2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征教師用書(shū)

第六節(jié)離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征考試要求：1．掌握離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)．2．會(huì)利用隨機(jī)變量的期望方差解決實(shí)際問(wèn)題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱(chēng)X為隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：可能取值為有限個(gè)或可以一一列出的隨機(jī)變量．(1)離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”，即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．(2)若X是隨機(jī)變量，則Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))也是隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱(chēng)X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗(yàn)．3．離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝i為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望．它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱(chēng)D(X)＝i為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var(X)，并稱(chēng)DX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度．(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．4．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(a，b為常數(shù))(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù))5．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．1．若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X2．均值與方差的關(guān)系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”．(1)離散型隨機(jī)變量的概率分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1． (×)(2)對(duì)于某個(gè)試驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的取值可能有明確的意義，也可能不具有實(shí)際意義． (×)(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布． (×)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小． (√)(5)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事． (×)2．隨機(jī)變量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m則P(X≤2)＝()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4C解析：由分布列的性質(zhì)可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3．3．若隨機(jī)變量X～B3，13，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．E(X)＝1 B．D(X)＝2C．E(2X)＝2 D．D(2X)＝4D解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X～B3，對(duì)于A(yíng)，E(X)＝3×13＝1．故選項(xiàng)A正確對(duì)于B，D(X)＝3×13×1-13＝對(duì)于C，E(2X)＝2E(X)＝2×1＝2．故選項(xiàng)C正確．對(duì)于D，D(2X)＝4D(X)＝4×23＝83．故選項(xiàng)D4．隨機(jī)變量X的分布列如表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3A解析：由表格可得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16．5．已知隨機(jī)變量X的分布如表，則D(X)＝________．X01Pa2a29解析：由隨機(jī)變量X的分布列得：0≤a≤1所以E(X)＝0×13＋1×23＝D(X)＝0-232×13考點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)——基礎(chǔ)性已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P0.20.5m若隨機(jī)變量η＝3X－1，則E(η)為()A．4.2B．18.9C．5.3D．隨m變化而變化C解析：因?yàn)?.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1．又η＝3X－1，所以E(η)＝3E(X)－1＝3×2.1－1＝5.3．故選C．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值．(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下，則E(ξ)的最大值是()ξ－10aP112＋14－A．－58B．－1564C．－14B解析：由題意可知：14＋12＋a＋14－b即a－b＝0，E(ξ)＝－14＋a14-b＝－14＋14b－b2＝－b-182．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列下表：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝8.9，則y的值為()A．0.2B．0.5C．0.4D．0.3C解析：因?yàn)棣蔚臄?shù)學(xué)期望E(ξ)＝8.9，所以由射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，得x+0.1+0.3+y=1，故選C．考點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的均值與方差——基礎(chǔ)性某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由．解：(1)由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，則P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題．理由如下：由(1)可知小明先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望為E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，則Y的期望為E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因?yàn)镋(Y)＞E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題．求離散型隨機(jī)變量的均值、方差的步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能取得的全部值．(2)求X的每個(gè)值的概率．(3)寫(xiě)出X的分布列．(4)由均值定義求出E(X)，D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2·D(X)的應(yīng)用．為推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng)．該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為14，16；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為12，2(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)、方差D(ξ)．解：(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0元、40元、80元．兩人都付0元的概率為p1＝14×16＝兩人都付40元的概率為p2＝12×23＝兩人都付80元的概率為p3＝1-14-12×所以，兩人所付費(fèi)用相同的概率p＝p1＋p2＋p3＝124＋13＋124(2)ξ的可能取值為0，40，80，120，160，且P(ξ＝0)＝14×16＝P(ξ＝40)＝14×23＋12×1P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16P(ξ＝120)＝12×16＋14×2P(ξ＝160)＝14×16＝所以ξ的分布列為ξ04080120160P11511E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×考點(diǎn)3均值與方差在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用——綜合性為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的，若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè)．現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為111，定義隨機(jī)變量X為總檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)(2)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E(Y)，試比較E(X)和E(Y)的大?。?直接寫(xiě)出結(jié)果)解：(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，每組檢查一次，共10次；又兩名患者在同一組，需要再檢查10次，因此一共需要檢查20次．②由題意可得X＝20，30．P(X＝20)＝111，P(X＝30)＝10可得分布列：X2030P110E(X)＝20×111＋30×1011＝(2)由題意可得：Y＝25，30．P(Y＝25)＝20×C22C983C1005＝499可得分布列：Y2530P495所以E(Y)＝25×499＋30×9599＝因?yàn)?95099＞288099＝所以E(X)＜E(Y)．利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(1)若我們比較兩個(gè)隨機(jī)變量的差別時(shí)，可先求隨機(jī)變量ξ1，ξ2的期望，當(dāng)E(ξ1)＝E(ξ2)時(shí)，需要用D(ξ1)，D(ξ2)來(lái)進(jìn)一步比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度，從平均水平和離散程度兩個(gè)方面進(jìn)行比較．(2)若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近．(2022·揭陽(yáng)模擬)小田開(kāi)小汽車(chē)上班的道路A要經(jīng)過(guò)5個(gè)紅綠燈路口，若小田到達(dá)每一個(gè)路口是相互獨(dú)立的，到達(dá)每一個(gè)路口遇到紅燈的概率都為25，遇到綠燈的概率都為3(1)若小田從出門(mén)到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要5分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為2分鐘，求小田從出門(mén)到辦公室的時(shí)間的平均值；(2)小田騎電動(dòng)車(chē)上班的道路B只要經(jīng)過(guò)3個(gè)紅綠燈路口(只有紅燈或綠燈)，隨機(jī)到達(dá)第一個(gè)路口遇到紅燈、綠燈的概率都為12，一個(gè)路口遇到紅燈時(shí)下一個(gè)路口遇到紅燈和一個(gè)路口遇到綠燈時(shí)下一個(gè)路口遇到綠燈的概率都為2(3)若小田騎電動(dòng)車(chē)走道路B，從出門(mén)到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要4分鐘，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1分鐘，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為5分鐘．從時(shí)間來(lái)考慮，請(qǐng)問(wèn)小田上班是開(kāi)小汽車(chē)好，還是騎電動(dòng)車(chē)好？解：(1)設(shè)小田開(kāi)車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ～B5，25，設(shè)小田開(kāi)車(chē)從出門(mén)到辦公室的時(shí)間為X，則X＝5＋2×4＋1×ξ＋5，平均值E(X)＝18＋E(ξ)＝18＋5×2(2)設(shè)小田騎車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)為η，則η可能為0，1，2，3，P(η＝0)＝P(綠綠綠)＝12×23×23P(η＝1)＝12×13×23＋12×13×13＋12P(η＝2)＝12×23×13＋12×13×13＋12P(η＝3)＝12×23×23所以E(η)＝0×29＋1×518＋2×518＋3×29＝(3)設(shè)小田騎車(chē)從出門(mén)到辦公室的時(shí)間為Y，則Y＝4＋2×5＋1×η＋4，平均值E(Y)＝18＋E(η)＝19.5＜E(X)，所以小田上班騎電動(dòng)車(chē)較好．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十一)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(2023·聊城模擬)袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．至少取到1個(gè)白球B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù)D．取到的球的個(gè)數(shù)C解析：選項(xiàng)A，B表述的都是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2．2．已知某一隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξa79Pb0.10.4A．4B．5C．6D．7A解析：因?yàn)閎＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5．所以E(ξ)＝0.5a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4．3．(2022·東陽(yáng)模擬)已知隨機(jī)變量X，Y滿(mǎn)足：X～B(2，p)，Y＝2X＋1，且P(X≥1)＝59，則D(Y)＝(A．49B．73C．169C解析：隨機(jī)變量X滿(mǎn)足：X～B(2，p)，且P(X≥1)＝59所以P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝C20(1－p)2＝解得p＝13，所以X～B2所以D(X)＝2×13×1因?yàn)閅＝2X＋1，D(Y)＝22D(X)＝169．故選C4．從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X．已知E(X)＝3，則D(X)＝()A．85B．65C．45B解析：由題意可得，X～B5，又E(X)＝5×3m+3＝3，所以m則X～B5，35，故D(X)＝5×35．(多選題)隨機(jī)變量ξ的分布列是：ξ123Pab1若E(ξ)＝53，隨機(jī)變量ξ的方差為D(ξ)，則下列結(jié)論正確的有(A．a(chǎn)＝12，b＝13 B．a(chǎn)＝13，C．D(ξ)＝59 D．D(ξ)＝AC解析：由題意得a+b+16=1，53=a+2b+3×16，所以a=12，b=136．簽盒中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支．設(shè)X為這3支簽的號(hào)碼之中最大的一個(gè)，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．5B．5.25C．5.8D．4.6B解析：由題意可知，X可以為3，4，5，6，P(X＝3)＝1C63＝120，P(X＝4)＝C32C63＝320，P(X＝5)＝C42C63＝310，P(X＝6)＝C52C63＝12．由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E7．某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，則p＝________．0.6解析：由題意，使用移動(dòng)支付的人數(shù)X服從二項(xiàng)分布，則D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)＜P(X＝6)，即C104p4·1-p化簡(jiǎn)得(1－p)2＜p2，解得p＞12，所以p＝0.68．某同學(xué)在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)兩個(gè)紅綠燈十字路口，已知他在第一個(gè)十字路口遇到紅燈的概率為12．若他在第一個(gè)十字路口遇到紅燈，則在第二個(gè)十字路口遇到紅燈的概率為13；若他在第一個(gè)十字路口遇到綠燈，則在第二個(gè)十字路口遇到紅燈的概率為23．記他在上學(xué)路上遇到紅燈的次數(shù)為ξ，則P(ξ＝0)＝________，ξ161解析：由題意可知，P(ξ＝0)＝1-12×1-ξ的可能取值為0，1，2，所以P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝12×23+1-12×23＝23，P(所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×169．某中學(xué)有4位學(xué)生申請(qǐng)A，B，C三所大學(xué)的自主招生．若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué)，且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的．(1)求恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率；(2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．解：(1)所有可能的方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的情況有C42×22從而恰有2人申請(qǐng)A大學(xué)的概率為C42×(2)由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，則P(X＝1)＝334＝P(X＝2)＝C43·P(X＝3)＝C42A所以隨機(jī)變量X的分布列為X123P1144E(X)＝1×127＋2×1427＋3×4910．從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，(1)記X表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率．解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝1-12P(X＝1)＝12×1-13×P(X＝2)＝1-12×13×14＋12×1-P(X＝3)＝12×13×14所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P11111隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×1(2)設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×1所以這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為1148B組新高考培優(yōu)練11．(2022·重慶模擬)某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺(tái)設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A品牌設(shè)備需投入60萬(wàn)元，B品牌設(shè)備需投入90萬(wàn)元，企業(yè)對(duì)兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計(jì)可增加效益100萬(wàn)元，從年均收益的角度分析()A．不更換設(shè)備B．更換為A設(shè)備C．更換為B設(shè)備D．更換為A或B設(shè)備均可C解析：設(shè)更換為A品牌設(shè)備使用年限為X，則E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3年，更換為A品牌設(shè)備年均收益為3×100－60＝240萬(wàn)元；設(shè)更換為B品牌設(shè)備使用年限為Y，則E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7年，更換為B品牌設(shè)備年均收益為3.7×100－90＝280萬(wàn)元．所以更換為B品牌設(shè)備．12．一盒中有10個(gè)羽毛球，其中8個(gè)新的，2個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球的個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A．715B．815C．730A解析：因?yàn)閺暮凶又腥稳?個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X＝4，即舊球的個(gè)數(shù)增加了2個(gè)，所以取出的3個(gè)球中必有2個(gè)新球，即取出的3個(gè)球必為1個(gè)舊球2個(gè)新球，所以P(X＝4)＝C21C13．(2022·寧波二模)設(shè)0＜a＜1，隨機(jī)變量X的分布列是：X01－a1＋a2P1bc1則當(dāng)b在0，12內(nèi)增大時(shí)，A．D(X)增大B．D(X)減小C．D(X)先減小再增大D．D(X)先增大再減小D解：0＜a＜1，由隨機(jī)變量X的分布列，知：14＋b＋c＋14＝所以b＋c＝12E(X)＝0×14＋(1－a)·b＋(1＋a)·c＋2×14＝b－ab＋(1＋a)12-b＋12＝1－E(X2)＝0×14＋(1－a)2·b＋(1＋a)2·c＋4×14＝(1－a)2·b＋(1＋a)2·12-b＋1＝1＋1所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－4a2b2＋2a2b＋14a2＋12＝－a22b-122＋1所以當(dāng)b在0，12內(nèi)增大時(shí)，D(X14．某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，只要顧客一次性購(gòu)物滿(mǎn)180元就有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)方法如下：一個(gè)抽獎(jiǎng)箱中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的小球(4個(gè)紅球和2個(gè)黃球)．顧客從中隨機(jī)抽取2個(gè)，若2個(gè)都是黃球則獎(jiǎng)勵(lì)10元；若只有1個(gè)黃球則獎(jiǎng)勵(lì)3元，其余情況都無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)．則每次抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望是________元．3415解析：設(shè)一次抽獎(jiǎng)所得獎(jiǎng)勵(lì)是X元，隨機(jī)變量X的可能取值為0，3，10則P(X＝0)＝C42CP(X＝3)＝C41CP(X＝10)＝C22C所以E(X)＝0×615＋3×815＋10×11515．在1，2，3，…，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)，其中恰有1個(gè)偶數(shù)的概率是________(用數(shù)字作答)，記ξ為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時(shí)ξ的值是2)，則E(2ξ＋1)＝________．102173解析：(1)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則P(A)＝C4(2)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，ξ＝2的情況：123、234、345、456、567、678、789，共7種可能，ξ＝1的情況：12(4～9)，89(1～6)，有6×2＝12種；23(5～9)，34(1，6～9)，…，78(1～5)，有5×6＝30種；總共42種，ξ＝0的情況：C93－7－42＝35故P(ξ＝0)＝35C93＝512，P(ξ＝1)＝42C93＝12，P(所以ξ的分布列為ξ012P511所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112所以E(2ξ＋1)＝2×23＋1＝716．甲、乙兩個(gè)袋子中，各放有大小和形狀相同的小球若干．每個(gè)袋子中標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)?個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的n個(gè)．從一個(gè)袋子中任取兩個(gè)球，取到的標(biāo)號(hào)都是2的概率是110(1)求n的值；(2)從甲袋中任取兩個(gè)球，已知其中一個(gè)的標(biāo)號(hào)是1，求另一個(gè)標(biāo)號(hào)也是1的概率；