湖北省宜昌市高三期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat30頁湖北省宜昌市高三期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案一、單選題1．已知實數(shù)集，集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求得集合，集合，再結(jié)合集合的交集運算，即可求解.【詳解】由集合，集合，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，其中解答中正確求解集合，再結(jié)合集合的交集的運算進行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)，求得，再由等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，所以，又由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量，，若，則在方向上的投影為（）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由，求得，得到即，，再結(jié)合向量在方向上的投影的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，解答，即，，則在方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及向量垂直的坐標表示和投影的計算，其中解答中熟記向量投影的定義，以及熟練應(yīng)用向量的數(shù)量積的運算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．中國的計量單位可以追溯到4000多年前的氏族社會末期，公元前221年，秦王統(tǒng)一中國后，頒布同一度量衡的詔書并制發(fā)了成套的權(quán)衡和容量標準器.下圖是古代的一種度量工具“斗”（無蓋，不計量厚度）的三視圖（其正視圖和側(cè)視圖為等腰梯形），則此“斗”的體積為（單位：立方厘米）（）A．2000B．2800C．3000D．6000【答案】B【解析】由題設(shè)提供的三視圖可知該幾何體是一個上下底邊長分別為正方形的四棱臺，其體積，應(yīng)選答案B。6．“”是“橢圓的焦距為4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由橢圓的焦距為4，分類討論求得或時，再結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，橢圓可化為，當時，，解得，當時，，解得，即當或時，橢圓的焦距為4，所以“”是“橢圓的焦距為4”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，以及充分條件、必要條件的判定，其中解答中熟記橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．函數(shù)的部分圖像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求得函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，再結(jié)合，即可求解，單調(diào)答案.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A、C.又由當時，，所以選項B符合題意.故選：B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象的識別，以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)進行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.8．某地為了加快推進垃圾分類工作，新建了一個垃圾處理廠，每月最少要處理300噸垃圾，最多要處理600噸垃圾，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，為使每噸的平均處理成本最低，該廠每月處理量應(yīng)為（）A．300噸 B．400噸 C．500噸 D．600噸【答案】B【解析】由題意，得到每噸的平均處理成本為，再結(jié)合基本不等式求解，即可得到答案.【詳解】由題意，月處理成本（元）與月處理量（噸）的函數(shù)關(guān)系為，所以平均處理成本為，其中，又由，當且僅當時，即時，每噸的平均處理成本最低.故選：B.【點睛】本題主要考查了基本不等式的實際應(yīng)用，其中解答中認真審題，列出每噸的平均處理成本的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點，，則下列說法錯誤的是（）A．直線是圖象的一條對稱軸B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．的圖象可由向左平移個單位而得到【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象過點，可得，即，即，因為，所以，即，又由點，即，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為，令，可得，所以是函數(shù)的一條對稱軸，所以A是正確的；由正弦型函數(shù)的最小正周期的計算的公式，可得，所以B是正確的；當，則，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以C是正確的；由函數(shù)向左平移個單位而得到函數(shù)，所以選項D不正確.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解三角函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準確計算與逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.10．已知橢圓與圓在第二象限的交點是點，是橢圓的左焦點，為坐標原點，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因為圓，可得，過點作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因為，所以橢圓的離心率為.故選：B【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．已知函數(shù)，對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，得出在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為時，在上恒成立，分離參數(shù)，得到在上恒成立，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)對于任意，都有，可得函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù)，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，函數(shù)，可得，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，可得在上恒成立，即在上恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)問題，其中解答中把函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒成立，利用函數(shù)的最值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.12．在棱長為2的正方體中，點是對角線上的點（點與、不重合），則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①存在點，使得平面平面；②存在點，使得平面；③若的面積為，則；④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點，使得.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可得判定②正確；由三角形的面積公式，可求得的面積為的范圍，可判定③錯誤；由三角形的面積公式，得到的范圍，可判定④正確.【詳解】連接，設(shè)平面與對角線交于，由，可得平面，即平面，所以存在點，使得平面平面，所以①正確；由，利用平面與平面平行的判定，可得證得平面平面，設(shè)平面與交于，可得平面，所以②正確；連接交于點，過點作,在正方體中，平面，所以，所以為異面直線與的公垂線，根據(jù)，所以，即，所以的最小面積為.所以若的面積為，則，所以③不正確；再點從的中點向著點運動的過程中，從減少趨向于0，即，從增大到趨向于，即，在此過程中，必存在某個點使得，所以④是正確的.綜上可得①②④是正確的.故選：C.【點睛】本題主要考查了空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及三角形面積，以及投影的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.二、填空題13．已知實數(shù)、滿足條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求得目標函數(shù)的最小值，得到答案.【詳解】作出不等式組所標示的平面區(qū)域，如圖所示，由，可得直線，當直線平移到點B時，此時直線在軸上的截距最大，目標函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．已知，則__________．【答案】【解析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡為三角函數(shù)的“齊次式”，代入即可求解.【詳解】由題意，可得.故答案為：【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的化簡求值問題，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知為坐標原點，直線與圓交于、兩點，，點為線段的中點.則點的軌跡方程是__________，的取值范圍為__________．【答案】【解析】由圓的弦長公式，可得，得到，即，即可求得點的軌跡方程為，再根據(jù)向量的運算可得，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可求解的取值范圍，得到答案.【詳解】由題意，圓的圓心坐標，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由圓的弦長公式，可得，即，整理得，即，所以點的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，所以點的軌跡方程為，根據(jù)向量的運算可得又由，所以，即，所以，即的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題主要考查了圓的定義、標準方程的求解，點與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，以及軌跡方程求解和向量的線性運算的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.16．已知直線與函數(shù)的圖像相切于點，與函數(shù)的圖像相切于點，若，且，，則__________．【答案】4【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點的存在定理，即可求解.【詳解】依題意，可得，整理得令，則在單調(diào)遞增且，∴存在唯一實數(shù)，使，，，，，∴，故.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有解問題，其中解答中熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到的方程，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合零點的存在定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、解答題17．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求；（2）在中，，為邊的中點，為邊上一點，且，，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理得，再由正弦定理得，進而得，即可求解（2）在中，求得，，再中由正弦定理得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由余弦定理有，化簡得，由正弦定理得∵，∴，∵，∴，∴，又由，∴.（2）在中，為邊的中點，且，在中，，，所以，，中由正弦定理得，得，，，所以【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.18．已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由數(shù)列的通項和的關(guān)系，推得，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可求解；（2）由（1）可得，利用裂項法，即可求解數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，因為，所以，兩式作差得，即，因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故；（2）因為，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的定義及通項公式，以及“裂項法”求和的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)列的通項和的關(guān)系，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.19．在斜三棱柱中，，側(cè)面是邊長為4的菱形，，，、分別為、的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）結(jié)合菱形的性質(zhì)和勾股定理，證得，再由，得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）以為坐標原點，以射線為軸，以射線為軸，過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系，求得平面和的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為是菱形，，為中點，所以.又因為是直角三角形的斜邊的中線，故，又，，所以，所以是直角三角形，∴，因為，所以平面，所以，又因為，，所以，所以平面.（2）由（1）知平面，因為平面，所以平面平面，又由，所以平面，以為坐標原點，以射線為軸，以射線為軸，過向上作平面的垂線為軸建立空間直角坐標系,如圖所示，則軸，則，，，，，，，，由（1）知平面，∴平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，則，即，令，則，.即，所以，所以，故二面角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直關(guān)系的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20．已知橢圓，、為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線，過點的直線交橢圓于、兩點，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點，當最小時，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點，由，解得，再結(jié)合橢圓的定義，求得的值，即可得到橢圓的方程；（2）可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，求得，利用弦長公式，求得和的長，進而得到，利用基本不等式，求得的值，即可求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點，則，解得，所以，則由橢圓定義，∴，故橢圓的標準方程為.（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線，聯(lián)立方程得，∵直線交橢圓于，，∴由韋達定理，則，∴∵，∴，∴又∴當且僅當即時取等號.此時直線的方程為或.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21．已知函數(shù).（1）當時，求的最大值；（2）若只有一個極值點.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)最大值為-1.(2)（i）（ii）證明見解析【解析】（1）當時，，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值；（2）由，得到，分和討論，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案.【詳解】（1）當時，，.令，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∴，故的最大值為-1.（2），.①當時，在恒成立，則在單調(diào)遞增.而，當時，，則，且，∴使得.∴當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增，∴只有唯一極值點.②當時，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減，∴.（i）當即時，在恒成立，則在單調(diào)遞減，無極值點，舍去.（ii）當即時，.又，且，∴使得.由（1）知當時，，則∴則，且，∴使得.∴當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減.∴有兩個極值點，，舍去.綜上，只有一個極值點時，∵，∴，∴，.令，∴，則在單調(diào)遞減∴當時，，∴.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力