常微分方程 3.1存在唯一性定理_第1頁(yè)
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常微分方程 3.1存在唯一性定理_第3頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

第三章

一階微分方程的解的存在定理問題的提出：前一章中，介紹了能用初等積分法求解的一階微分方程的幾種類型，但同時(shí)指出，大量的一階微分方程是不能應(yīng)用初等積分法求出其通解的。另一方面，實(shí)際問題所需要的往往是滿足某種初始條件的解。因此我們把注意力集中在初值問題（也稱柯西問題）：的求解上，與代數(shù)方程類似，對(duì)于不能用初等方法求解的微分方程，我們可以采用數(shù)值解法，在應(yīng)用數(shù)值解法求解之前必須在理論上解決以下兩個(gè)基本問題：需解決的問題§3.1解的存在唯一性定理與逐步逼近法

一存在唯一性定理1定理1

考慮初值問題(1)初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程的連續(xù)解.證明思路(2)構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)這是為了即下面分五個(gè)命題來證明定理,為此先給出積分方程的解如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù),則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.積分方程命題1

初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程證明:即反之故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得且構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通,即上述的積分是否有意義?注命題2證明:(用數(shù)學(xué)歸納法)命題3證明:考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)它的前n項(xiàng)部分和為對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有現(xiàn)設(shè)命題4證明:即命題5證明:由綜合命題1—5得到存在唯一性定理的證明.一存在唯一性定理1定理1

考慮初值問題命題1

初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列命題2命題3命題4命題52存在唯一性定理的說明3一階隱方程解存在唯一性定理定理2考慮一階隱方程則方程(3.5)存在唯一解滿足初始條件三近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里注:上式可用數(shù)學(xué)歸納法證明則例1

討論初值問題解的存在唯一區(qū)間,并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超解由于由(3.19)例2

求初值問題解的存在唯一區(qū)間.解例3

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