2022-2023學(xué)年河南省信陽市普通高中高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市2022-2023學(xué)年普通高中高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22題．全卷滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已如集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為或，則，所以.故選：A2.設(shè)是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗是周期為3的奇函數(shù)，則.故選：D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實數(shù)的值為（）A.4 B.1 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，，，；，；與共線；；解得．故選：A．4.函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由零點存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D5.當(dāng)時，的最小值為10，則（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時,即，故.故選:A.6.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，根據(jù)正弦定理，則，故，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為O，由，可知為等腰三角形，過作于，則為中點，由平面，平面，故，則共面，因為平面，平面，所以，又，故，于是四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為為矩形，則，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.7.一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.另一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，，…，，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（）A. B. C. D.與的大小與有關(guān)〖答案〗A〖解析〗對于數(shù)據(jù)，可得，所以；對于數(shù)據(jù)，，…，，可得，所以；對于數(shù)據(jù)，，…，，可得：平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，注意到，所以.故選：A.8.如圖，長方體中，、分別為棱、的中點.直線與平面的交點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在線段上取點使，連接、且，設(shè)，連接，由、分別為棱、的中點易得，即面，由可知面，所以面面，又面，所以直線與平面的交點即為與的交點，取的中點，由可得，所以，由可得，所以，由可得，由可得.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，取，，，，則，，所以，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，，所以，故B項正確；對于C項，因為，所以.因，所以，故C項正確；對于D項，因為，所以.因為，所以，所以，所以.又，所以，，所以，故D項正確.故選：BCD.10.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為〖答案〗CD〖解析〗對于A，因為是純虛數(shù)，所以設(shè)，則，所以A錯誤；對于B，取，，滿足，則不成立，所以B錯誤；對于C，設(shè)，因為，所以，因為，，所以，所以C正確；對于D，設(shè)，由，得，則可得，所以，時取等號，所以D正確.故選：BD11.已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A. B.函數(shù)的絕對值最小的零點為C.直線是函數(shù)的一條對稱軸 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗由圖可知，,所以，由圖可知圖象經(jīng)過點，所以，解得，即，又，當(dāng)時，，故A正確；所以的〖解析〗式為，令則，解得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的絕對值最小的零點為，故B正確；由，得直線是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確；因為，所以，令，則在上不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：ABC.12.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為〖答案〗AC〖解析〗過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若點是角終邊上的一點，且，則__________.〖答案〗1〖解析〗由點是角終邊上的一點，可得，由可得，即得，所以，故〖答案〗為：1.14.如圖，在矩形中，，沿將折起，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，與平面所成角的正切值為______.〖答案〗〖解析〗由題可知，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，平面平面，如圖所示，作，連接DE，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以與平面所成角，即為，在直角中，因為，可得，則，且，在直角中，可得，在中，可得，所以，由平面，且平面，所以，在直角中，可得.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的表達式為，若對于任意，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故〖答案〗為：.16.中，的角平分線交AC于D點，若且，則面積的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為，為的角平分線，所以，又，故由三角形面積公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角.解：（1）由，得，又，所以因為，所以，所以或（2）因為與垂直，所以，即，將，代入，得，所以，又，得，即與的夾角為.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．滿足．（1）求角B的大??；（2）設(shè)，．（?。┣骳的值；（ⅱ）求的值．解：（1）由，根據(jù)正弦定理得，,可得，因為，故，則，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（?。﹦t，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，則，則，，則.19.如圖是一個正四棱臺的石料，上、下底面的邊長分別為和，高．（1）求四棱臺的表面積；（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個圓臺，求圓臺的體積．解：（1）如下圖，正四棱臺側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取中點，連結(jié).則，所以，所以四棱臺的表面積.（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個圓臺，則圓臺的上、下底面圓與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高.則圓臺上底面圓半徑，下底面圓半徑，高，則圓臺的體積為．20.上饒某中學(xué)為了解該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對一?？荚嚁?shù)學(xué)成績進行分析，從中抽取了50名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（若該校全體學(xué)生的成績均在分），按照，，，，，，，的分組做出頻率分布直方圖如圖所示，若用分層抽樣從分?jǐn)?shù)在內(nèi)抽取8人，則抽得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為3人．（1）求頻率分布直方圖中的，的值；并估計本次考試成績的平均數(shù)（以每一組的中間值為估算值）；（2）該高三數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備選取數(shù)學(xué)成績在前的學(xué)生進行培優(yōu)指導(dǎo)，若小明此次數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是132，請你估算他能被選取嗎？解：（1）設(shè)由分層抽樣可得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在的人數(shù)之比為，所以，則，，又由頻率分布直方圖可知分?jǐn)?shù)在的頻率為0.04，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.06，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.1，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.2，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.3，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.14，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.1，分?jǐn)?shù)在的頻率為0.06．則平均數(shù)為分.（2）由題意可知分?jǐn)?shù)在的頻率為6%，所以前5%在該組，不妨設(shè)第5%名的分?jǐn)?shù)為，則可得等式為，∴，∵，故小明能被選取.21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，8，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.

（1）證明：取CD中點O，連接PO，AO，BO，因為，所以，又平面平面ABCD，平面PCD，平面平面，所以平面ABCD，而平面ABCD，所以；因為4且，所以四邊形ABOD為平行四邊形，又4，所以平行四邊形ABOD為菱形，因此，因為，平面POA，平面POA，所以平面POA，因為平面POA，所以；（2）解：設(shè)AO與BD交與M點，連接，由（1）知平面POA，而且平面POA，平面POA，所以，所以是二面角的平面角又所以所以所以在P中，.即二面角的余弦值為.22.已知向量.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間.（2）若方程上有解，求實數(shù)m的取值范圍.（3）設(shè)，已知區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中求b﹣a的最小值.解：（1），.令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知.，即.令，則.方程在上有解，即方程在上有解.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.實數(shù)的取值范圍為.（3）.令，得或，或.函數(shù)的零點間隔依次為和.若最小，則均為零點.函數(shù)在上至少含有100個零點，.河南省信陽市2022-2023學(xué)年普通高中高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22題．全卷滿分150分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已如集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為或，則，所以.故選：A2.設(shè)是周期為3的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗是周期為3的奇函數(shù)，則.故選：D.3.在平面直角坐標(biāo)系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實數(shù)的值為（）A.4 B.1 C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，，，；，；與共線；；解得．故選：A．4.函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由零點存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D5.當(dāng)時，的最小值為10，則（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時,即，故.故選:A.6.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，根據(jù)正弦定理，則，故，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為O，由，可知為等腰三角形，過作于，則為中點，由平面，平面，故，則共面，因為平面，平面，所以，又，故，于是四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為為矩形，則，故三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.7.一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.另一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，，…，，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（）A. B. C. D.與的大小與有關(guān)〖答案〗A〖解析〗對于數(shù)據(jù)，可得，所以；對于數(shù)據(jù)，，…，，可得，所以；對于數(shù)據(jù)，，…，，可得：平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，注意到，所以.故選：A.8.如圖，長方體中，、分別為棱、的中點.直線與平面的交點，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在線段上取點使，連接、且，設(shè)，連接，由、分別為棱、的中點易得，即面，由可知面，所以面面，又面，所以直線與平面的交點即為與的交點，取的中點，由可得，所以，由可得，所以，由可得，由可得.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，取，，，，則，，所以，故A項錯誤；對于B項，由已知可得，，，所以，故B項正確；對于C項，因為，所以.因，所以，故C項正確；對于D項，因為，所以.因為，所以，所以，所以.又，所以，，所以，故D項正確.故選：BCD.10.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為〖答案〗CD〖解析〗對于A，因為是純虛數(shù)，所以設(shè)，則，所以A錯誤；對于B，取，，滿足，則不成立，所以B錯誤；對于C，設(shè)，因為，所以，因為，，所以，所以C正確；對于D，設(shè)，由，得，則可得，所以，時取等號，所以D正確.故選：BD11.已知函數(shù)部分圖像如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A. B.函數(shù)的絕對值最小的零點為C.直線是函數(shù)的一條對稱軸 D.函數(shù)在上單調(diào)遞增〖答案〗ABC〖解析〗由圖可知，,所以，由圖可知圖象經(jīng)過點，所以，解得，即，又，當(dāng)時，，故A正確；所以的〖解析〗式為，令則，解得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的絕對值最小的零點為，故B正確；由，得直線是函數(shù)的一條對稱軸，故C正確；因為，所以，令，則在上不單調(diào)，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：ABC.12.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為〖答案〗AC〖解析〗過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若點是角終邊上的一點，且，則__________.〖答案〗1〖解析〗由點是角終邊上的一點，可得，由可得，即得，所以，故〖答案〗為：1.14.如圖，在矩形中，，沿將折起，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，與平面所成角的正切值為______.〖答案〗〖解析〗由題可知，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時，平面平面，如圖所示，作，連接DE，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以與平面所成角，即為，在直角中，因為，可得，則，且，在直角中，可得，在中，可得，所以，由平面，且平面，所以，在直角中，可得.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)的表達式為，若對于任意，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故〖答案〗為：.16.中，的角平分線交AC于D點，若且，則面積的最小值為________.〖答案〗〖解析〗因為，為的角平分線，所以，又，故由三角形面積公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角.解：（1）由，得，又，所以因為，所以，所以或（2）因為與垂直，所以，即，將，代入，得，所以，又，得，即與的夾角為.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．滿足．（1）求角B的大?。唬?）設(shè)，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求的值．解：（1）由，根據(jù)正弦定理得，,可得，因為，故，則，又，所以.（2）由（1）知，，且，，（?。﹦t，即，解得（舍），.故.（ⅱ）由，得，解得，則，則，，則.19.如圖是一個正四棱臺的石料，上、下底面的邊長分別為和，高．（1）求四棱臺的表面積；（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個圓臺，求圓臺的體積．解：（1）如下圖，正四棱臺側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取中點，連結(jié).則，所以，所以四棱臺的表面積.（2）若要這塊石料最大限度打磨為一個圓臺，則圓臺的上、下底面圓與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高.則圓臺上底面圓半徑，下底面圓半徑，高，則圓臺的體積為．20.上饒某中學(xué)為了解該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對一模考試數(shù)學(xué)成績進行分析，從中抽取了50名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計（若該校全體學(xué)生的成績均在分），按照，，，，，，，的分組做出頻率分布直方圖如圖所示，若用分層抽樣從分?jǐn)?shù)在內(nèi)抽取8人，則抽得分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為3人．（1）求頻率分布直方圖中的，