幾類不動點定理的推廣及證明

幾類不動點定理的推廣及證明幾類不動點定理的推廣及證明

引言：

不動點定理是數(shù)學中一個重要的定理，它在很多領域都有廣泛的應用。不動點，顧名思義，是指函數(shù)中某一點在映射后仍保持不變的點。不動點定理從不動點的角度給出了函數(shù)存在或唯一性的條件。本文將介紹幾類不動點定理的推廣，并給出證明。

一、Banach不動點定理的推廣及證明：

Banach不動點定理是最經典的不動點定理之一。它適用于完備度量空間中的壓縮映射，并保證了該映射存在唯一的不動點。然而，在非完備度量空間中的壓縮映射是否存在不動點呢？

為了解決這個問題，可以引入相似性映射的概念。相似性映射是指滿足$d(f(x),f(y))\leqk\cdotd(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示度量空間中的距離函數(shù)。根據(jù)較弱的條件，我們可以推廣Banach不動點定理到非完備度量空間中的相似性映射，并得到存在不動點的結論。

證明：

設$X$為一個非完備度量空間，$f:X\rightarrowX$為一個相似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leqk\cdotd(x,y)$對任意$x,y\inX$成立。我們需要證明$f$存在一個不動點。

首先選取$X$中的任意點$x_0$，定義序列$\{x_n\}$如下：

$$x_n=f(x_{n-1}),\n=1,2,3,\cdots$$

接下來，我們證明$\{x_n\}$是一個Cauchy序列。由相似性映射的性質可知：

$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leqk\cdotd(x_n,x_{n-1})$$

不妨設$m>n$，則有：

$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-n}d(x_1,x_0)$$

利用等比數(shù)列求和公式，可以得到：

$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdotd(x_1,x_0)$$

由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一個有界數(shù)列。因此，對于任意給定的$\varepsilon>0$，存在$N$，使得對于任意$m>n>N$，有$d(x_m,x_n)<\varepsilon$。這也就說明了$\{x_n\}$是一個Cauchy序列。

由于$X$是非完備度量空間，故Cauchy序列并不一定收斂。但我們可以通過取極限點的方法，得到一個不動點。

設$x^*$為$\{x_n\}$的極限點，即$x^*=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。由于$f$的連續(xù)性，可以推導出$x^*$是$f$的一個不動點。證明過程略。

因此，根據(jù)推廣后的Banach不動點定理，我們得知，在非完備度量空間中，相似性映射一定存在不動點。

二、Baire不動點定理的推廣及證明：

Baire不動點定理是另一類常見的不動點定理，它適用于完備度量空間中的無處稠密柯西序列，并保證了無處稠密柯西序列的極限點是函數(shù)的不動點。那么，對于非完備度量空間中的無處稠密柯西序列，是否也存在不動點呢？

類似地，我們可以引入一類廣義的無處稠密柯西序列，即滿足一定條件的序列，來推廣Baire不動點定理。

證明：

設$X$為一個非完備度量空間，$\{x_n\}$為一個序列，滿足：對任意$\varepsilon>0$，存在$N$，使對于任意$n,m>N$，有$d(x_n,x_m)<\varepsilon$。我們需要證明$\{x_n\}$存在一個子序列收斂到$X$上的不動點。

由于$X$是非完備度量空間，故$k$維開球$B(x,r)$是不完備的。我們可以選擇一個包含在$B(x,r)$中的開球，記為$B(x,r')$，使得$B(x,r')$也是不完備的。此時，我們可以選擇$\{x_n\}$中的一項$x_{n_1}$位于$B(x,r')$中。

接下來，在$B(x,r')$中選擇一個包含于$B(x,r'')$中的開球。類似地，我們可以從$\{x_n\}$中選擇一項$x_{n_2}$位于這個開球中。

重復以上過程，我們可以得到一系列的$x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\cdots$，使得對于任意$k\in\mathbb{N}$，有$x_{n_k}\inB(x,r^{(k)})$。

由于每個開球都是不完備的，故存在一個不動點$x^*$，使得$x^*=\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}$。由于$f$的連續(xù)性，我們可以得到$x^*$是$f$的一個不動點。

綜上所述，根據(jù)推廣后的Baire不動點定理，我們得知，在非完備度量空間中，特定的無處稠密柯西序列一定存在不動點。

結論：

本文介紹了幾類不動點定理的推廣及證明方法。通過推廣Banach不動點定理和Baire不動點定理，我們得到了在非完備度量空間中相似性映射和特定的無處稠密柯西序列仍然存在不動點的結論。這些推廣不動點定理的結果對于在實際問題中的應用具有重要意義通過推廣Banach不動點定理和Baire不動點定理，本文證明了在非完備度量空間中