村相距的地方.已知村在村的正東方向，相距，村在村的正北方向，相距，則垃圾處理站與村相距__________．【答案】2或7##7或2【解析】【分析】由條件建立平面直角坐標(biāo)系，由條件，求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)一步求出其位置，再由兩點(diǎn)距離公式求.【詳解】以為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則．由題意得處理站在以為圓心半徑為5的圓A上，同時(shí)又在以為圓心半徑為的圓C上，兩圓的方程分別為和．，解得或．∴垃圾處理站的坐標(biāo)為或，∴或，即垃圾處理站與村相距或．答案：2或7四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17已知直線．（1）若，求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與之間的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，進(jìn)而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.【詳解】（1）由知，解得．（2）當(dāng)時(shí)，有，解得．此時(shí)，即，則直線與之間的距離．【點(diǎn)睛】本題考查了由兩直線平行求參數(shù)，考查了由兩直線垂直求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.18.已知點(diǎn)M(0，3)，N(-4，0)及點(diǎn)P(-2，4)；（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P且lMN，求直線l的方程；（2）求△MNP的面積.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式求出直線l的方程；（2）求出直線的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出三角形的高，即可求出三角形面積.【詳解】解：（1）由題意可得：，直線的方程為，即則直線l的方程為（2）由題意可得直線MN的方程為：，即，點(diǎn)P到直線MN的距離為，，△MNP的面積△MNP的面積為5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求直線l的方程關(guān)鍵是求出直線的斜率，這樣可以運(yùn)用點(diǎn)斜式求出直線方程，要計(jì)算三角形面積就要先求出三角形的底和高，然后再求面積.19.已知三點(diǎn)在圓C上，直線，（1）求圓C方程;（2）判斷直線與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）直線與圓C相交，弦長(zhǎng)為【解析】【分析】（1）圓C的方程為:，再代入求解即可；（2）先求解圓心到直線的距離可判斷直線與圓C相交，再用垂徑定理求解弦長(zhǎng)即可【小問1詳解】設(shè)圓C的方程為:，由題意得:，消去F得:，解得:，∴F=-4，∴圓C的方程為:.【小問2詳解】由（1）知:圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:，圓心，半徑;點(diǎn)到直線的距離，故直線與圓C相交，故直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為20.如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可知，要證平面C1DE，只需證明即可.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解兩平面的法向量，即可求解兩個(gè)平面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，．又平面EDC1，平面EDC1，所以平面C1DE．【小問2詳解】解：由已知可得DE⊥DA．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)檩S正方向,的方向?yàn)檩S正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，，，，．設(shè)為平面A1MA的法向量，則，所以可?。O(shè)為平面A1MN的法向量，則所以可取.于是，.所以平面AMA1與平面NMA1夾角的正弦值為．21.已知過點(diǎn)的圓M的圓心為，且圓M與直線相切．求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；若過點(diǎn)且斜率為k的直線l交圓M于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求直線l的方程．【答案】(1)．(2)．【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程：，因?yàn)閳AM與直線相切，得，求出a，r進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．求出，及點(diǎn)P到直線l的距離，表示出，求出斜率k，進(jìn)而得出直線方程．【詳解】設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心M到直線的距離為，由題意得，解得或舍去，所以，所以圓M方程為．設(shè)直線l的方程為，則圓心M到直線l的距離為，，又點(diǎn)到直線l的距離為，，解得，，則直線方程為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.在直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，．（1）求橢圓M的