專(zhuān)題18解析幾何的解題能力（學(xué)生版）

專(zhuān)題18：解析幾何的解題能力<<<專(zhuān)題綜述>>><<<專(zhuān)題綜述>>>解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)其中的直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)等知識(shí)的考查幾乎沒(méi)有遺漏過(guò)，基本思想實(shí)際上是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.該部分試題的總特點(diǎn)是重基礎(chǔ),重素養(yǎng),重能力.因此，要培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力,首先領(lǐng)會(huì)考點(diǎn)知識(shí)，奠定培養(yǎng)解題能力的基礎(chǔ);其次通過(guò)研究題型，培養(yǎng)解題能力.<<<專(zhuān)題探究>>><<<專(zhuān)題探究>>>題型一：題型一：轉(zhuǎn)化能力解決解析幾何的整體思路是：結(jié)合圖形分析幾何特征，幾何特征恰當(dāng)代數(shù)化，優(yōu)化代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題，把代數(shù)化的結(jié)論還原成幾何結(jié)論.其中思維難點(diǎn)是轉(zhuǎn)化，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思路有：1.分析幾何條件的本質(zhì)特征轉(zhuǎn)化成合理的代數(shù)關(guān)系，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算最終轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.如：=1\*GB3①線(xiàn)段積問(wèn)題：轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積表示、將斜線(xiàn)段投影到坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上，將線(xiàn)段積轉(zhuǎn)化為同一坐標(biāo)軸上的射影問(wèn)題，即將二維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維問(wèn)題、將線(xiàn)段用參數(shù)方程表示，將線(xiàn)段之積轉(zhuǎn)化為參數(shù)之積等；=2\*GB3②角平分線(xiàn)：轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)斜率間的關(guān)系、轉(zhuǎn)化為角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等、轉(zhuǎn)化為三角形中對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比例關(guān)系等；=3\*GB3③角問(wèn)題：利用斜率轉(zhuǎn)化、利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化、利用平面向量轉(zhuǎn)化、利用解三角形轉(zhuǎn)化等；

=4\*GB3④垂直問(wèn)題：轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0、轉(zhuǎn)化為斜率表示等；=5\*GB3⑤平行四邊形問(wèn)題：結(jié)合向量線(xiàn)性運(yùn)算的平行四邊形法則，轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系；=6\*GB3⑥面積的轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形的面積和等.2.分析復(fù)雜的幾何條件轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的幾何條件，部分幾何條件容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，但是可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜，故先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何條件.3.在轉(zhuǎn)化中優(yōu)化解題策略（專(zhuān)題17）.例1(2022·重慶市市轄區(qū)模擬)已知點(diǎn)M(-1,m)(m>0)，不垂直于x軸的直線(xiàn)l與橢圓C:x24(1)若M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，證明：y2(2)設(shè)C的左焦點(diǎn)為F，若M在∠AFB的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)上，且l

被圓x2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為【思路點(diǎn)撥】

第(1)問(wèn)考查弦中點(diǎn)問(wèn)題，容易想到點(diǎn)差法解決；第(2)問(wèn)數(shù)形結(jié)合可得MF⊥x軸，故幾何條件“M在∠AFB的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)上”，可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)AF與BF的斜率為互為相反數(shù)，從而將幾何問(wèn)題代數(shù)化.練1(2023·四川省瀘州市期末)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為2(1)求橢圓的方程；(2)已知C(-4,0)，D(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，直線(xiàn)PC，PD分別與橢圓交于另一點(diǎn)M，N，若CP=λCM，DP=μ練2(2023·四川省成都月考)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，右頂點(diǎn)為A(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l:x=t交x軸于點(diǎn)P，其中t>a，直線(xiàn)PB交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線(xiàn)BA和CA分別交直線(xiàn)l于點(diǎn)M和N，若O、A、M、N四點(diǎn)共圓，求t的值．題型題型二：預(yù)判能力解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，結(jié)合平時(shí)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累和方法的總結(jié)，在解題過(guò)程中做出相對(duì)準(zhǔn)確合理的預(yù)判，一定程度上能夠指引解題方向，優(yōu)化解題策略，修正解題的結(jié)果.1.預(yù)判目標(biāo)，明確解題方向：在解決定點(diǎn)、定值、探索性等問(wèn)題時(shí)，充分挖掘題目條件，整體建構(gòu)好解題思路，采用特殊化、極端化等方法預(yù)判，得到初步的結(jié)論，明確解題目標(biāo)，再進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證.2.預(yù)判方法，優(yōu)化解題策略：為優(yōu)化解題過(guò)程，降低運(yùn)算難度，常會(huì)面臨著點(diǎn)參、斜參、角參的選擇.根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線(xiàn)的有關(guān)定義、性質(zhì)，結(jié)合題目特點(diǎn)選擇合適的參變量、公式、坐標(biāo)系進(jìn)行解題預(yù)判.3.預(yù)判結(jié)果，驗(yàn)證解題過(guò)程：對(duì)解題過(guò)程中的一些階段性結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行預(yù)判，若與解題目標(biāo)不符，則及時(shí)修正調(diào)整.比如在解決定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，采用一般性解法得到結(jié)果，可利用特殊情況對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證判斷結(jié)果.或者結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)不止一條，進(jìn)而判斷結(jié)果.例2(2021·福建省莆田市模擬)已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點(diǎn)M(0,1)在橢圓E上，過(guò)點(diǎn)N(2,0)作斜率為22的直線(xiàn)恰好與橢圓E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓E的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)交橢圓E【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)由題干的所給的2個(gè)條件，求出a,b；第(2)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，若存在常數(shù)k滿(mǎn)足“使|PA|2,a2+1練3(2022·浙江省杭州市期中)已知橢圓C:x2a2+y2(1)求C的方程;(2)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=λ，在橢圓C1上任取三點(diǎn)B練4(2022·云南省曲靖市聯(lián)考)已知P為圓M：x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD，D(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線(xiàn)C，過(guò)點(diǎn)N(-1,0)作曲線(xiàn)C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為E、F，過(guò)點(diǎn)N作直線(xiàn)EF的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)G，使得|GH|為定值？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型題型三：運(yùn)算能力解決解析幾何問(wèn)題，要求學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、明確運(yùn)算目標(biāo)、注重算理算法的多樣性的基礎(chǔ)上，提升運(yùn)算的合理性、簡(jiǎn)潔性、準(zhǔn)確性.1.明確幾何特征，探究運(yùn)算思路：利用數(shù)形結(jié)合思想，明確幾何對(duì)象哪些是運(yùn)動(dòng)變化的量，哪些是不變的量，分析不同對(duì)象之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，再將幾何問(wèn)題代數(shù)化.2.結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)，選擇運(yùn)算方法：靈活的運(yùn)用定義與性質(zhì)，計(jì)算過(guò)程中恰當(dāng)?shù)睦脫Q元法、同構(gòu)、不等式等方法簡(jiǎn)化計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)快速高效的解題.例3(2022·天津市期末)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(52,-32)．

(1)求橢圓方程；

(2)若M是橢圓上任意一點(diǎn)，【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出橢圓方程；第(2)問(wèn)通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析幾何特征，將線(xiàn)段長(zhǎng)的比值轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段在y軸上的投影長(zhǎng)的比值，即用點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示簡(jiǎn)化計(jì)算，避免用兩點(diǎn)間的距離公式使結(jié)果復(fù)雜化.練5(2022·重慶市月考)作斜率為-1的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C:y2=2px交于A,B兩點(diǎn)(如圖所示)，點(diǎn)P1,2在拋物線(xiàn)C上且在直線(xiàn)(1)求C的方程并證明．直線(xiàn)PA和PB的傾斜角互補(bǔ)．(2)若直線(xiàn)PA的傾斜角為θ(π4<θ<練6(2023·江蘇省南通市模擬)已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程;(2)設(shè)任意過(guò)F2的直線(xiàn)為l交E于M，N，分別作E在點(diǎn)M，N上的兩條切線(xiàn)，并記它們的交點(diǎn)為P，過(guò)F1作平行于l的直線(xiàn)分別交PM,PN于A，B，求<<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>><<<專(zhuān)題訓(xùn)練>>>1.(2022·湖北省黃岡市月考)已知點(diǎn)Q(-2,0)與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)，過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，若AB=3BP，且直線(xiàn)QA的斜率為1，則p=2.(2022·遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M3,0，N-3,0，動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足直線(xiàn)QM與QN的斜率乘積為-(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C1(2)已知C2:x215+y210=1，在C2上取一點(diǎn)Px0,y00<x0<3,y0>0作C1的兩條切線(xiàn)PA,PB，其中A,B3.(2022·吉林省松原市模擬)已知離心率為22的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，及點(diǎn)P(-4,0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比數(shù)列．

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率不為0的動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，記PM=λPN，線(xiàn)段4.(2022·安徽省名校聯(lián)考)已知雙曲線(xiàn)E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率e=2，直線(xiàn)l：x=a2c與E的一條漸近線(xiàn)交于Q，與x軸交于P，且|FQ|=3．

(1)求E的方程；

(2)過(guò)F5.(2022·河北省模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(1)求雙曲線(xiàn)E的方程;(2)如圖，過(guò)圓O:x2+y2=1上一點(diǎn)M作圓O的切線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E的左右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)E6.(2023·廣東省深圳市模擬)已知雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c>0，M(c,3)在C上，且C的離心率為2．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠F1MF7.(2023·浙江省金麗衢聯(lián)考)設(shè)雙曲線(xiàn)C:x2a2-y(1)求雙曲線(xiàn)C的方程；(2)若A