專題03用一元二次方程解決問題-備戰(zhàn)2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（蘇科版）（解析版）

專題03用一元二次方程解決問題一．選擇題（共4小題）1．（2022春?通州區(qū)期末）一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)相等，則經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)共有（）A．7個(gè) B．49個(gè) C．121個(gè) D．512個(gè)【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x，根據(jù)“一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再將其正值代入64（1+x）中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)為x，依題意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合題意，舍去），∴64（1+x）＝64×（1+7）＝512，∴經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)共有512個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?常州期末）為保護(hù)人民群眾生命安全，減少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：某品牌頭盔從5月份到7月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同，若5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288個(gè)，設(shè)月增長(zhǎng)率為x則可列出方程（）A．200（1+x）＝288 B．200（1+2x）＝288 C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288【分析】根據(jù)從5月份到7月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同，根據(jù)5月份銷售200個(gè)，7月份銷售288個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，200（1+x）2＝288，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?泰興市期末）某超市銷售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)售價(jià)每漲1元，銷售量減少10件；售價(jià)每降1元，銷售量增加10件愛動(dòng)腦的嘉嘉發(fā)現(xiàn)：在一定范圍內(nèi)，漲a元與降b元所獲得的利潤(rùn)相同，則a與b滿足（）A．a(chǎn)﹣b＝4 B．a(chǎn)﹣b＝8 C．a(chǎn)+b＝4 D．a(chǎn)+b＝8【分析】將利潤(rùn)用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來，由于漲價(jià)、降價(jià)時(shí)的銷售量變化幅度一致，所以利潤(rùn)可用一元二次函數(shù)表示，再利用一元二次函數(shù)的對(duì)稱性解決即可．【解答】解：由題意得，（4+a）（120﹣10a）＝（4﹣b）（120+10b），解得a﹣b＝8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題干信息整理出一元二次函數(shù)式是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個(gè)問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長(zhǎng)幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對(duì)齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時(shí)的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動(dòng)1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長(zhǎng)多少尺？”（說明：1丈＝10尺）設(shè)木桿長(zhǎng)x尺，依題意，下列方程正確的是（）A．102+（x﹣1）2＝x2 B．（x+1）2＝x2+102 C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時(shí)，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長(zhǎng)為x尺，則木桿底端離墻有（x﹣1）尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．【解答】解：如圖，設(shè)木桿AB長(zhǎng)為x尺，則木桿底端B離墻的距離即BC的長(zhǎng)有（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴102+（x﹣1）2＝x2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?盱眙縣期末）要利用一面很長(zhǎng)的圍墻和100米長(zhǎng)的隔離欄建三個(gè)如圖所示的矩形羊圈，若計(jì)劃建成的三個(gè)羊圈總面積為400平方米，則羊圈的邊長(zhǎng)AB為多少米？設(shè)AB＝x米，根據(jù)題意可列出方程的為（100﹣4x）x＝400．【分析】設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則BC的長(zhǎng)度為（100﹣4x）米，然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程．【解答】解：設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則BC的長(zhǎng)度為（100﹣4x）米．根據(jù)題意得（100﹣4x）x＝400，故答案為：（100﹣4x）x＝400．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．6．（2021秋?廣陵區(qū)期末）某書店第一天銷售500本圖書，之后兩天的銷售量按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，第三天的銷售量為720本，若設(shè)每天的增長(zhǎng)率為x，可列方程為500（1+x）2＝720．【分析】利用第三天的銷售量＝第一天的銷售量×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：500（1+x）2＝720．故答案是：500（1+x）2＝720．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022春?姜堰區(qū)期末）某地區(qū)加大教育投入，2020年投入教育經(jīng)費(fèi)2000萬元，以后每年逐步增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)2022年，教育經(jīng)費(fèi)投入為2420萬元，則年平均增長(zhǎng)率為10%．【分析】一般用增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），2021年要投入教育經(jīng)費(fèi)是2000（1+x）萬元，在2014年的基礎(chǔ)上再增長(zhǎng)x，就是2022年的教育經(jīng)費(fèi)數(shù)額，即可列出方程求解．【解答】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：2000（1+x）2＝2420，解得：x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合題意舍去）．即：年平均增長(zhǎng)率為10%．故答案是：10%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程中增長(zhǎng)率的知識(shí)．掌握增長(zhǎng)前的量×（1+年平均增長(zhǎng)率）年數(shù)＝增長(zhǎng)后的量是本題的關(guān)鍵．8．（2022春?海門市期末）《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長(zhǎng)一十二步，問闊及長(zhǎng)各幾步？”譯文：“一個(gè)矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長(zhǎng)少12步，問長(zhǎng)與寬各是多少步？”若設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，則可列方程為x（x﹣12）＝864．【分析】如果設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，那么寬就應(yīng)該是（x﹣12）步，根據(jù)面積為864，即可得出方程．【解答】解：設(shè)矩形田地的長(zhǎng)為x步，那么寬就應(yīng)該是（x﹣12）步．根據(jù)矩形面積＝長(zhǎng)×寬，得：x（x﹣12）＝864．故答案為：x（x﹣12）＝864．【點(diǎn)評(píng)】本題為面積問題，考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握好面積公式即可進(jìn)行正確解答；矩形面積＝矩形的長(zhǎng)×矩形的寬．三．解答題（共4小題）9．（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）某水果店標(biāo)價(jià)為10元/kg的某種水果經(jīng)過兩次降價(jià)后價(jià)格為8.1元/kg，并且兩次降價(jià)的百分率相同．時(shí)間/天x銷量/kg120﹣x儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用/元3x2﹣64x+400（1）求該水果每次降價(jià)的百分率；（2）從第二次降價(jià)的第1天算起，第x天（x為整數(shù)）的銷量及儲(chǔ)藏和損耗費(fèi)用的相關(guān)信息如下表所示，已知該水果的進(jìn)價(jià)為4.1元/kg，設(shè)銷售該水果第x天（1≤x＜10）的利潤(rùn)為377元，求x的值．【分析】（1）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為x，由題意得關(guān)于x的一元二次方程，解方程并根據(jù)題意作出取舍即可；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該種水果每次降價(jià)的百分率為x，由題意得：10（1﹣x）2＝8.1，解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合題意，舍去），∴x＝0.1＝10%，∴該種水果每次降價(jià)的百分率為10%；（2）根據(jù)題意得，（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）＝377，解得，x＝9或x＝11（不合題意舍去），答：x的值為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系正確地列出方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?興化市期末）某超市銷售一種襯衫．平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過一段時(shí)間測(cè)算，發(fā)現(xiàn)每件襯衫每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若每件襯衫降價(jià)4元時(shí)，平均每天可售出28件襯衫，此時(shí)每天銷售獲利1008元．（2）在每件盈利不少于25元的前提下，要使該襯衫每天銷售獲利為1200元，問每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（3）該襯衫每天的銷售獲利能達(dá)到1300元嗎？如果能，請(qǐng)寫出降價(jià)方案，如果不能，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用平均每天的銷售量＝20+2×每件襯衫降低的價(jià)格，可求出平均每天的銷售量；利用每天的銷售總利潤(rùn)＝每件的銷售利潤(rùn)×每天的銷售量，即可得出此時(shí)每天銷售獲利；（2）設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，根據(jù)每天銷售該襯衫獲利1200元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合每件盈利不少于25元，即可得出每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元；（3）不能，設(shè)每件襯衫降價(jià)y元，則每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，根據(jù)每天銷售該襯衫獲利1300元，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣100＜0，即可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，即該襯衫每天的銷售獲利不能達(dá)到1300元．【解答】解：（1）若每件襯衫降價(jià)4元時(shí)，平均每天可售出20+4×2＝28（件），此時(shí)每天銷售獲利（40﹣4）×28＝1008（元）．故答案為：28；1008．（2）設(shè)每件襯衫降價(jià)x元，則每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依題意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，當(dāng)x＝10時(shí)，40﹣x＝40﹣10＝30＞25，符合題意；當(dāng)x＝20時(shí)，40﹣x＝40﹣20＝20＜25，不符合題意，舍去．答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元．（3）不能，理由如下：設(shè)每件襯衫降價(jià)y元，則每件盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+2y）件，依題意得：（40﹣y）（20+2y）＝1300，整理得：y2﹣30y+250＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，即該襯衫每天的銷售獲利不能達(dá)到1300元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）牢記“當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”．11．（2022春?海安市期末）某校準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)為25米，寬為20米的長(zhǎng)方形花園內(nèi)修建一個(gè)底部為正方形的亭子（如圖所示），在亭子四周修四條寬度相同，且與亭子各邊垂直的小路，亭子邊長(zhǎng)是小路寬度的5倍，花園內(nèi)的空白地方鋪草坪，設(shè)小路寬度為x米．（1）花園內(nèi)的小路面積為（﹣10x2+45x）平方米（用含x的代數(shù)式表示）．（2）若草坪面積為440平方米時(shí)，求這時(shí)道路寬度x的值．【分析】（1）由亭子邊長(zhǎng)是小路寬度的5倍，可得出亭子邊長(zhǎng)是5x米，利用花園內(nèi)的小路面積＝小路的長(zhǎng)度×小路的寬度，即可用含x的代數(shù)式表示出花園內(nèi)的小路面積；（2）利用草坪的面積＝長(zhǎng)方形花園的面積﹣小路的面積﹣亭子的面積，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵小路寬度為x米，亭子邊長(zhǎng)是小路寬度的5倍，∴亭子邊長(zhǎng)是5x米，∴花園內(nèi)的小路面積為（25﹣5x）x+（20﹣5x）x＝（﹣10x2+45x）平方米．故答案為：（﹣10x2+45x）．（2）依題意得：25×20﹣（﹣10x2+45x）﹣（5x）2＝440，整理得：x2+3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4（不合題意，舍去）．答：這時(shí)道路寬度x的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出花園內(nèi)的小路面積；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．12．（2022春?海陵區(qū)校級(jí)期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)員強(qiáng)壯的身體、堅(jiān)韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會(huì)開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調(diào)查“冰墩墩”每盒進(jìn)價(jià)8元，售價(jià)12元．（1）商店老板計(jì)劃首月銷售330盒，經(jīng)過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價(jià)每增長(zhǎng)1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價(jià)最高為多少元？（2）實(shí)際銷售時(shí)，售價(jià)比（1）中的最高售價(jià)減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤(rùn)達(dá)到了1650元，求a的值．【分析】（1）設(shè)每盒的售價(jià)為x元，則月銷量為（570﹣20x）盒，根據(jù)月銷量不低于270盒，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）利用月銷售利潤(rùn)＝每盒的銷售利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每盒的售價(jià)為x元，則月銷量為330﹣20（x﹣12）＝（570﹣20x）（盒），依題意得：570﹣20x≥270，解得：x≤15．答：每盒售價(jià)最高為15元；（2）依題意得：（15﹣2a﹣8）×（270+60a）＝1650，解得：a1＝1，a2＝﹣2（不合題意，舍去）．答：a的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?沭陽縣校級(jí)月考）把一塊長(zhǎng)與寬之比為2：1的鐵皮的四角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的小正方形，折起四邊，可以做成一個(gè)無蓋的盒子，如果這個(gè)盒子的容積是1500立方厘米，設(shè)鐵皮的寬為x厘米，則正確的方程是（）A．（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 B．10（2x﹣10）（x﹣10）＝1500 C．10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500 D．10（x﹣10）（x﹣20）＝1500【分析】如果設(shè)鐵皮的寬為x厘米，那么鐵皮的長(zhǎng)為2x厘米，根據(jù)“這個(gè)盒子的容積是1500立方厘米”，可列出方程．【解答】解：設(shè)鐵皮的寬為x厘米，那么鐵皮的長(zhǎng)為2x厘米，依題意得10（2x﹣20）（x﹣20）＝1500．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題中隱藏的條件是長(zhǎng)方體盒子的高為10厘米，然后利用體積公式列出方程．2．（2021秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）某班組織了一次小型同學(xué)聚會(huì)，參與的同學(xué)每?jī)扇酥g都握了一次手，所有人共握了45次手，設(shè)共有x位同學(xué)聚會(huì)，則x滿足的關(guān)系式為（）A．12x（x+1）＝45 B．12x（x﹣1）＝C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45【分析】此題利用一元二次方程應(yīng)用中的基本數(shù)量關(guān)系：x人參加聚會(huì)，兩人只握一次手，握手總次數(shù)為12x（x﹣1【解答】解：由題意列方程得，12x（x﹣1）＝45故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，主要由x人參加聚會(huì)，兩人只握一次手，握手總次數(shù)為12x（x﹣13．（2022春?福山區(qū)期末）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3～4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過一元二次方程（正根）的幾何解法．以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35為例說明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是（x+x+2）2．同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×35+22，因此x＝5．則在下面四個(gè)構(gòu)圖中，能正確說明方程x2﹣5x﹣6＝0解法的構(gòu)圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，畫出方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系可得出答案．【解答】解：方程x2﹣5x﹣6＝0，即x（x﹣5）＝6的拼圖如圖所示；中間小正方形的邊長(zhǎng)為x﹣（x﹣5）＝5，其面積為25，大正方形的面積：（x+x﹣5）2＝4x（x﹣5）+25＝4×6+25＝49，其邊長(zhǎng)為7，因此，D選項(xiàng)所表示的圖形符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，完全平方公式的幾何背景，通過圖形直觀，得出面積之間的關(guān)系，并用代數(shù)式表示出來是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022秋?銅山區(qū)校級(jí)月考）可以用如圖所示的圖形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=a2，BC＝b，以點(diǎn)A為圓心作弧交AB于點(diǎn)D，使AD＝A．CD的長(zhǎng) B．BD的長(zhǎng) C．AC的長(zhǎng) D．BC的長(zhǎng)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，可得BD2+aBD＝b2，從而可得BD的長(zhǎng)該方程方程x2+ax＝b2的一個(gè)正根．【解答】解：∵AD＝AC=a∴AB＝AD+BD=a2在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（a2）2+b2＝（a2+BD∴a24+b2=a2∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2與方程x2+ax＝b2相同，且BD的長(zhǎng)度是正數(shù)，∴BD的長(zhǎng)該方程x2+ax＝b2的一個(gè)正根，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理及各邊長(zhǎng)得出BD2+aBD＝b2是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）5．（2021秋?溧陽市期末）老李有一塊長(zhǎng)方形菜地（長(zhǎng)大于寬），面積為180m2，他利用菜地寬處修了一個(gè)寬為3m的蓄水池，修完后老李發(fā)現(xiàn)他的菜地剛好變成一個(gè)正方形菜地．那么老李原來的菜地周長(zhǎng)為54m．【分析】根據(jù)“如果它的長(zhǎng)減少3m，那么菜地就變成正方形”可以得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多3m，利用矩形的面積公式列出方程即可．【解答】解：∵長(zhǎng)減少3m，菜地就變成正方形，∴設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xm，則長(zhǎng)為（x+3）m，根據(jù)題意得：x（x+3）＝180，解得：x1＝12，x2＝﹣15（不符合題意，舍去），則x+3＝15，這個(gè)長(zhǎng)方形菜地的長(zhǎng)為15m，寬為12m，所以老李原來的菜地周長(zhǎng)為：2×（15+12）＝54m．故答案為：54．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是弄清題意，找到等量關(guān)系．6．（2022?廣陵區(qū)校級(jí)一模）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為36m，寬為24m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為600m2，兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道，則人行通道的寬度為2m．【分析】將矩形綠地平移后，根據(jù)圖中的等量關(guān)系列出方程即可求出答案．【解答】解：設(shè)人行通道的寬度為x，將矩形綠地平移，如圖所示，∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x由題意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）解得：x＝2或x＝22（不合題意，舍去）故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于中等題型．7．（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）《代數(shù)學(xué)》中記載，形如x2+8x＝33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為2x的矩形得到大正方形的面積為33+16＝49，則該方程的正數(shù)解為7﹣4＝3．”小聰按此方法解關(guān)于x的方程x2+12x+m＝0，構(gòu)造圖2，已知陰影部分的面積為60，則該方程的正數(shù)解為46-6【分析】根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長(zhǎng)為3，先計(jì)算出大正方形的面積＝陰影部分的面積+4個(gè)小正方形的面積，可得大正方形的邊長(zhǎng)，從而得結(jié)論．【解答】解：x2+12x+m＝0，x2+12x＝﹣m，∵陰影部分的面積為60，∴x2+12x＝60，設(shè)4a＝12，則a＝3，同理：先構(gòu)造一個(gè)面積為x2的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為3x的矩形，得到大正方形的面積為60+32×4＝60+36＝96，則該方程的正數(shù)解為96-6＝46-故答案為：46-6【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022春?惠山區(qū)期末）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根．如圖，一張邊長(zhǎng)為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，再沿過點(diǎn)A的直線折疊使AD落在線段AF上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為AG，點(diǎn)G在邊CD上，連接GH，GF，線段BF、DG、CG和GF中，長(zhǎng)度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根的線段為DG．【分析】首先根據(jù)方程x2+x﹣1＝0解出正根為5-12，再判斷這個(gè)數(shù)值和題目中的哪條線段接近．線段BF＝0.5排除，其余三條線段可以通過設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系．利用正方形的面積等于圖中各個(gè)三角形的面積和，列等量關(guān)系．設(shè)DG＝m，則GC＝1﹣m【解答】解：設(shè)DG＝m，則GC＝1﹣m．由題意可知：△ADG≌△AHG，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴DG＝GH＝m，F(xiàn)C＝0.5，根據(jù)勾股定理得AF=5∵S正方形＝S△ABF+S△ADG+S△CGF+S△AGF，∴1×1=12×1×12+12×1×m∴m=5∵x2+x﹣1＝0的解為：x=-∴取正值為x=5∴這條線段是線段DG．故答案為：DG．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是一元二次方程的解法，運(yùn)用勾股定理和面積法找到線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）9．（2021?興化市模擬）某商店銷售一款工藝品，每件的成本是30元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷：據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是40元時(shí)，每天的銷售量是80件，而銷售單價(jià)每提高1元，每天就少售出2件，但要求銷售單價(jià)不得超過55元．（1）若銷售單價(jià)為每件45元，求每天的銷售利潤(rùn)；（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1200元，那么每件工藝品售價(jià)應(yīng)為多少元？【分析】（1）根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)＝每件的利潤(rùn)×每天的銷售量，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)每件工藝品售價(jià)為x元，則每天的銷售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)＝每件的利潤(rùn)×每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．答：每天的銷售利潤(rùn)為1050元．（2）設(shè)每件工藝品售價(jià)為x元，則每天的銷售量是[80﹣2（x﹣40）]件，依題意，得：（x﹣30）[80﹣2（x﹣40）]＝1200，整理，得：x2﹣110x+3000＝0，解得：x1＝50，x2＝60（不符合題意，舍去）．答：每件工藝品售價(jià)應(yīng)為50元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?建湖縣校級(jí)月考）如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．（1）設(shè)花圃的一邊AB長(zhǎng)為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長(zhǎng)為24﹣3x米；（2）若此時(shí)花圃的面積剛好為45m2，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)與寬．【分析】（1）用繩子的總長(zhǎng)減去三個(gè)AB的長(zhǎng)，然后加上兩個(gè)門的長(zhǎng)即可表示出AD的長(zhǎng)；（2）由在BC上用其他材料造了寬為1米的兩個(gè)小門，故長(zhǎng)邊為22﹣3x+2，令面積為45，解得x．【解答】解：（1）設(shè)寬AB為x，則長(zhǎng)AD＝BC＝22﹣3x+2＝（24﹣3x）米；（2）由題意可得：（22﹣3x+2）x＝45，解得：x1＝3；x2＝5，∴當(dāng)AB＝3時(shí)，BC＝15＞14，不符合題意舍去，當(dāng)AB＝5時(shí)，BC＝9，滿足題意．答：花圃的長(zhǎng)為9米，寬為5米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，用未知數(shù)表示出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向C點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【分析】作出輔助線，過點(diǎn)Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面積為12×PB×QE，有P、Q點(diǎn)的移動(dòng)速度，設(shè)時(shí)間為t秒時(shí)，可以得出PB、QE關(guān)于【解答】解