2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習教學(xué)案-第24課時點、直線與圓的位置關(guān)系

第24課時點、直線與圓的位置關(guān)系近五年中考考情2022年中考預(yù)測年份考查點題型題號分值預(yù)計將以考查直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)與判定為主，在解答題中與相似三角形的判定與性質(zhì)綜合考查的可能性較大，考查形式多樣．2021切線的性質(zhì)解答題2510分2020切線的判定解答題26（2）4分2019切線的性質(zhì)解答題25（2）2分2018切線的性質(zhì)解答題25（2）2分2017直線與圓的位置關(guān)系選擇題116分三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心解答題25,,直線與圓的位置關(guān)系1.（2017年，11，3分）以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝－x＋b與⊙O相交，則b的取值范圍是（D）A．0≤b＜2eq\r(2)B．－2eq\r(2)≤b≤2eq\r(2)C．－2eq\r(3)<b<2eq\r(3)D．－2eq\r(2)＜b＜2eq\r(2)切線的性質(zhì)2.（2021年，25，10分）如圖，PM，PN是⊙O的切線，切點分別是A，B，過點O的直線CE∥PN，交⊙O于點C，D，交PM于點E，AD的延長線交PN于點F，若BC∥PM.（1）求證：∠P＝45°；（2）若CD＝6，求PF的長．（1）證明：連接OB.∵PM，PN切⊙O于點A，B，∴OA⊥PM，OB⊥PN.∵CE∥PN，∴OB⊥CE.∵OB＝OC，∴∠C＝45°.∵BC∥PM，∴四邊形PBCE是平行四邊形．∴∠P＝∠C＝45°；（2）解：∵CD＝6，∴OB＝OA＝OD＝3.由（1）得∠AEO＝∠P＝45°.∴AE＝OA＝3.∴OE＝eq\r(33＋33)＝3eq\r(2)＝BC.∴PE＝BC＝3eq\r(2)，ED＝OE－OD＝3eq\r(2)－3.∵ED∥PF，∴△AED∽△APF.∴eq\f(AE,AP)＝eq\f(ED,PF)，即eq\f(3,3\r(2)＋3)＝eq\f(3\r(2)－3,PF).∴PF＝3.三角形的內(nèi)切圓3.（2017年，25，10分）已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，若＝，如圖1所示．（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)AE與DF相交于點M，如圖2，AF＝2FC＝4，求AM的長．解：（1）△ABC為等腰三角形．證明：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，AC分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.∵四邊形的內(nèi)角和等于360°，∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°.∵＝，∴∠EOF＝∠DOE.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC為等腰三角形；（2）由（1）知AB＝AC，又∵AF＝2FC＝4，∴AB＝AC＝6，AD＝AF＝4，BD＝BE＝CE＝CF＝2.∴AE⊥BC.在Rt△ACE中，AE＝eq\r(AC2－CE2)＝4eq\r(2).∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AC)＝eq\f(4,6)，∠DAF＝∠BAC，∴△DAF∽△BAC，∠ADF＝∠B.∴FD∥BC.∴eq\f(AM,AE)＝eq\f(AD,AB).∴AM＝eq\f(AD·AE,AB)＝eq\f(4×4\r(2),6)＝eq\f(8\r(2),3).點與圓的位置關(guān)系（滬科九下P13）位置關(guān)系點在圓內(nèi)點在圓上點在圓外d與r的數(shù)量關(guān)系d＜rd＝rd＞r直線與圓的位置關(guān)系（滬科九下P33～34）位置關(guān)系相離相切相交公共點個數(shù)012公共點的名稱切點交點d與r的數(shù)量關(guān)系d＞rd＝rd＜r切線的性質(zhì)與判定（滬科九下P34～36）1.切線的性質(zhì)：①切線與圓只有一個公共點；②切線到圓心的距離等于圓的半徑；③切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；④經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；⑤經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心．2.切線的判定方法：①利用切線的定義，即與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；②到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；③切線判定定理：經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線長定理（滬科九下P37～38）3.切線長：切線上一點到切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長．4.切線長定理：過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角．三角形的外心和內(nèi)心（滬科九下P43）5.三角形的外心：三角形外接圓的圓心，是三角形三邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點的距離相等．6.三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，是三角形三條角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等．【方法點撥】【方法點撥】（1）判斷直線與圓相切：①直線與圓的公共點已知時，連半徑，證垂直；②直線與圓的公共點未知時，過圓心作直線的垂線，證垂線段等于半徑．（2）利用切線的性質(zhì)解決問題，通常連過切點的半徑，構(gòu)造直角三角形來解決．（3）直角三角形的外接圓與內(nèi)切圓半徑的求法：若a，b是Rt△ABC的兩條直角邊，c為斜邊，則①直角三角形的外接圓半徑R＝eq\f(c,2)；②直角三角形的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(a＋b－c,2).1.若⊙O的半徑為5，點P到圓心的距離為d，當點P在圓上時，則有（C）A．d＜5B．d＞5C．d＝5D．d＝eq\r(5)【鏈接考點1】2.（2021·嘉興中考）已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（D）A．相離B．相交C．相切D．相交或相切【鏈接考點2】3.（2020·桂林中考）如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是（B）A．60°B．65°C．70°D．75°【鏈接考點3】eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4.（2021·荊門中考）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，若∠P＝70°，則∠ABO等于（B）A．30°B．35°C．45°D．55°【鏈接考點4】5.（2021·玉林中考）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接對角線AD，AE，AC，DF，DB，AC與BD交于點M，AE與DF交于點N，MN與AD交于點O，分別延長AB，DC交于點G，設(shè)AB＝3.有以下結(jié)論：①MN⊥AD；②MN＝2eq\r(3)；③△DAG的重心、內(nèi)心及外心均是點M；④四邊形FACD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°與四邊形ABDE重合．則所有正確結(jié)論的序號是①②③．【鏈接考點5】6.（2020·百色二模）如圖，AB是⊙O的直徑，＝，點E是OB的中點，連接CE并延長到點F，使EF＝CE，連接AF交⊙O于點D，連接BD，BF.（1）求證：直線BF是⊙O的切線；（2）若OB＝2，求BD的長．【鏈接考點3】（1）證明：連接OC.∵AB是⊙O的直徑，＝，∴∠BOC＝90°.∵點E是OB的中點，∴OE＝BE.∵∠OEC＝∠BEF，CE＝EF，∴△OCE≌△BFE（SAS）.∴∠OBF＝∠COE＝90°，即BF⊥OB.∵OB是⊙O的半徑，∴直線BF是⊙O的切線；（2）解：由（1）知△OCE≌△BFE.∴BF＝OC＝OB＝2.∴AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴S△ABF＝eq\f(1,2)AB·BF＝eq\f(1,2)AF·BD.∴BD＝eq\f(AB·BF,AF)＝eq\f(4×2,2\r(5))＝eq\f(4\r(5),5).切線的性質(zhì)（重點）【例1】（2021·山西中考）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點A，連接OB交⊙O于點C，過點A作AD∥OB交⊙O于點D，連接CD.若∠B＝50°，則∠OCD等于（B）A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】1.如圖，直線l是⊙O的切線，點A為切點，點B為直線l上一點，連接OB交⊙O于點C.若AB＝12，OA＝5，則BC的長為（D）A．5B．6C．7D．8eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))2.（2021·賀州中考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，點O在AB上，OB＝2，以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點D，交BC于點E，則CE的長為（B）A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(2),2)D．1直線與圓的位置關(guān)系（重點）【例2】已知⊙O的半徑r＝3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點的個數(shù)為m，給出下列命題：①若d＞5，則m＝0；②若d＝5，則m＝1；③若1＜d＜5，則m＝3；④若d＝1，則m＝2；⑤若d＜1，則m＝4.其中正確命題的個數(shù)是（C）A．1B．2C．3D．5【解析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓的交點個數(shù)，分析命題中的數(shù)據(jù)即可得到答案．①若d＞5，則直線與圓相離，m＝0，故命題①正確；②若d＝5，則直線與圓相離，m＝1，故命題②正確；③若1＜d＜5，則m＝2，故命題③錯誤；④若d＝1，則直線與圓相交，m＝3，故命題④錯誤；⑤若d＜1，則直線與圓相交，m＝4，故命題⑤正確．3.已知半徑為5的圓，其圓心到直線的距離是3，此時直線和圓的位置關(guān)系為（C）A．相離B．相切C．相交D．無法確定[HJ0.5mm]4.在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為圓心，1為半徑作圓，點P在直線y＝eq\r(3)x＋2eq\r(3)上運動，過點P作該圓的一條切線，切點為A，則PA的最小值為（D）A．3B．2C．eq\r(3)D．eq\r(2)5.已知直線y＝kx（k≠0）經(jīng)過點（12，－5），將直線向上平移m（m＞0）個單位，若平移后得到的直線與半徑為6的⊙O相交（點O為坐標原點），則m的取值范圍為0<m<eq\f(13,2)．與切線有關(guān)的圓的綜合（難點）【例3】如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC，BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E.（1）求證：△BEF∽△DCB；（2）若⊙O的半徑為3，∠C＝30°，求BE的長．【解析】（1）eq\x(∠EFB＝∠CBD＝90°)?eq\x(△BEF∽△DCB)（2）【解答】（1）證明：連接OB.∵AE與⊙O相切，∴∠ABO＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ODB＋∠ABD＝90°.∵CD為直徑，∴∠CBD＝90°.∴∠EBF＋∠ABD＝90°.∴∠EBF＝∠ODB，即∠EBF＝∠CDB.∵OE∥BD，∴∠EFB＝∠CBD＝90°.∴△BEF∽△DCB；（2）解：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠C＝30°，CD＝6，∴BD＝3，BC＝3eq\r(3).∵OE∥BD，∠CBD＝90°，∴OE⊥BC.∴BF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3\r(3),2).∵△BEF∽△DCB，∴eq\f(BE,DC)＝eq\f(BF,DB).∴BE＝6×eq\f(3\r(3),2)÷3＝3eq\r(3).6.（2021·柳州中考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝eq\r(5)，以A為圓心，AD為半徑作圓，延長CD交⊙A于點F，延長DA交⊙A于點E，連接BF，交DE于點G.（1）求證：BC為⊙A的切線；（2）求cos∠EDF的值；（3）求線段BG的長．（1）證明：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°.∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝90°.∵AB＝AD，∴BC為⊙A的切線；（2）解：如圖，過點D作DH⊥BC于點H.∴∠DHB＝90°.由（1）知，∠BAD＝∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BAD＝∠BHD＝90°.∴四邊形ABHD為矩形．∵AB＝AD＝1，∴矩形ABHD是正方形．∴BH＝DH＝AB＝1.∴CH＝eq\r(CD2－DH2)＝2.∴cosC＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).∵AD∥BC，∴∠EDF＝∠C.∴cos∠EDF＝cosC＝eq\f(2\r(5),5)；（3）如圖，過點A作AM⊥DF于點M，則DF＝2DM，∠AMD＝90°.在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF＝eq\f(DM,AD)，∴DM＝AD·cos∠EDF＝1×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),5).∴DF＝2DM＝eq\f(4\r(5),5).∴CF＝DF＋CD＝eq\f