初等數(shù)論§2不定方程

第二章不定方程§2.1二元一次不定方程2023/11/141一、問(wèn)題的提出〔百錢買百雞〕雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一。百錢買百雞，問(wèn)雞翁母雛各幾何？”分析：設(shè)x,y,z分別表示雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)，則可列出方程如下：消去z得到方程

這里，方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解有無(wú)窮多個(gè)。而我們所關(guān)心的是其有無(wú)整數(shù)〔或正整數(shù)〕解，這種方程〔組〕稱為不定方程。2023/11/142小明家現(xiàn)有邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形四種地板磚，要選擇其中兩種用以鋪地板,則下列選擇正確的是（）分析：這類問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是“不定方程求正整數(shù)解”的問(wèn)題，因?yàn)殇伜玫牡匕逯虚g不能出空隙，所以兩種圖形內(nèi)角拼在一起恰好要構(gòu)成360度角，并且磚的塊數(shù)又是正整數(shù)。于是就使幾何拼圖轉(zhuǎn)化成不定方程求正整數(shù)解的問(wèn)題。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④設(shè)需正三角形地磚m塊，正方形地磚n塊恰好鋪成，則有60m+90n=360.2023/11/143二元一次不定方程的一般形式為注：該方法對(duì)一次項(xiàng)系數(shù)較小的方程比較實(shí)用。2023/11/144二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1若〔1〕式有整數(shù)解則〔1〕式的一切解可以表示為（2）2023/11/145定理1的證明：證：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。2023/11/146例2寫出下列方程通解的形式：2023/11/147說(shuō)明：定理1給出了方程通解的一般形式。這樣，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于求一個(gè)特解。問(wèn)題：所有的二元一次方程都有解嗎？定理2有整數(shù)解即為方程〔1〕的解。2023/11/148三、求二元一次不定方程整數(shù)解的一般方法先求一個(gè)特殊解，再根據(jù)定理1寫出其通解。對(duì)于方程(1),若有解，則可化為一般地，利用輾轉(zhuǎn)相除法，得到2023/11/149例3求方程的一個(gè)特殊解。解：用7、4進(jìn)行輾轉(zhuǎn)相除法2023/11/1410例4求〔1〕的一切整數(shù)解。原方程可以化為先求〔3〕的一個(gè)整數(shù)解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，

從而

故〔3〕的一個(gè)整數(shù)解是〔2〕的一個(gè)整數(shù)解是原方程的整數(shù)解為2023/11/1411三、求二元一次不定方程整數(shù)解的一般方法代數(shù)運(yùn)算，觀察法例5求的一切整數(shù)解。即得到原方程的一個(gè)整數(shù)解從而所求的一切整數(shù)解為2023/11/1412三、求二元一次不定方程整數(shù)解的一般方法變量代換法例6求的一切整數(shù)解。解：原方程可化為則方程可化為則方程可化為則方程可化為逐步往回代入，可得2023/11/1413習(xí)題講解：則其一切整數(shù)解可以表示為設(shè)是原方程的一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，t的取值區(qū)間長(zhǎng)度為從而得證。2023/11/1414（1）方程的一般解可以表示為

在a個(gè)單位長(zhǎng)度內(nèi)，y一定有整數(shù)解。

所以，一定存在某個(gè)，使得對(duì)此t，代入原方程，得2023/11/1415代入原方程，有假設(shè)存在非負(fù)整數(shù)解，則代入〔*〕，顯然不成立。2023/11/14162023/11/1417§2.2多元一次不定方程一、多元一次不定方程有解的判定定理1方程〔1〕有解2023/11/1418定理1方程假設(shè)上述條件對(duì)n-1是成立的，下證對(duì)n也成立。令其一整數(shù)解為故該方程有解，記為進(jìn)而得到是原方程的一個(gè)整數(shù)解。2023/11/1419二、多元一次不定方程求解的方法例1求不定方程x

2y

3z=7的所有整數(shù)解。（1）的解為（2）的解為把(4)代入(3),消去t,得注：三元一次不定方程的整數(shù)解中含有2個(gè)參數(shù).2023/11/1420一般地，我們可以給出多元一次不定方程的求解方法.2023/11/1421二、多元一次不定方程求解的方法若d不能整除N，則原方程無(wú)整數(shù)解；否則，繼續(xù)下面的步驟。(2)構(gòu)造如下的n-1個(gè)方程(3)求出每個(gè)方程的所有整數(shù)解〔含參數(shù)ti〕，再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti，從而得到原方程的所有整數(shù)解。2023/11/1422例2求方程的一切整數(shù)解。原方程有整數(shù)解。列出如下的2個(gè)方程：(1)的解為(2)的解為把t的值代入x,y的表達(dá)式，得到原方程的一切整數(shù)解為2023/11/1423(1)的解為(2)的解為把t的值代入x,y的表達(dá)式，得到原方程的一切整數(shù)解為例3把分解為三個(gè)分母兩兩互質(zhì)既約正分?jǐn)?shù)之和。2023/11/1424例3把分解為三個(gè)分母兩兩互質(zhì)既約正分?jǐn)?shù)之和。2023/11/1425§2.3勾股數(shù)2023/11/1426

人類一直想弄清楚其他星球上是否存在著“人”，并試圖與“他們”取得聯(lián)系，那么我們?cè)鯓硬拍芘c“外星人”接觸呢？科學(xué)家們想盡了各種方法，比如通過(guò)衛(wèi)星發(fā)射向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類的語(yǔ)言、音樂(lè)等。而我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)建議，要探知其他星球上有沒(méi)有“人”，我們可以發(fā)射類似下面的圖形，如果他們是“文明人”，必定認(rèn)識(shí)這種“語(yǔ)言”.那這個(gè)圖形的到底有什么秘密呢？

我是地球人,Iamamanontheearth…﹌﹋﹠★◎▼♀♂2023/11/1427

畢達(dá)哥拉斯,(公元前572-前492年),古希臘著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、天文學(xué)家。畢達(dá)哥拉斯相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，從朋友家的地板中發(fā)現(xiàn)了這個(gè)秘密.2023/11/1428ABCSA+SB=SC

等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2023/11/1429畢達(dá)哥拉斯定理：

畢達(dá)哥拉斯

“勾股定理”在國(guó)外，尤其在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相傳這個(gè)定理是公元前500多年時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)的。他發(fā)現(xiàn)勾股定理后高興異常，命令他的學(xué)生宰了一百頭牛來(lái)慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

2023/11/1430趙爽弦圖趙爽:東漢末至三國(guó)時(shí)代吳國(guó)人.為《周髀算經(jīng)》作注，并著有《勾股圓方圖》。這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明?！摆w爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。正因?yàn)槿绱耍@個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。2023/11/1431cba=2023/11/1432這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案．

這個(gè)圖案是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”．2023/11/14331876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。2023/11/1434aabbcc伽菲爾德證法:∴a2+b2=c22023/11/1435一、問(wèn)題的提出我們把滿足二次不定方程的正整數(shù)解稱為勾股數(shù).早在我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》中，就載有“勾三股四弦五”，實(shí)際上說(shuō)明該方程存在整數(shù)解。方程〔1〕的非零整數(shù)解如何去求，其解具有怎樣的特征，是這里要回答的問(wèn)題?！吨荀滤憬?jīng)》是中國(guó)流傳至今最早的一部數(shù)學(xué)著作,同時(shí)也是一部天文學(xué)著作。現(xiàn)傳本大約成書于西漢時(shí)期(公元前一世紀(jì))。也有史家認(rèn)為它的出現(xiàn)更早，是孕于周而成于西漢，甚至更有人說(shuō)它出現(xiàn)在紀(jì)元前1000年。2023/11/1436二、二次不定方程解的形式為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們先求方程〔1〕滿足下述條件(2)的解注：〔2〕中的條件可以改寫為定理1：2023/11/1437定理1的證明：

不論z如何取值，z2也不可能表示為該形式。

討論同(2).2023/11/1438定理1雖然給出了勾股數(shù)的一些特征，如何進(jìn)一步寫出任意的勾股數(shù)呢？引理不定方程的一切正整數(shù)解，可以寫成下面的形式充分性顯然；必要性的證明如下：2023/11/1439定理2：(5)充分性：2023/11/1440必要性：定理2：(5)2023/11/1441推論單位圓周上坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)可以寫成的形式，其中a與b是不全為零的整數(shù)。證明：顯然都是單位圓周上的有理點(diǎn)。另一方面，單位圓周上的有理點(diǎn)代入定理2即得證.2023/11/1442Fermat大定理

約于1637年，在Diophantus

Arithmetica(Book2,ProblemVIII)的旁白上，PierredeFermat寫道：“不可能把一個(gè)立方數(shù)分成兩個(gè)立方數(shù)，或把一個(gè)四次冪分成兩個(gè)四次冪，或一般地把一個(gè)高于二次的冪分成兩個(gè)同一次的冪；對(duì)此，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)殊堪稱道的證明，但這里的空白太小，容不下?！?/p>

2023/11/1443相關(guān)高次方程解的判定定理3不定方程證明〔反證〕不可能！2023/11/1444定理3中使用的證明方法稱為無(wú)窮遞降法，常用于判定方程的可解性.2023/11/1445推論方程沒(méi)有滿足的整數(shù)解。證:反證2023/11/14462023/11/1447習(xí)題提示：連續(xù)兩次運(yùn)用的結(jié)論可以得出。仿照的證法。2023/11/1448補(bǔ)充例題：例1.設(shè)x，y，z是互質(zhì)的勾股數(shù)，x是素?cái)?shù)，證明：2z

1，2(x

y

1)都是平方數(shù).證：由x2=(z

y)(z

y)及x是素?cái)?shù)得

z

y=x2，z

y=1，

于是2z

1=x2，

2(x

y

1)=(x

1)2

都是平方數(shù)。2023/11/1449例2.求整數(shù)x，y，z，x>y>z，使x

y，x

z，y

z

都是平方數(shù)。

解：設(shè)x

y=a2，y

z=b2，x

z=c2，

則a2

b2=c2，而方程a2

b2=c2的解可以表示為

.由此得x=(u2

v2)2

t，y=(u2

v2)2

t或4u2v2

t，z=t，u,v,t

Z.2023/11/1450例3.求方程x2

xy

6=0的整數(shù)解。

解：由x(x

y)=6得

從而(x,y)的取值為：或(3,

1)，或(

3,1)，或(6,

5)，或(

6,5)。(1,5)，或(

1,

5)，或(2,1)，或(

2,

1)，2023/11/1451例4.求方程的正整數(shù)解。解：顯然x>z，y>z，

令x=z

s，y=z

t，s，t

N，

代入方程可得z2=st，

于是s=a2d，t