結(jié)構(gòu)力學(xué) 第4章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

第4章

結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算§4.1

位移計(jì)算概述一、位移的概念1.定義：在外因（荷載、溫度變化、支座沉降等）作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生尺寸和形狀的改變，稱為變形。結(jié)構(gòu)變形后，其上各點(diǎn)的位置會(huì)有變動(dòng)，稱為位移。位移是矢量，有大小、方向。2.種類：（1）線位移：水平位移；豎向位移（2）角位移：轉(zhuǎn)動(dòng)方向

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something二、計(jì)算位移目的三、位移產(chǎn)生的主要原因?yàn)槭裁匆?jì)算位移?1.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度；2.為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)。1.荷載作用；2.溫度改變和材料脹縮；3.支座沉降和制造誤差等。四、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的原理1.位移計(jì)算假定條件：線彈性變形體在小變形條件下的位移2.計(jì)算原理：變形體系的虛功原理3.計(jì)算方法：虛設(shè)單位荷載法§4.2虛功和虛功原理1.概念一、實(shí)功與虛功實(shí)功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功。虛功：力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。2.做功的兩種形式力在變形位移上所作的實(shí)功為：P力在對(duì)應(yīng)虛位移上所作的虛功為：P常力實(shí)功：

靜力實(shí)功：剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。二、虛功原理PΔ2Δ3Δ/21.剛體體系的虛功原理體系在任意平衡力系作用下，給體系以幾何可能的位移和變形，體系上所有外力所作的虛功總和恒等于體系各截面所有內(nèi)力在微段變形位移上作的虛功總和。2.變形體系的虛功原理說(shuō)明：（1）虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。（2）原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結(jié)構(gòu)。（3）位移和變形是微小量，位移曲線光滑連續(xù)，并符合約束條件。（4）在虛功原理中，做功的力和位移無(wú)關(guān)，可以虛設(shè)力也可虛設(shè)位移。3.虛功原理的應(yīng)用1）虛設(shè)位移求未知力（虛位移原理）

虛設(shè)單位位移法:已知一個(gè)力狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位位移狀態(tài)，利用虛功方程求力狀態(tài)中的未知力。這時(shí)，虛功原理也稱為虛位移原理。2）虛設(shè)力系求位移（虛力原理）

虛設(shè)單位荷載法:已知一個(gè)位移狀態(tài)，虛設(shè)一個(gè)單位力狀態(tài)，利用虛功方程求位移狀態(tài)中的未知位移。這時(shí)，虛功原理也稱為虛力原理。三、剛體體系虛功原理應(yīng)用舉例例1.求A

端支座發(fā)生豎向位移c

時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移

.解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。由得：解得：

這是單位荷載法

。虛功方程為：ABaCbc1ABC例2.求多跨靜定梁在C點(diǎn)的支座反力FC。FFABCDEa2aa2aa(a)FFABCDE(b)FCABCDE(c)δC=1δ1δ2（3）代入剛體體系的虛功方程，求FC。解得：

這是單位位移法

。虛功方程為：解：（1）撤掉支座C,把支座反力變成主動(dòng)力FC。這時(shí)體系變成一個(gè)機(jī)構(gòu)，如圖（b）所示。（2）取圖（c）所示機(jī)構(gòu)的剛體體系沿所求支座反力方向虛設(shè)單位位移δC=1。根據(jù)幾何關(guān)系，可求出力F作用點(diǎn)處相應(yīng)的位移：δ1=-3/2，δ2=3/4d

微段的變形可分為:ds1PqN1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsddsd§4.3

位移計(jì)算的一般公式2ds一、公式的推導(dǎo)基本原理——變形體系的虛力原理（虛設(shè)單位荷載法）

虛設(shè)力狀態(tài)：在求位移處沿所求位移方向加上相應(yīng)的廣義單位力P=1。如圖所示結(jié)構(gòu)，計(jì)算K點(diǎn)的水平位移。P=1虛擬力狀態(tài)11RP1P2t1t2位移狀態(tài)2c1KΔKHK對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)，內(nèi)力所作虛功：外力所作虛功：由變形體虛功原理：說(shuō)明：該式是結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式。適用于靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。2)適用于產(chǎn)生位移的各種原因、不同的變形類型、不同的材料。3)該式右邊四項(xiàng)乘積，當(dāng)力與變形的方向一致時(shí)，乘積取正。二、虛設(shè)單位荷載的方法1)求某截面的線位移2)求某截面的角位移3)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)角位移4)求某兩點(diǎn)間的相對(duì)線位移P=1P=1P=1§4.4荷載作用下的位移計(jì)算一、公式的進(jìn)一步推導(dǎo)d

ddsd二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式1.梁與剛架—以彎曲變形為主2.桁架—只有軸向變形3.組合結(jié)構(gòu)4.拱例1.求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。

2）分段求MP的表達(dá)式（0≤x≤l）m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虛擬單位荷載AC段：MP=Px/2（0≤x1≤l/2）BC段：MP=P（l－x）/2（l/2≤x2≤l）（）3）代入公式求φB解：例2.求圖示桁架(各桿EA相同)K點(diǎn)水平位移.1）分別求出桁架各桿在實(shí)際荷載和虛設(shè)單位荷載作用下的軸力。2）代入公式求ΔKHP=1例3.求圖示1/4圓弧曲桿頂點(diǎn)的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載虛擬荷載3）代入公式求Δds=Rdθ2）實(shí)際荷載Pθdθds鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G≈0.4E矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12可見(jiàn)剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計(jì)。但對(duì)于深梁剪切變形引起的位移不可忽略.例4.求圖示懸臂剛架C截面的角位移φC。剛架EI為常數(shù)。

解：（1）取圖(b)所示虛設(shè)單位力狀態(tài)。（2）實(shí)際荷載與單位荷載所引起的彎矩分別為(以內(nèi)側(cè)受拉為正)橫梁BC(以C為原點(diǎn))豎柱BA(以B為原點(diǎn))

MP=-Px1

(0≤x1≤l)MP=-Pl(0≤x2≤l)

M=-1

(0≤x2≤l)M=-1

(0≤x1≤l)

(3)將MP、M代入位移公式

一、適用范圍與限制條件§4.5

圖乘法如何利用彎矩圖，使其計(jì)算得以簡(jiǎn)化？1.適用范圍:受彎曲變形為主的梁、剛架及組合結(jié)構(gòu)中的梁式桿2.限制條件:（1）桿軸是直線；（2）EI是常數(shù)；（3）至少有一是直線圖形。二、圖乘法的公式(EI為常數(shù))(直桿)圖乘法求位移公式為:注意圖乘法的應(yīng)用條件說(shuō)明：（1）若兩個(gè)M圖在桿件的同側(cè)，乘積取正值；反之，取負(fù)值。（2）

應(yīng)取自直線圖中。（3）必須分別取自兩個(gè)彎矩圖。三、應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問(wèn)題3.當(dāng)圖形比較復(fù)雜，其面積或形心位置不易直接確定時(shí)，可采用疊加法。1.豎標(biāo)yC只能由直線彎矩圖中取值。如果MP與單位M圖都是直線，則yC可取自其中任一個(gè)圖形。2.當(dāng)結(jié)構(gòu)某一根桿件的M圖為折線形時(shí)，或者各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段圖乘，然后進(jìn)行疊加。圖1例如，圖1(a)所示兩個(gè)梯形應(yīng)用圖乘法，可不必求梯形的形心位置，而將其中一個(gè)梯形(設(shè)為MP圖)分成兩個(gè)三角形，分別圖乘后再疊加。對(duì)于圖2所示由于均布荷載q所引起的MP圖，可以把它看作是兩端彎矩豎標(biāo)所連成的梯形ABDC與相應(yīng)簡(jiǎn)支梁在均布荷載作用下的彎矩圖疊加而成。四、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置

(1)

畫出結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP；

(2)

據(jù)所求位移選定相應(yīng)的虛擬狀態(tài)，畫出單位彎矩圖M；

(3)

分段計(jì)算一個(gè)彎矩圖形的面積ω及其形心所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)彎矩圖形的豎標(biāo)yC；

(4)

將ω

、yC代入圖乘法公式計(jì)算所求位移。五、圖乘法計(jì)算位移的解題步驟【例1】求圖(a)所示簡(jiǎn)支梁A端角位移φA及跨中C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)。【解】(1)

求φA

①實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。②在A端加單位力偶m=1，其單位彎矩圖M如圖(c)所示。③MP圖面積及其形心對(duì)應(yīng)單位M圖豎標(biāo)分別為

④計(jì)算φA

(2)

求ΔCV

①M(fèi)P圖仍如圖(b)所示。②在C點(diǎn)加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(d)所示。③計(jì)算ω、yC。由于單位M圖是折線形，故應(yīng)分段圖乘再疊加。因兩個(gè)彎矩圖均對(duì)稱，故計(jì)算一半取兩倍即可。

④計(jì)算ΔCV

【例2】試求圖(a)所示的梁在已知荷載作用下，A截面的角位移φA及C點(diǎn)的豎向線位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

分別建立在m=1及P=1作用下的虛設(shè)狀態(tài)，如圖(c)、(d)所示。

(2)

分別作荷載作用和單位力作用下的彎矩圖，如圖(b)、(c)、(d)。

(3)

圖形相乘。將圖(b)與圖(c)相乘，則得

結(jié)果為負(fù)值，表示φA的方向與m=1的方向相反。

計(jì)算ΔCV時(shí)，將圖(b)與圖(d)相乘，這里必須注意的是MP圖BC段的彎矩圖是非標(biāo)準(zhǔn)的拋物線，所以圖乘時(shí)不能直接代入公式，應(yīng)將此部分面積分解為兩部分，然后疊加，則得

【例3】計(jì)算圖(a)所示懸臂剛架D點(diǎn)的豎向位移ΔDV。各桿EI如圖示?！窘狻?1)實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)在D端加單位力P=1，單位彎矩圖M如圖(c)所示。

(3)計(jì)算ω、yC

圖乘時(shí)應(yīng)分AB、BC、CD三段進(jìn)行，由于CD段M=0，可不必計(jì)入。故只計(jì)算AB、BC兩段。

AB段：ω1=2/3l2(取自單位M圖)y1=Pl/4BC段：ω2=2l2/9y2=Pl/4(4)計(jì)算ΔDVΔDV=1/EI(ω1yC1)+1/2EI(ω2yC2)

=-5Pl3/(36EI)(↑)【例4】計(jì)算圖(a)所示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。EI為常數(shù)?！窘狻?1)

實(shí)際荷載作用下的彎矩圖MP如圖(b)所示。

(2)

在C處加豎向單位力P=1，其彎矩圖M如圖(f)所示。

(3)

計(jì)算ω、yC

BC段：ω1=ql3/48

y1=3/8l

AB段：

ω2=ql3/16

y2=1/3

ω3=ql3/24

y3=1/4l

(4)

計(jì)算ΔCV

ΔCV=1/EI(ω1y1+ω2y2+ω3y3)=ql4/(128EI)(↓)§4.6

支座移動(dòng)、溫度作用時(shí)的位移計(jì)算一、支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)或制造誤差，不引起任何內(nèi)力，且其內(nèi)部亦不產(chǎn)生變形，但整個(gè)結(jié)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生剛體位移。1.支座移動(dòng)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響2.支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式

注意：乘積正負(fù)號(hào)，同側(cè)為正，異側(cè)為負(fù)。

如圖(a)所示剛架，支座移動(dòng)為C1、C2、C3，致使整個(gè)結(jié)構(gòu)移動(dòng)到了虛線位置如圖示。下面利用虛功原理求結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)K沿i-i方向的位移ΔKi?！纠?】三鉸剛架的跨度l=12m，高為h=8m。已知右支座B發(fā)生了豎直沉陷C1=6cm，同時(shí)水平移動(dòng)了C2=4cm(向右)，如圖(a)所示。試求由此引起的左支座A處的桿端轉(zhuǎn)角φA。

【解】(1)

在A處虛設(shè)單位力偶m=1，如圖(b)所示。(2)計(jì)算單位荷載作用下的支座反力由于A支座無(wú)位移，故只需計(jì)算B支座反力即可。取整體為隔離體，由∑MA=0得取右半剛架BC為隔離體，由∑MC=0得(3)

計(jì)算φA

計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明φA與虛設(shè)單位力偶m=1的轉(zhuǎn)向一致。靜定結(jié)構(gòu)由于溫度變化，材料會(huì)引起熱脹冷縮，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移，但整個(gè)結(jié)構(gòu)不引起任何內(nèi)力。1.溫度變化對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響2.溫度作用時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式二、溫度作用時(shí)的位移計(jì)算

設(shè)材料的線膨脹系數(shù)為α

（1）桿件無(wú)剪切變形：（2）桿件形心軸處的伸長(zhǎng)（軸向變形）（3）微段兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角（彎曲變形）其中桿件兩側(cè)溫度變化之差其中：桿件形心軸處的溫度變化值對(duì)于等截面直桿:若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正，反之為負(fù)。：形心軸處的溫度改變值，溫度升高為正，降低為負(fù)；：桿件兩側(cè)溫度改變值的差值，取其絕對(duì)值；：虛設(shè)單位荷載作用下各桿的軸力值，受拉為正，受壓為負(fù)；：虛設(shè)單位荷載作用下圖的面積；注意：各項(xiàng)參數(shù)正負(fù)號(hào)的取值例1.剛架施工時(shí)溫度為20℃，試求冬季外側(cè)溫度為-10℃，內(nèi)側(cè)溫度為

0℃時(shí)A點(diǎn)的豎向位移。已知

l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度

h=0.4m。解：（1）虛設(shè)單位力，繪制單位彎矩圖和軸力圖。llAMANA外側(cè)溫度變化值：℃內(nèi)側(cè)溫度變化值：℃（2）代入公式求A點(diǎn)的豎向位移

§4.7

互等定理如圖1所示簡(jiǎn)支梁，分別作用兩組外力P1與P2，并分別稱為第一狀態(tài)(圖1(a))和第二狀態(tài)(圖1(b))。計(jì)算第一狀態(tài)的外力及其所引起的內(nèi)力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移和變形上所做的虛功T12和W12時(shí)，據(jù)虛功原理有T12=W12，即一、功的互等定理圖1反之，計(jì)算第二狀態(tài)的外力及其所引起的內(nèi)力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移和變形上所做的虛功T21和W21時(shí)，據(jù)虛功原理有T21=W21，即

上式表明：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功。這就是功的互等定理。在功的互等定理中，假如兩個(gè)狀態(tài)中的荷載是單位力時(shí)(P1=1,P2=1)，由單位力所引起的位移，用小寫字母δ12、δ21表示，如圖2所示。代入功的互等定理式，則有

二、位移互等定理這就是位移互等定理。它表明：第二個(gè)單位力P2=1在第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向所引起的位移δ12，等于第一個(gè)單位力P1=1在第二個(gè)單位力作