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常微分方程輔導(dǎo)課程一主講教師：王穩(wěn)地一、緒論常微分方程是一門把數(shù)學(xué)理論和實際問題相勾通的課程。大家知道，微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一。微積分在工程、經(jīng)濟和生物等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。用微積分解決實際問題的重要途徑就是使用微分方程基本概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式分類常微分方程:

只含一個自變量的微分方程偏微分方程:

含兩個或兩個以上自變量的微分方程方程的階數(shù):

方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)n階常微分方程的一般形式n階線性常微分方程都是已知函數(shù)線性線性非線性非線性非線性方程的解如果則稱是方程的一個解是解方程的通解如果

是（1）的解（1）有n個任意常數(shù)

是獨立的則稱是方程（1）的通解獨立例是通解是解含有兩個任意常數(shù)兩個任意常數(shù)獨立定解條件從前面的例子可以看到，一個微分方程有無窮多個解，但在實際問題中，我們需要尋找方程滿足某種條件的解，這種條件就叫做定解條件定解條件有兩種，一種是初始條件，另一種是邊界條件。這兩種定解條件都是源于物理等科學(xué)的需要。我們主要涉及初始條件。對于n階方程來說，初始條件的一般形式為:這里是已知的n+1個常數(shù),它們由實際問題來決定。我們把滿足初始條件的解稱為初值問題的解例初始條件：從通解中求初值問題的解通解：把y(0)=0代入：例：求一個平面曲線，使其向徑與切線正交，并且經(jīng)過點(0,1)解：設(shè)所求的曲線為y=y(x).在曲線上任取一點(x,y(x)).過這一點的切線斜率為而向徑的斜率為y/x,因此,

例：受到空氣阻力的自由落體運動設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時間t=0時下落，在空氣中受到的阻力與物體下落的速度成正比，求物體下落的距離與時間的關(guān)系解：建立坐標系，設(shè)x為下落的距離下落的速度為下落的加速度為物體受力：方程：初始條件：如果k=0,也就是忽略空氣阻力，則有積分兩次得：再由初始條件，得：微分方程的幾何解釋考慮：

設(shè)是一個解，在xy平面上的圖形叫一個積分曲線。根據(jù)初始條件，在xy平面做點,把這個點叫做初始點，一個解滿足初始條件，從幾何上看，就是有一條積分曲線過初始點，設(shè)是一個解,則在積分曲線上任取一點，過這一點的切線斜率為反之，如果一條曲線上任一點的切線斜率為函數(shù)f在這一點的值，則它是積分曲線方向場設(shè)f(x,y)的定義域為D,過D的每一點畫一小線段

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