安工大附中高數(shù)學精練：三角函數(shù)模型的簡單應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.6三角函數(shù)模型的簡單應用一、情景導入：函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律應當用不同的函數(shù)來刻畫。三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領域中具有重要作用，它是學生在高中階段學習的又一類重要的基本初等函數(shù)。本章中,我們學習了三角函數(shù)及其基本性質,體會了三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用．解題時，應特別注意數(shù)學應用過程的完整性，加強了對問題情景和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個環(huán)節(jié)。這樣做可以保持數(shù)學應用中的數(shù)學思維水平,提高對相應的思想方法的認知層次，培養(yǎng)良好的解題習慣。二、感受理解:1．你能利用函數(shù)的奇偶性畫出圖象嗎？它與函數(shù)的圖象有什么聯(lián)系？2．已知：，若(1)；（2)；(3）α是第三象限角；(4）α∈R．分別求角α。提示:已知三角函數(shù)值求角先表示出銳角，再考慮其它象限角的表示方法。3．已知,分別是方程的兩個根,求角．4．設A、B、C、D是圓內接四邊形ABCD的四個內角，求證：（1）sinA＝sinC；（2）cos(A＋B）＝cos（C＋D);（3）tan（A＋B＋C）＝－tanD．5．某商品一年內出廠價格在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動,已知3月份達到最高價格8元，7月份價格最低為4元，該商品在商店內的銷售價格在8元基礎上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元，假設商店每月購進這種商品m件,且當月銷完，你估計哪個月份盈利最大?三、遷移拓展：6．函數(shù)的最小值為()A．2 B．0C． D．67．,若，則的值為（）．A．－aB．2＋aC．2－aD．4－a8．設A、B都是銳角，且cosA＞sinB則A+B的取值是(）A． B．C． D．9．若函數(shù)是奇函數(shù)，且當時，有，則當時,的表達式為（）A．B．C．D．10．下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為（)A．y= B．y=C．y=2cosxD．y=lg（sinx+）11．在滿足＝0的x中，在數(shù)軸上求離點最近的那個整數(shù)值是．12．已知（其中a、b為常數(shù)）,若,則__________．13．若，則銳角的取值范圍是_________．1４．由函數(shù)與函數(shù)y＝2的圖象圍成一個封閉圖形,這個封閉圖形的面積是_________．15．函數(shù)的圖象關于軸對稱的充要條件是16．如圖,表示電流強度I與時間t的關系式在一個周期內的圖象. ①試根據(jù)圖象寫出的解析式 ②為了使中t在任意一段秒的時間內I能同時取最大值｜A|和最小值－｜A｜，那么正整數(shù)的最小值為多少？17．討論函數(shù)y=lgcos2x的的定義域、值域、奇偶性、周期性和單調性等函數(shù)的基本性質18．函數(shù)的最小值為（1)求（2）若，求及此時的最大值19．已知f(x）是定義在R上的函數(shù),且（1)試證f（x)是周期函數(shù).(2)若f(3)=，求f(2005）的值。20．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點上是單調函數(shù)，求的值．四、實踐應用：21．把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上，卷上幾圈．用剪刀斜著將紙筒剪斷，再把卷著的紙展開，你就會看到：紙的邊緣線是一條波浪形的曲線，試一試動手操作一下。它是正弦曲線嗎？22．如圖，鐵匠師傅在打制煙筒彎脖時,為確保對接成直角，在鐵板上的下剪線正好是余弦曲線：的一個周期的圖象，問彎脖的直徑為12時，應是多少？提示：彎脖的周長正是的一個周期．參考答案:1。6三角函數(shù)模型的簡單應用二、感受理解1．略2．（1）(2)或(3）（4）或.3．由已知得：得∴k2—2k—3=0即k=3或k=-1。

又則，因此k=3舍去.

∴k=—1，則,，∴或4．由已知A＋C＝，A＋B＋C＋D＝2得A＝－C，則sinA＝sin（－C）＝sinC,又A＋B＝2－（C＋D)，故cos(A＋B)＝cos[2－（C＋D）]＝cos（C＋D）。tan（A＋B＋C）＝tan（2－D）＝－tanD．5．設出廠價波動函數(shù)為y1＝6+Asin(ω1x+φ1)易知A＝2T1＝8ω1＝+φ1＝φ1＝—∴y1＝6+2sin（x-)設銷售價波動函數(shù)為y2＝8+Bsin(ω2x+φ2）易知B＝2T2＝8ω2＝+φ2＝φ2＝—∴y2＝8+2sin(x-）每件盈利y＝y(tǒng)2-y1＝[8+2sin(x-）]-［6+2sin(x-）]＝2-2sinx當sinx＝-1x＝2kπ-x＝8k—2時y取最大值當k＝1即x＝6時y最大∴估計6月份盈利最大三、遷移拓展：6．Ｂ7．D8．C9．B10．Ｄ,lg［sin（-x）+]=lg(—sinx)=lg=lg(sinx+）—1=-lg(sinx+),又∵當x∈R時,均有sinx+＞0函數(shù)為奇函數(shù)11．112．313．14．15．16．（1）（2）17．定義域:(kπ-，kπ+),k∈Z;值域；奇偶性：偶函數(shù)；周期性：周期函數(shù)，且T=π;單調性：在（kπ—,kπ(k∈Z)上遞增，在［kπ,kπ+上遞減18．（1)函數(shù)的最小值為,,,,＝（2）19．(1)由,故f(x+4)==f（x+8)=f(x+4+4)==f（x），即8為函數(shù)的周期（2)由f（x+4)=，得f(5）=∴f(2005）=f(5+250×8)=f（5）=20．由f(x）為偶函數(shù)，知|f（0)|=1，結合，可求出．又由圖象關于對稱，知，即又及．當