材料力學(xué)課件

第一章緒論及基本概念1.研究對(duì)象結(jié)構(gòu)構(gòu)件桿件§1-1

材料力學(xué)的任務(wù)2.研究?jī)?nèi)容1)強(qiáng)度抵抗破壞的能力。破壞：明顯的塑性變形斷裂2)

剛度抵抗變形的能力。明顯的彈性變形3)

穩(wěn)定性保持穩(wěn)定的平衡狀態(tài)的能力。1）與理論力學(xué)的關(guān)系理論力學(xué)研究剛體的外部效應(yīng)（構(gòu)件受到的外力）材料力學(xué)研究變形固體的內(nèi)部效應(yīng)（構(gòu)件受到的內(nèi)力）及變形。FFFAFBFFABFN3、本門(mén)課程的特點(diǎn)與地位§1-2可變形固體的性質(zhì)及其基本假設(shè)1、連續(xù)性假設(shè)：物質(zhì)密實(shí)地充滿物體所在空間，毫無(wú)空隙。

（可用微積分?jǐn)?shù)學(xué)工具）2、均勻性假設(shè)：物體內(nèi)，各處的力學(xué)性質(zhì)完全相同。3、各向同性假設(shè)：組成物體的材料沿各方向的力學(xué)性質(zhì)完全

相同。（這樣的材料稱為各項(xiàng)同性材料；沿各方向的力學(xué)

性質(zhì)不同的材料稱為各項(xiàng)異性材料。）

4、小變形假設(shè)：材料力學(xué)所研究的構(gòu)件在載荷作用下的變形

與原始尺寸相比甚小，故對(duì)構(gòu)件進(jìn)行受力分析時(shí)可忽略其

變形。Fαα①②AFA’彈性變形：在卸出載荷后能完全消失的那一部分變形塑性變形：在卸出載荷后能不能消失而殘留的那一部分變形材料力學(xué)中是把實(shí)際材料看作均勻、連續(xù)、各項(xiàng)同性的可變性體，且在大多數(shù)場(chǎng)合下局限于彈性變形范圍內(nèi)和小變形條件下進(jìn)行研究?！?-3材料力學(xué)的研究對(duì)象（桿件）的幾何特征構(gòu)件分類材料力學(xué)以“梁、桿”為主要研究對(duì)象桿件：

橫截面：

軸線：

直桿：

等截面桿：

變截面桿：

曲桿：

組合受力（CombinedLoading）與變形§1-4桿件變形的基本形式第二章軸向拉伸和壓縮§2-1軸向拉伸和壓縮的概念1、工程實(shí)例此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為拉桿或壓桿。受力特點(diǎn)：直桿受到一對(duì)大小相等，作用線與其軸線重合的外力F作用。變形特點(diǎn)：桿件發(fā)生縱向伸長(zhǎng)或縮短。FFFF2、拉伸與壓縮的特點(diǎn)§2-2內(nèi)力·截面法·軸力及軸力圖內(nèi)力——由于物體受外力作用而引起的其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力的改變量。Ⅰ、內(nèi)力根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設(shè)可知，物體內(nèi)部相鄰部分之間的作用力是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，我們所說(shuō)的內(nèi)力是該內(nèi)力系的合成（力或力偶）

FFFFⅡ、截面法·軸力及軸力圖求內(nèi)力的一般方法——截面法（1）截：（3）代：（4）平：步驟：FFmm(d)FN(a)

FFmm(c)mmFNx（2）?。?b)mmFx可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均與桿件的軸線重合，因而稱之為軸力，用記號(hào)FN表示。FFmm(c)FN(a)

FFmm(b)mmFNx引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正——拉力（背離截面）；引起壓縮變形的軸力為負(fù)——壓力（指向截面）。軸力的符號(hào)規(guī)定:FFmm(c)FN(a)

FFmm(b)mmFNxFN

mm(c)FN(a)

FFmm(b)mmFxF若用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關(guān)系，稱為軸力圖。

FFFN圖FFFFN圖F

用截面法法求內(nèi)力的過(guò)程中，在截面取分離體前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系替代。注意：(a)

FFFF(b)FN=Fmmnn(a)FCBA

mmFA

(b)FN=FnnBFA

(c)nnmmFN=0

(e)mmA

FN=FnnB(f)A

FCB(d)FA

例2-1試作圖示桿的軸力圖。求支反力解：ABCDE20kN

40kN

55kN

25kN

6003005004001800FR

22

F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144注意假設(shè)軸力為拉力橫截面1-1：橫截面2-2：FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144FRFN1

11AFRF1

FN2A

B

22此時(shí)取截面3-3右邊為分離體方便，仍假設(shè)軸力為拉力。橫截面3-3：同理FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144F3

F4

FN3

33D

E

F4

FN4

33E

由軸力圖可看出20105FN圖(kN)FR

22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450例2-2FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF'=2ql解：1、求支反力x12FFFq11233xFqFFFFx1FFF+-+思考：此題中FNmax發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何處？FFFq=F/ll2ll作業(yè)：2-1上次課小結(jié)：基本概念：強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性、可變性固體、彈性變形、塑性變形、內(nèi)力、軸力基本方法：截面法—截、取、代、平作軸力圖FFF+-+思考：此題中FNmax發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何處？FFFq=F/ll2ll§2-3應(yīng)力·拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力Ⅰ、應(yīng)力的概念拉壓桿的強(qiáng)度軸力橫截面尺寸材料的強(qiáng)度即拉壓桿的強(qiáng)度是跟軸力在橫截面上的分布規(guī)律直接相關(guān)的。桿件截面上的分布內(nèi)力的集度，稱為應(yīng)力。M點(diǎn)平均應(yīng)力總應(yīng)力(a)MDADFM(b)p總應(yīng)力p法向分量,引起長(zhǎng)度改變正應(yīng)力:切向分量，引起角度改變切應(yīng)力:正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)切應(yīng)力：對(duì)截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)stM(b)p(a)MDFDA內(nèi)力與應(yīng)力間的關(guān)系stM(b)p(a)MDFDADFNDFS應(yīng)力量綱應(yīng)力單位stM(b)p(a)MDFDAⅡ、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力無(wú)法用來(lái)確定分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律已知靜力學(xué)條件mmFFmmFsFNmmFFN

s但荷載不僅在桿內(nèi)引起應(yīng)力，還要引起桿件的變形?？梢詮挠^察桿件的表面變形出發(fā)，來(lái)分析內(nèi)力的分布規(guī)律。FFacbda'c'b'd'mmFFmmFsFNmmFFN

s

等直桿相鄰兩條橫向線在桿受拉(壓)后仍為直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。

原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，對(duì)于拉（壓）桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。觀察現(xiàn)象：平面假設(shè)FFacbda'c'b'd'亦即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力都相等。推論：1、等直拉（壓）桿受力時(shí)沒(méi)有發(fā)生剪切變形，因而橫截面上沒(méi)有切應(yīng)力。2、拉(壓)桿受力后任意兩個(gè)橫截面之間縱向線段的伸長(zhǎng)(縮短)變形是均勻的。FFacbda'c'b'd'等截面拉(壓)桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式即mmFFmmFsFNmmFFN

s適用條件：⑴上述正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)拉（壓）桿的橫截面形狀沒(méi)有限制；但對(duì)于拉伸（壓縮）時(shí)平截面假設(shè)不成立的某些特定截面,原則上不宜用上式計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力。⑵實(shí)驗(yàn)研究及數(shù)值計(jì)算表明，在載荷作用區(qū)附近和截面發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，橫截面上的應(yīng)力情況復(fù)雜，上述公式不再正確。

力作用于桿端方式的不同，只會(huì)使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。圣維南原理}FFFF影響區(qū)影響區(qū)例2-3

試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應(yīng)力。已知F=50kN。

解：Ⅰ段柱橫截面上的正應(yīng)力

（壓）

150kN50kNF

C

BA

F

F

40003000370240Ⅱ段柱橫截面上的正應(yīng)力（壓應(yīng)力）

最大工作應(yīng)力為

150kN50kNF

C

BA

F

F

40003000370240例2-4

試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向橫截面上的拉應(yīng)力。已知：

可認(rèn)為徑向截面上的拉應(yīng)力沿壁厚均勻分布解：ddbp根據(jù)對(duì)稱性可得，徑截面上內(nèi)力處處相等dyFN

FN

ddppFR

jdjdyFN

FN

pFR

Ⅲ、拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力由靜力平衡得斜截面上的內(nèi)力：

F

FkkaFa

F

kkF

Fa

pakk變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿件發(fā)生拉（壓）變形后仍相互平行。推論：兩平行的斜截面之間所有縱向線段伸長(zhǎng)變形相同。即斜截面上各點(diǎn)處總應(yīng)力相等。F

F

s0為拉(壓)桿橫截面上()的正應(yīng)力。

F

Fa

pakkF

FkkaAaA總應(yīng)力又可分解為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：

apasata通過(guò)一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，成為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于拉（壓）桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上一點(diǎn)處正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。

apasata討論：（1）（2）（橫截面）（縱截面）（縱截面）（橫截面）apasata§2-4

強(qiáng)度條件?安全系數(shù)?許用應(yīng)力Ⅰ、材料的許用應(yīng)力塑性材料:脆性材料:對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)極限應(yīng)力suss

或sp0.2sb許用應(yīng)力n>1ns一般取1.25~2.5，塑性材料:脆性材料:或nb一般取2.5~3.0，甚至4~14。Ⅱ、關(guān)于安全因數(shù)的考慮（1）極限應(yīng)力的差異；（2）構(gòu)件橫截面尺寸的變異；（3）荷載的變異；（4）計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異；（5）考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。Ⅲ、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件保證拉（壓）桿不因強(qiáng)度不足發(fā)生破壞的條件等直桿強(qiáng)度計(jì)算的三種類型：（1）強(qiáng)度校核（2）截面選擇（3）計(jì)算許可荷載例2-5圖示三鉸屋架中，均布荷載的集度q=4.2kN/m，鋼拉桿直徑d=16mm，許用應(yīng)力[s]=170MPa

。試校核拉桿的強(qiáng)度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m

q解：1、求支反力考慮結(jié)構(gòu)的整體平衡并利用其對(duì)稱性FBy

FAx

FAy

ACB1.42m8.5m9.3m0.4m

q取分離體如圖并考慮其平衡2、求鋼拉桿的軸力。FAy

qCA1.42m4.65m4.25mFN

FCy

FCx

3、求鋼拉桿的應(yīng)力并校核強(qiáng)度。故鋼拉桿的強(qiáng)度是滿足要求的。FCy

FCx

FAy

qCA1.42m4.65m4.25mFN

例2-6已知：F=16kN，[s]=120MPa。試選擇圖示桁架的鋼拉桿DI的直徑d。解：巧取分離體如圖ACB4m6

3=18mFFFFFDEGHIJKLFmmFN

F'N

F"N

FA

F3m3mACIH由桿件的強(qiáng)度條件得由于圓鋼的最小直徑為10mm，故取d=10mm。FN

F'N

F"N

FA

F3m3mACIH例2-7圖示三角架中，桿AB由兩根10號(hào)工字鋼組成，桿AC由兩根80mm

80mm

7mm

的等邊角鋼組成。兩桿的材料均為Q235鋼，[s]=170MPa

。試求此結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]。F1m30oACB（1）節(jié)點(diǎn)A

的受力如圖，其平衡方程為：解：得F1m30oACBAFxyFN2

FN1

30o（2）查型鋼表得兩桿的面積（3）由強(qiáng)度條件得兩桿的許可軸力：桿AC桿AB桿AC桿AB(4)

按每根桿的許可軸力求相應(yīng)的許可荷載：F1m30oACB作業(yè)：2-3，2-19，2-21練習(xí)題：圖示鋼桿，桿橫截面面積A1=300mm2,A2=100mm2.試作軸力圖并求出最大工作應(yīng)力。

§2-5拉（壓）桿的變形·胡克定律

1、拉(壓)桿的縱向變形

絕對(duì)變形

線應(yīng)變--每單位長(zhǎng)度的變形，無(wú)量綱相對(duì)變形

長(zhǎng)度量綱FFdll1d1當(dāng)桿件因荷載或截面尺寸變化的原因而發(fā)生不均勻變形時(shí)，不能用總長(zhǎng)度內(nèi)的平均線應(yīng)變代替各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變。xyzCAOBDxAB'xDx+Ddxx截面處沿x方向的縱向平均線應(yīng)變?yōu)?/p>

x截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)榫€應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)。

2、橫向變形橫向絕對(duì)變形橫向線應(yīng)變FFdll1d13、荷載與變形量的關(guān)系——胡克定律當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的某一極限值（“比例極限”）時(shí)引進(jìn)比例常數(shù)E

FFdll1d1E

—彈性模量，量綱與應(yīng)力相同，為，拉（壓）桿的胡克定律EA

—

桿的拉伸（壓縮）剛度。單位為Pa；FFdll1d1稱為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

即FFdll1d14、橫向變形的計(jì)算

單軸應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e

與橫向線應(yīng)變e

的絕對(duì)值之比為一常數(shù)：或

n-----橫向變形因數(shù)或泊松比FFdll1d1低碳鋼（Q235）：例2-8一階梯狀鋼桿受力如圖，已知AB段的橫截面面積A1=400mm2，BC段的橫截面面積A2=250mm2,材料的彈性模量E=210GPa。試求：AB、BC段的伸長(zhǎng)量和桿的總伸長(zhǎng)量。F=40kN

CBA

B'C'解：由靜力平衡知，AB、BC兩段的軸力均為l1=300l2=200故F=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200AC桿的總伸長(zhǎng)F=40kNCBA

B'C'例2-9圖示桿系，荷載F=100kN,求結(jié)點(diǎn)A的位移

A。已知兩桿均為長(zhǎng)度l=2m，直徑d=25mm的圓桿，

=30o，桿材(鋼)的彈性模量E=210GPa。解：1、求兩桿的軸力。得xyFN2FN1

FABCaa12aaAF2、由胡克定律得兩桿的伸長(zhǎng)：

根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對(duì)稱性可知，結(jié)點(diǎn)A只有豎向位移。FABCaa123、計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移此位置既應(yīng)該符合兩桿間的約束條件，又滿足兩桿的變形量要求。關(guān)鍵步驟——如何確定桿系變形后結(jié)點(diǎn)A的位置？ABCaa12A'21A2A1aaA'A''即

由變形圖即確定結(jié)點(diǎn)A的位移。由幾何關(guān)系得21A2A1aaA'A''代入數(shù)值得桿件幾何尺寸的改變，標(biāo)量此例可以進(jìn)一步加深對(duì)變形和位移兩個(gè)概念的理解。變形位移結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，矢量與各桿件間的約束有關(guān)，實(shí)際是變形的幾何相容條件。二者間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)BCaa12A'§2-6拉(壓)桿內(nèi)的應(yīng)變能

應(yīng)變能——彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。單位：應(yīng)變能的計(jì)算：能量守恒原理焦耳J彈性體的功能原理Fl1lDl拉(壓）桿在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能外力功：桿內(nèi)應(yīng)變能：Fl1lDlFDlFDl或Fl1lDlFDlFDl應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度單位：——桿件單位體積內(nèi)的應(yīng)變能

兩端受軸向荷載的等直桿，由于其各橫截面上所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻分布的。FFll1FN(x)

FN(x)+dFN(x)

lBAqxBqqldxFN(x)解：例2-10求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點(diǎn)A的位移

A

。已知F=10kN,桿長(zhǎng)l=2m，桿徑d=25mm,

=30°，材料的彈性模量E=210GPa。FABCaa12而FABCaa12練習(xí)題：求圖示變截面桿D點(diǎn)的位移。已知，E=200GPa,A1=500mm2,A2=300mm2。

作業(yè)：2-7，2-12，2-15§2-7

材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能

力學(xué)性能——材料受力時(shí)在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來(lái)的性能。力學(xué)性能取決于內(nèi)部結(jié)構(gòu)外部環(huán)境由試驗(yàn)方式獲得

本節(jié)討論的是常溫、靜載、軸向拉伸（或壓縮）變形條件下的力學(xué)性能。試驗(yàn)條件：常溫(20℃)；靜載（及其緩慢地加載）

試件：

dhⅠ、材料的拉伸和壓縮試驗(yàn)

試驗(yàn)儀器：萬(wàn)能材料試驗(yàn)機(jī)Ⅱ、低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學(xué)性能

1、拉伸圖

四個(gè)階段：荷載伸長(zhǎng)量

(1)——彈性階段(2)——屈服階段(3)——強(qiáng)化階段(4)——局部變形階段為了消除掉試件尺寸的影響，將試件拉伸圖轉(zhuǎn)變?yōu)椴牧系膽?yīng)力——應(yīng)變曲線圖。圖中：A

—

原始橫截面面積

—

名義應(yīng)力l—原始標(biāo)距

—名義應(yīng)變2、拉伸過(guò)程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征點(diǎn)：

(1)、彈性階段OB此階段試件變形完全是彈性的，且

與

成線性關(guān)系E—

線段OA的斜率比例極限

p

—

對(duì)應(yīng)點(diǎn)A彈性極限

e

—

對(duì)應(yīng)點(diǎn)B(2)、屈服階段此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本不變—屈服現(xiàn)象。產(chǎn)生的變形主要是塑性的。拋光的試件表面上可見(jiàn)大約與軸線成45

的滑移線。屈服極限—

對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（屈服低限）(3)、強(qiáng)化階段

此階段材料抵抗變形的能力有所增強(qiáng)。強(qiáng)度極限

b

—對(duì)應(yīng)點(diǎn)G

(拉伸強(qiáng)度)，最大名義應(yīng)力此階段如要增加應(yīng)變，必須增大應(yīng)力材料的強(qiáng)化強(qiáng)化階段的卸載及再加載規(guī)律

若在強(qiáng)化階段卸載，則卸載過(guò)程s-e

關(guān)系為直線。

立即再加載時(shí)，s-e關(guān)系起初基本上沿卸載直線(cb)上升直至當(dāng)初卸載的荷載，然后沿卸載前的曲線斷裂—冷作硬化現(xiàn)象。ee_—

彈性應(yīng)變ep

—

殘余應(yīng)變（塑性）冷作硬化對(duì)材料力學(xué)性能的影響

p

b不變ep(4)、局部變形階段試件上出現(xiàn)急劇局部橫截面收縮——頸縮，直至試件斷裂。伸長(zhǎng)率斷面收縮率：A1—

斷口處最小橫截面面積。（平均塑性伸長(zhǎng)率）Q235鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：Q235鋼的塑性指標(biāo)：

Q235鋼的彈性指標(biāo)：

通常的材料稱為塑性材料；

的材料稱為脆性材料。3、低碳鋼拉伸破壞斷面Ⅲ、其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能

錳鋼沒(méi)有屈服和局部變形階段強(qiáng)鋁、退火球墨鑄鐵沒(méi)有明顯屈服階段共同點(diǎn)：d5%，屬塑性材料無(wú)屈服階段的塑性材料，以sp0.2作為其名義屈服極限，稱為規(guī)定非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力或屈服強(qiáng)度。

sp0.2對(duì)應(yīng)于ep=0.2%時(shí)的應(yīng)力值灰口鑄鐵軸向拉伸試驗(yàn)灰口鑄鐵在拉伸時(shí)的s—e

曲線特點(diǎn)：1、s—e

曲線從很低應(yīng)力水平開(kāi)始就是曲線；采用割線彈性模量2、沒(méi)有屈服、強(qiáng)化、局部變形階段，只有唯一拉伸強(qiáng)度指標(biāo)sb3、伸長(zhǎng)率非常小，拉伸強(qiáng)度sb基本上就是試件拉斷時(shí)橫截面上的真實(shí)應(yīng)力。

典型的脆性材料鑄鐵試件在軸向拉伸時(shí)的破壞斷面：1、壓縮試樣

圓截面短柱體正方形截面短柱體Ⅳ、金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

壓縮拉伸2、低碳鋼壓縮時(shí)s—e

的曲線

特點(diǎn)：1、低碳鋼拉、壓時(shí)的ss以及彈性模量E基本相同。

2、材料延展性很好，不會(huì)被壓壞。特點(diǎn)：

1、壓縮時(shí)的sb和d均比拉伸時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；2、即使在較低應(yīng)力下其s—e

也只近似符合胡克定律;3、試件最終沿著與橫截面大致成50

55

的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。3、灰口鑄鐵壓縮時(shí)的s—e

曲線端面潤(rùn)滑時(shí)端面未潤(rùn)滑時(shí)Ⅴ、幾種非金屬材料的力學(xué)性能

1、混凝土：拉伸強(qiáng)度很小，結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)一般不加以考慮;使用標(biāo)準(zhǔn)立方體試塊測(cè)定其壓縮時(shí)的力學(xué)性能。

特點(diǎn):(1)、直線段很短，在變形不大時(shí)突然斷裂；(2)、壓縮強(qiáng)度sb及破壞形式與端面潤(rùn)滑情況有關(guān)；(3)、以s—e

曲線上s=0.4sb的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線確定“割線彈性模量”。2、木材木材屬各向異性材料其力學(xué)性能具有方向性亦可認(rèn)為是正交各向異性材料其力學(xué)性能具有三個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸特點(diǎn)：1、順紋拉伸強(qiáng)度很高，但受木節(jié)等缺陷的影響波動(dòng)；2、順紋壓縮強(qiáng)度稍低于順紋拉伸強(qiáng)度，但受木節(jié)等缺陷的影響小。3、橫紋壓縮時(shí)可以比例極限作為其強(qiáng)度指標(biāo)。4、橫紋拉伸強(qiáng)度很低，工程中應(yīng)避免木材橫紋受拉。松木順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的s—e曲線許用應(yīng)力[s]

和彈性模量E

均應(yīng)隨應(yīng)力方向與木紋方向傾角不同而取不同數(shù)值。3、玻璃鋼玻璃纖維的不同排列方式玻璃纖維與熱固性樹(shù)脂粘合而成的復(fù)合材料力學(xué)性能玻璃纖維和樹(shù)脂的性能玻璃纖維和樹(shù)脂的相對(duì)量材料結(jié)合的方式纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的s—e曲線特點(diǎn)：1、直至斷裂前s—e

基本是線彈性的；2、由于纖維的方向性，玻璃鋼的力學(xué)性能是各向異性的?！?-8應(yīng)力集中的概念應(yīng)力集中由于桿件橫截面突然變化而引起的應(yīng)力局部驟然增大的現(xiàn)象。截面尺寸變化越劇烈，應(yīng)力集中就越嚴(yán)重。理論應(yīng)力集中因數(shù)：具有小孔的均勻受拉平板下標(biāo)ts

表示是對(duì)應(yīng)于正應(yīng)力的理論應(yīng)力集中因數(shù)snom

——截面突變的橫截面上smax作用點(diǎn)處的名義應(yīng)力；軸向拉壓時(shí)為橫截面上的平均應(yīng)力。應(yīng)力集中對(duì)強(qiáng)度的影響：理想彈塑性材料制成的桿件受靜荷載時(shí)荷載增大進(jìn)入彈塑性極限荷載彈性階段均勻的脆性材料或塑性差的材料非均勻的脆性材料，如鑄鐵塑性材料、靜荷載不考慮應(yīng)力集中的影響要考慮應(yīng)力集中的影響動(dòng)荷載材料力學(xué)第三章扭轉(zhuǎn)§3-1概述工程實(shí)例圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：Me

Me

實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形?！?-2傳動(dòng)軸的外力偶矩

·扭矩及扭矩圖Ⅰ、傳動(dòng)軸的外力偶矩傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n；某一輪上所傳遞的功率P(kW)作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：求：一分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：Me1

Me2

Me3

n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪傳動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n

、功率P及其上的外力偶矩Me之間的關(guān)系：主動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相同，從動(dòng)輪上的外力偶矩轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)向相反。Me1

Me2

Me3

n從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪Ⅱ、扭矩及扭矩圖

圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號(hào)T表示。

扭矩大小可利用截面法來(lái)確定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x扭矩的符號(hào)規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開(kāi)截面為正，指向截面為負(fù)。

仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。TTTTT(+)T(-)11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11xMeT圖+例3-1一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動(dòng)輪輸入的功率P1=500kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1

M2

M3

M4

ABCD分別計(jì)算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x扭矩圖Tmax=9.56kN·m

在BC段內(nèi)M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T圖(kN·m)§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)——通常指的圓筒，可假定其應(yīng)力沿壁厚方向均勻分布內(nèi)力偶矩——扭矩T薄壁圓筒nnMeMe

dlTMe

nndr0圓筒兩端截面之間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角

相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量

切應(yīng)變

即gjABDCMe

Me

薄壁圓筒受扭時(shí)變形情況：gABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'Me

Me

圓周線只是繞圓筒軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，其形狀、大小、間距不變；表面變形特點(diǎn)及分析：——橫截面在變形前后都保持為形狀、大小未改變的平面，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生所有縱向線發(fā)生傾斜且傾斜程度相同?！獧M截面上有與圓軸相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向均勻分布gjABDCMe

Me

1、橫截面上無(wú)正應(yīng)力；2、只有與圓周相切的切應(yīng)力，且沿圓筒周向均勻分布；

薄壁圓筒橫截面上應(yīng)力的分布規(guī)律分析：gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'

nnMe

r0xt3、對(duì)于薄壁圓筒，可認(rèn)為切應(yīng)力沿壁厚也均勻分布。薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式：靜力學(xué)條件因薄壁圓環(huán)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等得tdAnnMe

r0xdr0剪切胡克定律由前述推導(dǎo)可知薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)曲線Me

Me

gjABDC鋼材的切變模量值約為：這就是剪切胡克定律其中：G——材料的切變模量tp——剪切屈服極限§3-4等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件Ⅰ、橫截面上的應(yīng)力（一）幾何方面相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但圓周的大小、形狀、間距都未變；縱向線傾斜了同一個(gè)角度g，表面上所有矩形均變成平行四邊形。g(a)Me

Me

(b)

桿的橫截面上只有垂直于半徑的切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力產(chǎn)生。平面假設(shè)

等直圓桿受扭轉(zhuǎn)時(shí)其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。推論：(a)gMe

Me

(b)gMe

Me

djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變隨點(diǎn)的位置的變化規(guī)律即相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd剪切胡克定律（二）物理方面（三）靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩trdA

trdA

rrrO令得TOd等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力計(jì)算公式rtmaxtrtmaxT發(fā)生在橫截面周邊上各點(diǎn)處。稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)最大切應(yīng)力tmaxtmax令即OdrtrT同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr（四）圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實(shí)心圓截面：Odrrd空心圓截面：DdrrOd注意：對(duì)于空心圓截面DdrrOd此處為以橫截面、徑截面以及與表面平行的面從受扭的等直圓桿表面處截取一微小的正六面體（五）單元體·切應(yīng)力互等定理單元體——Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'自動(dòng)滿足存在t'得

單元體的兩個(gè)相互垂直的截面上，與該兩個(gè)面的交線垂直的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向(或背離)兩截面的交線。切應(yīng)力互等定理

單元體在其兩對(duì)互相垂直的平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'例3-2實(shí)心圓截面軸Ⅰ和空心圓截面軸Ⅱ(a=d2/D2=0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩Me和長(zhǎng)度l

均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2/d1之比以及兩軸的重量比。(a)

Me

Me

d1lⅠMe

(b)

Me

lⅡD2d2解：已知得兩軸的重量比可見(jiàn)空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕。討論：為什么說(shuō)空心圓軸比實(shí)心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件？Ⅱ、斜截面上的應(yīng)力假定斜截面ef

的面積為dAaefdabctt't'txant'ttaahxsafebax討論：1、2、此時(shí)切應(yīng)力均為零。ft'attaebahxsax解得t'tt'tx45°45°smaxsmaxsminsminⅢ、強(qiáng)度條件等直圓軸材料的許用切應(yīng)力例3-3圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm

。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa

，試校核該軸的強(qiáng)度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACBBC段AB段2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度即該軸滿足強(qiáng)度條件。2214T圖（kN·m）例3-4實(shí)心圓軸與空心圓軸通過(guò)牙嵌離合器連接。已知軸的轉(zhuǎn)速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，許用切應(yīng)力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。試確定實(shí)心軸的直徑d，空心軸的內(nèi)、外徑d1和d2。

1、扭矩：2、由實(shí)心軸的切應(yīng)力強(qiáng)度條件：

解：3、由空心軸的切應(yīng)力強(qiáng)度條件：

作業(yè)：3-1,3-3,3-9§3-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形——兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率相距dx的微段兩端截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時(shí)稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)例3-4圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC2、各段兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC3、橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC例3-5圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性桿，在其中心處焊一直徑為d2的實(shí)心圓桿CB?？招臈U的內(nèi)、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長(zhǎng)度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應(yīng)力分布圖；2、實(shí)心桿C端的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe2、求橫截面上的切應(yīng)力空心圓軸實(shí)心圓軸空心圓軸實(shí)心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T23、計(jì)算絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCBⅡ、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：對(duì)于精密機(jī)器的軸對(duì)于一般的傳動(dòng)軸常用單位：

/m例3-6由45號(hào)鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t

]=40MPa

，切變模量G=80GPa

。軸的橫截面上最大扭矩為T(mén)max=9.56kN?m

，軸的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角[j']=0.3

/m

。試選擇軸的直徑。解：1、按強(qiáng)度條件確定外直徑D2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內(nèi)外直徑§3-6等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓桿僅在兩端受外力偶矩Me

作用且時(shí)或gMe

Me

jjMe

Me

j當(dāng)?shù)戎眻A桿各段橫截面上的扭矩不同時(shí)或jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(

)xyzabOcdxddydztt'tt'Otgtpg扭矩T為常量時(shí)，長(zhǎng)為l的等直圓桿的應(yīng)變能為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能與應(yīng)變能密度的關(guān)系gMe

Me

j例3-7試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉(zhuǎn)角。圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量G均為已知。解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板已求得兩軸的扭矩其轉(zhuǎn)向與Me

相同。ABCMe桿系扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為而例3-8圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d

。試推導(dǎo)彈簧的應(yīng)力和變形計(jì)算公式。解：1、求簧桿橫截面上的內(nèi)力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應(yīng)力a)略去與剪力相應(yīng)的切應(yīng)力b)D>>d

時(shí)略去簧圈的曲率影響3、求彈簧的變形近似認(rèn)為簧桿長(zhǎng)度l=2pRn彈簧在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)稱為彈簧的剛度系數(shù)（N/m)§3-7等直非圓桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形Ⅰ、等直非圓形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特點(diǎn)橫向線變成曲線橫截面發(fā)生翹曲不再保持為平面平面假設(shè)不再成立，可能產(chǎn)生附加正應(yīng)力非圓桿兩種類型的扭轉(zhuǎn)——自由扭轉(zhuǎn)(純扭轉(zhuǎn))此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無(wú)附加正應(yīng)力產(chǎn)生此時(shí)相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，橫截面上有附加正應(yīng)力產(chǎn)生1、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時(shí)2、非等直桿扭轉(zhuǎn)、扭矩沿桿長(zhǎng)變化、或端面有約束不能自由翹曲時(shí)——約束扭轉(zhuǎn)Ⅱ、矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一般矩形截面等直桿t≤tp時(shí)1、tmax發(fā)生在橫截面的長(zhǎng)邊中點(diǎn)處；2、橫截面周邊各點(diǎn)的切應(yīng)力必定與周邊相切，沿周邊形成與扭矩同向的順流；3、四個(gè)角點(diǎn)處t=0

。思考：存在第二、第三條規(guī)律的原因是什么？矩形截面等直桿自由扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力和變形的計(jì)算公式最大切應(yīng)力（長(zhǎng)邊中點(diǎn)處）短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角：相當(dāng)極慣性矩扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)其中a、b、n

——與相關(guān)的因數(shù)狹長(zhǎng)矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)特點(diǎn)：1、沿長(zhǎng)邊各點(diǎn)的切應(yīng)力值除靠角點(diǎn)附近外，均接近相等；2、離短邊稍遠(yuǎn)處，可認(rèn)為切應(yīng)力沿厚度d按直線規(guī)律變化。例3-9矩形截面的等直鋼桿，h=100mm,b=50mm,l=2m,m=4000N.m。=100Mpa，=1o/m,G=80Gpa。試校核此桿的強(qiáng)度和剛度。

解：由截面法求得T=m=4000N.m。為計(jì)算Wt和It，先算得m=h/b=100/50=2，查表得β=0.493和α=0.457。于是分別求得

例3-10有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設(shè)將其中一根沿縱向開(kāi)一細(xì)縫，在兩桿的兩端各施加相同的扭轉(zhuǎn)力偶矩Me

。已知鋼管的平均半徑r0=10d

，且兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作。試比較兩桿的最大切應(yīng)力及單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。

r0dr0d解：1、有縱向細(xì)縫的桿(開(kāi)口薄壁截面桿)橫截面上切應(yīng)力沿厚度的變化情況可將其展開(kāi)為狹長(zhǎng)矩形截面來(lái)處理。r0dT2、無(wú)縱向切縫的薄壁圓筒橫截面上切應(yīng)力變化情況r0dT3、分析比較可見(jiàn)：薄壁圓筒有縱向細(xì)縫時(shí)，其扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及剛度均大幅下降。r0dTr0dT作業(yè)：3-12，3-16，3-23附錄

截面的幾何性質(zhì)§-1

截面的靜矩和形心位置設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.靜矩（或一次矩）(常用單位：m3

或mm3

。值：可為正、負(fù)或0。）2.形心坐標(biāo)公式（可由均質(zhì)等厚薄板的重心坐標(biāo)而得）OxdAyyxC3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系結(jié)論：截面對(duì)形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。4.組合截面的靜矩

由靜矩的定義知：整個(gè)截面對(duì)某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和:5.組合截面的形心坐標(biāo)公式將代入解得組合截面的形心坐標(biāo)公式為：（注：被“減去”部分圖形的面積應(yīng)代入負(fù)值）例I-1試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，所以對(duì)x軸的靜矩為Oxyb(y)ydyhb例I-2試計(jì)算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個(gè)矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：§I－2

極慣性矩·

慣性矩·

慣性積

設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）OxyyxrdA3.慣性積（其值可為正、負(fù)或0，單位:m4或mm4)截面對(duì)于包含對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OxyyxrdA例I-3

試計(jì)算圖a所示矩形截面對(duì)于其對(duì)稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長(zhǎng)條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)

若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對(duì)形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C例I-4試計(jì)算圖示圓截面對(duì)于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

xdy

yx解：由于圓截面有極對(duì)稱性，所以所以§-3慣性矩和慣性積的平行移軸公式

組合截面的慣性矩和慣性積1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy,形心C在在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)

任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：（此為平行移軸公式）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時(shí)可能取負(fù)值。等號(hào)右邊各首項(xiàng)為相對(duì)于形心軸的量。2.組合截面的慣性矩和慣性積

根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對(duì)于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例I-5求圖示直徑為d的半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩。解：（1）求形心坐標(biāo)xyb(y)ycCdxc（2）求對(duì)形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：xyb(y)ycCdxc例I-6試求圖a

所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成。（1）矩形對(duì)x的慣性矩：（2）一個(gè)半圓對(duì)其自身形心軸xc的慣性矩（見(jiàn)上例）xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p（3）一個(gè)半圓對(duì)x的慣性矩：由平行移軸公式得：（4）整個(gè)截面對(duì)于對(duì)稱軸x的慣性矩：例I-7試計(jì)算組合截面的Ixc.

解：（1）求截面形心位置：

（2）求個(gè)簡(jiǎn)單截面對(duì)形心軸的慣性矩：

（3）求整個(gè)截面的慣性矩：

思考：O為直角三角形ABD斜邊上的中點(diǎn)，x、y軸為過(guò)點(diǎn)Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Ixy＞０（B）Ixy<０

(C)Ixy=０（D）Ix=Iy

正確答案是(C)xABDyOab思考：等腰直角三角形如圖所示，x、y軸是過(guò)斜邊中點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸（即圖中

為任意值），該圖形的:(1)慣性積Ixy＝＿＿(2)慣性矩Ix＝＿＿、Iy＿＿＿。yxaa

答案：0；a4/24;a4/24

§-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

截面的主慣性軸和主慣性矩1.慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式

任意面元dA

在舊坐標(biāo)系oxy和新坐標(biāo)系ox1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：xyOxyaxya11ABCDEdAxy11

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：注：上式中的

的符號(hào)為：從舊軸x至新軸x1逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。（上式表明，截面對(duì)于通過(guò)同一點(diǎn)的任意一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對(duì)該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩）將前兩式相加得

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，慣性積將隨著

角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度

0，使截面對(duì)于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。2.截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對(duì)其慣性積等于0的一對(duì)坐標(biāo)軸。(2)

主慣性矩:截面對(duì)于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當(dāng)一對(duì)主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時(shí)。(4)形心主慣性矩:截面對(duì)于形心主慣性軸的慣性矩。(5)確定主慣性軸的位置

設(shè)

0是舊軸x逆時(shí)針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫(xiě)為（注：將負(fù)號(hào)置于分子上有利于確定2

0角的象限）(5)由上面tan2

0的表達(dá)式求出cos2

0、sin2

0后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，化簡(jiǎn)后可得主慣性矩的計(jì)算公式：極大值Imax極小值Imin(6)幾個(gè)結(jié)論若截面有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過(guò)形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。若截面有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對(duì)稱軸，則通過(guò)形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。xyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

例I-8試計(jì)算截面的形心主慣性矩。解：作與上、左邊平行的形心坐標(biāo)軸xcyc

。（1）求形心坐標(biāo)：（2）求對(duì)自身形心軸的慣性矩。（3）由平行移軸公式求整個(gè)截面的xc0yc0°a=113.8（4）由轉(zhuǎn)軸公式得xyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

作業(yè)：I-1(b),I-3(b),I-7(b),I-13(a)第四章彎曲應(yīng)力§4-1對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖a0901[1].swfⅠ、彎曲的概念受力特點(diǎn)：桿件受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或外力偶（其矢量垂直于桿軸）作用。MeMeABF——以彎曲為主要變形的桿件通稱為梁。梁變形特點(diǎn)：1、直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€；2、任意兩橫截面繞垂直于桿軸的軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。MeMeABF最基本常見(jiàn)的彎曲問(wèn)題——對(duì)稱彎曲對(duì)稱彎曲時(shí)梁變形后軸線所在平面與外力所在平面相重合，因而一定是平面彎曲。梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)FAAF1F2

B對(duì)稱軸縱對(duì)稱面FB

特定條件下，發(fā)生非對(duì)稱彎曲的梁變形后其軸線所在平面也會(huì)跟外力所在平面相重合，因而也屬于平面彎曲。1、梁不具有縱對(duì)稱面；2、梁有縱對(duì)稱面，但外力沒(méi)有作用在縱對(duì)稱面內(nèi)，從而變形后軸線所在平面與梁的縱對(duì)稱面不一致。非對(duì)稱彎曲——yzFzyFqxqⅡ、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖1、支座的基本形式(1)固定端MA

FAABq0

MR

FRyFRx約束反力計(jì)算簡(jiǎn)圖(2)固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座FRyFRxFR

可動(dòng)鉸支座固定鉸支座約束反力計(jì)算簡(jiǎn)圖(1)懸臂梁2、梁的基本形式(2)簡(jiǎn)支梁(3)外伸梁FRy1FRxFRxFRyMR

FRy2FRy1FRxFRy2靜定梁梁的支反力均可由平面力系的三個(gè)獨(dú)立的平衡方程求出。3、靜定梁和超靜定梁梁的支反力單獨(dú)利用平衡方程不能確定。靜定梁超靜定梁FAyFAxMA

FBFAyFAxFCFBABBCA例4-1試求圖示有中間鉸C的梁AB的支反力。關(guān)鍵在于中間鉸不能傳遞力矩的特性，因而不論AC段或CB段均有解：整體分析梁的受力如圖。未知支反力：4個(gè)整體獨(dú)立平衡方程：3個(gè)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFBFCx

FCy

CAE50kNFCy'FCx'MA

FAxFAy1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNDKq=20kN/mCFByMe=5kN·mFByMA

FAxFAyCDKq=20kN/mMe=5kN·mAEFB1m0.5m1m3m1mCB梁段上的荷載會(huì)傳遞到梁的AC段，稱為副梁；AC段上的荷載不會(huì)傳遞到梁的CB段，稱為基本梁(或主梁)。CFCx

FCy

AEFFCy'FCx'MA

FAxFAyDKq=20kN/mCFByMe=5kN·m帶有中間鉸的梁的受力特點(diǎn)：B§4-2梁的剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖Ⅰ、梁的剪力和彎矩取左側(cè)分離體分析任一橫截面m-m上的內(nèi)力mmxaABFFBFAFAFSyAmmxxCM由其右邊分離體的平衡條件同樣可得切向應(yīng)力的合力，稱為剪力法向應(yīng)力的合力，稱為彎矩ammxABFFBFAFAFSyAmmxxCMMFSmFmBCFB剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)則：例4-2求圖示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4橫截面上的剪力和彎矩。解：支反力為

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面1—1截面2—2M1FS1FC111FAM2FS2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA截面3—3截面4—4

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFBFA33C3M3FFS3FAFS4M44C4FB4內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1、橫截面上的剪力和彎矩在數(shù)值上由截面左側(cè)或右側(cè)梁段分離體的靜力平衡方程來(lái)確定。剪力值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和彎矩值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F2、截面左側(cè)梁段向上的外力→正剪力→正彎矩順時(shí)針外力偶→正彎矩截面右側(cè)梁段向上的外力→負(fù)剪力→正彎矩順時(shí)針外力偶→負(fù)彎矩內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F剪力：左上右下為正彎矩：左順右逆為正3、在集中力作用處，剪力值發(fā)生突變，突變值=集中力大小；在集中力偶作用處，彎矩值發(fā)生突變，突變值=集中力偶矩大小。內(nèi)力1—12—23—34—4FS-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F例4-3圖示簡(jiǎn)支梁受到三角形分布荷載的作用，最大荷載集度為q0，試求截面C上的內(nèi)力。解：先求支反力xyABalCq0FBFAq0l/2截面C的內(nèi)力思考：是否可以將梁上的分布荷載全部用靜力等效后的合力代替來(lái)求截面C的內(nèi)力？FSCMCFAaAa/3Ⅱ、剪力方程和彎矩方程?剪力圖和彎矩圖顯示剪力和彎矩隨截面位移的變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。剪力方程彎矩方程反映梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式例4-4圖示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、以自由端為坐標(biāo)原點(diǎn)，則可不求反力列剪力方程和彎矩方程：ABxlBxFS(x)M(x)2、作剪力圖和彎矩圖注意：彎矩圖中正的彎矩值繪在x軸的下方(即彎矩值繪在彎曲時(shí)梁的受拉側(cè))。xqlFS

ql22xMl/2ql28ABl例4-5圖示簡(jiǎn)支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程xFBFABlAqFAM(x)FS(x)xAqql

2FS

ql28l/2MBlAq3、作剪力圖和彎矩圖例4-6圖示簡(jiǎn)支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、求支反力2、列剪力方程和彎矩方程——需分兩段列出xBlAFabCFBFAAC段CB段xBlAFabCFBFAFAxAM(x)FS(x)FBBFS(x)M(x)3、作剪力圖和彎矩圖FS

FblxFblMxFablFBlAabC發(fā)生在集中荷載作用處發(fā)生在AC段b>a時(shí)FS

FblxFblMxFablFBlAabC例4-7圖示簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)受矩為Me

的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解:1、求支反力Me

FA

FBBlACab2、列剪力方程和彎矩方程剪力方程無(wú)需分段：彎矩方程——兩段：AC段：CB段：FA

FBBlACabxAFAM(x)FS(x)xFBBFS(x)M(x)3、作剪力圖和彎矩圖b>a時(shí)發(fā)生在C截面右側(cè)BlACabFslxMelMxMealMeb思考：對(duì)稱性與反對(duì)稱性Bl/2FA

AFBCl/2FxMFl/4xFsF/2F/2Bl/2FA

AFBCMe

l/2FslxMeMxMe/2Me/2結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為正對(duì)稱，剪力圖為反對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱、外力反對(duì)稱時(shí)，彎矩圖為反對(duì)稱，剪力圖為正對(duì)稱結(jié)論：作業(yè)：4-1(b),(g);4-2(b),(c)上次課回顧：1、彎曲的概念2、彎曲內(nèi)力：剪力、彎矩3、剪力方程、彎矩方程；剪力圖，彎矩圖剪力值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力的代數(shù)和彎矩值=截面左側(cè)（或右側(cè)）所有外力對(duì)該截面形心的力矩代數(shù)和左上右下為正左順右逆為正aaqaqAxⅢ、彎矩、剪力與分布荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用略去mmnnmmCnnq(x)

FS(x)

M(x)M(x)+dM(x)OFyxMe

q(x)xdxFS(x)+dFS(x)

q(x)、FS(x)、M(x)間的微分關(guān)系其中分布荷載集度q(x)

以向上為正，向下為負(fù)。OFyxMe

q(x)剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS圖特征M圖特征CFCm水平直線xFS>0FS<0x斜直線增函數(shù)xx降函數(shù)xC自左向右突變xC無(wú)變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)曲線xM墳狀xM盆狀自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與F反向MxM1M2利用以上特征1、可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確；2、可以不建立剪力方程和彎矩方程，利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖。利用微分關(guān)系直接繪制剪力圖和彎矩圖的步驟：1．求支座反力；2．分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；3．計(jì)算控制截面內(nèi)力值，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；4．確定和。例5-8試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖。aaqaqAaaqaqA左端點(diǎn)：分區(qū)點(diǎn)A：右端點(diǎn)：FSxqa2qa–xMB3aACMe=3qa2axq例5-9試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系作圖示梁的剪力圖和彎矩圖。解：1、支反力為FAFBB3aACMe=3qa2axqAC段：q=0剪力圖為水平直線剪力值2、作剪力圖FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe=3qa2axqCB段：q=常量<0剪力圖為向右下方傾斜的斜直線3、作彎矩圖AC段彎矩圖→斜直線CB段彎矩圖→二次拋物線B3aACMe=3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）FS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）例5-10試?yán)L出圖示有中間鉸的靜定梁的剪力彎矩圖。已知：(逆時(shí)針)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNMA

FAxFAyFBy

96.515.53155345M圖(kN·m)813129Fs圖(kN)1.45m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

Me=5kN·mF=50kNMA

FAxFAyFBy例4-11改內(nèi)力圖之錯(cuò)。a2aaqqa2ABFSxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/