2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題1 3 .7 最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

專題13.7最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇題10道，填空題】0道，解答題10道，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，

選題有深度，綜合性較強(qiáng)！

一.選擇題（共10小題）

I.（2021秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4c”，面積為\6crn1,腰

AC的垂直平分線EP交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,。為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上的

動(dòng)點(diǎn).則周長(zhǎng)的最小值為（）

【解題思路】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AM=CM,即A、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，CM+DM

最小值為4。的長(zhǎng)，根據(jù)面積求出的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【解答過(guò)程】解：連接4M,

VAC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E,

：.CM+DM=DM+AM,

即A、M,￡）三點(diǎn)共線時(shí)，CM+DM最小值為4。的長(zhǎng),

?；48=AC,點(diǎn)力為8c的中點(diǎn)，

：.AD±BC,CD=^BC=2cm,

?.?等腰△ABC的底邊BC長(zhǎng)為4an,面積為16。/,

：.AD=Scm,

：.周長(zhǎng)的最小值為AD+CD=\0cm,

故選：D.

2.（2021?彭州市校級(jí)開學(xué)）如圖，/AOB=20°,點(diǎn)M、N分別是邊04、。3上的定點(diǎn),

點(diǎn)P、。分別是08、0A上的動(dòng)點(diǎn)，記/MPQ=a,NPQN=0,當(dāng)MP+PQ+QN最小時(shí),

則B-a的值為()

【解題思路】作M關(guān)于0B的對(duì)稱點(diǎn)M',N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)N',連接M'N'交

。4于。，交.0B于P,則MP+PQ+QN最小易知N0PM=N0PM'=NNPQ,Z0QP=

ZAQN'=ZAQN,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：如圖，作歷關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)M',N關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)M,連接

M'N'交0A于。，交0B于P,則MP+PQ+QN最小，

；.NOPM=NOPM'=ZNPQ,ZOQP=ZAQN'=ZAQN,

:.NQPN=%(1800-a)=ZAOB+ZMQP=20°+*(1800-p),

二180°-a=40°+(180°-p),

Ap-a=40°,

故選：C.

3.(2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖，在△ABC中，A8的垂直平分線EF分別交A3、AC

邊于點(diǎn)E、凡點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長(zhǎng)度()

【解題思路】連接AK,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AK=BK,求得BK+CK=AK+CK,

得至IJAK+CK的最小值=BK+CK的最小值，于是得至lj當(dāng)AK+CK=4C時(shí)，AK+CK的值最

小，即BK+CK的值最小，即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：連接AK,

是線段AB的垂直平分線，

:.AK=BK,

：.BK+CK=AK+CK,

J.AK+CK的最小值=8K+CK的最小值，

"：AK+CK^AC,

：.當(dāng)AK+CK=AC時(shí)，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小,

/.BK+CK的最小值是線段AC的長(zhǎng)度，

故選：C.

4.（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在五邊形A8CDE中，ZBAE=\52°,NB=NE=

90°,AB=BC,AE=DE.在3C,OE上分別找一點(diǎn)M,N,使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí),

則NAMN+N4VM的度數(shù)為（）

A.55°B.56°C.57°D.58°

【解題思路】延長(zhǎng)48至A',使4'B=AB,延長(zhǎng)月E至A",使4"E=4E,則8c垂

直平分A4',DE垂直平分AA",所以AM=A'M,A"N=AN,/\ABC的周長(zhǎng)為

AM+MN+AN,要使其周長(zhǎng)最小，即使A'M+MN+A"N最小，設(shè)NK4A'=x,則NAMN

=2x,設(shè)/MtV=y,則/AM0=2y,在△44'A"中，利用三角形內(nèi)角和定理，可以

求出x+y=28°,進(jìn)一步可以求出NAMN+N月MW的值.

【解答過(guò)程】解：如圖，延長(zhǎng)A8至A',使A'B=AB,

延長(zhǎng)AE至A",使A"E=AE,

則8c垂直平分AA',QE垂直平分44”,

；.AM=A'M,AN=A"N,

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，

當(dāng)A',M,N,A"四點(diǎn)在一條直線時(shí)，A'M+MN+NA"最小,

則AM+MN+AN的值最小，

即△AMN的周長(zhǎng)最小，

'：AM=A'M,AN=A"N,

，可設(shè)NM/L4'=AMA'A=x,ZNAA"=ZNA"A=y,

在△AA'A"中，x+y=180°-/84E=180°-152°=28°,

'：ZAMN=ZMAA'+ZMA'A=2x,NAMW=2y,

/AMN+/4NM=2x+2y=56°,

5.（2021春?通川區(qū)期末）如圖，/AOB=60°,點(diǎn)尸為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在

04、OB上，當(dāng)△「〃汽周長(zhǎng)最小時(shí)，NMPN的度數(shù)是（）

【解題思路】分別作點(diǎn)P關(guān)于04、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、P2,連接Pi、P2交04于M,交

0B于N,△尸的周長(zhǎng)最小值等于P1P2的長(zhǎng)，然后依據(jù)等腰△0PP2中，N0P1P2+N

OP2Pl=180°-2/0,即可得出/MPN=/OPM+NOPN=/OPiM+/OP2N=18（r-

2/0=60°.

【解答過(guò)程】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于。A、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、尸2,連接P、P2交OA于M,

交。8于M

：.OP1=OP=OP2,NOP\M=/MPO,/NPO=NNP?O,

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PN=P2N,

:APMN的周長(zhǎng)的最小值=PP2,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得NPlOP2=2NAOB,

，等腰△0PP2中，NOP尸2+NOP2Pl=180°-/P|OP2=180°-2ZAOB,

：.NMPN=NOPM+NOPN=ZOPiM+ZOPiN

=NOPIP2+NOP2Pl

=180°-2ZAOB

=60°,

故選:B.

6.（2020秋?播州區(qū)期末）如圖，在AABC中，AC=8C=8,NACB=120°,8。平分/

ABC交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別是線段ED,BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值是（）

【解題思路】作C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C,過(guò)。作C凡LBC交BD于點(diǎn)E,交5c于點(diǎn)F,

CE+EF的最小值CF的長(zhǎng).

【解答過(guò)程】解：作C點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C,過(guò)C作CF±BC交BD于點(diǎn)E,交BC

于點(diǎn)F,

：.CE+EF=CE+EF2CF,

：,CE+EF的最小值CF的長(zhǎng)，

：.CC.LBD,

；2D平分/ABC,

.'.ZCBG^ZGBC,

在△C8G和△C8G中,

(/.C'BG=4GBe

\BG=BG,

l/BGC'=乙BGC

:.叢CBGq/\CBG(ASA),

：.BC=BC,

'：AC=BC=S,/4CB=120°,

：.ZABC=30°,BC=8,

在RtZ\BFC中，CF=8C?sin30°=8x*=4,

；.CE+EF的最小值為4,

故選：B.

7.(2021春?開江縣期末)如圖，在四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,NB=32°,在

邊AB,BC上分別找一點(diǎn)E,尸使△￡)￡：產(chǎn)的周長(zhǎng)最小，此時(shí)NE￡>F=()

A.110°B.112°C.114°D.116°

【解題思路】如圖，作點(diǎn)。關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)。關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接PQ,

交AB于E',交BC于尸'，則點(diǎn)E',尸即為所求，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答

案.

【解答過(guò)程】解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P,點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q,連接

PQ,交AB于E',交BC于尸'，則點(diǎn)E',F'即為所求.

R

Q

?.,四邊形A8CQ中，ZA=ZC=90°，ZB=a,

...NADC=180°-a,

由軸對(duì)稱知，ZADE1=NP,ACDF'=N。，

在△PO。中，/P+/Q=180°-ZADC

=180°-(180°-32°)

=32。,

：.ZADE'+ZCDF'=NP+NQ=32°,

AZE'DF'=AADC-(ZADE'+ZCDF')

=180°-64°

=116°.

故選：D.

8.(2020秋?泗水縣期末)如圖，等邊△ABC中，BD_LAC于。，QD=1.5,點(diǎn)尸、。分別

為AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=AQ=2,在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE

的最小值為()

A.3.5B.4C.5D.6

［解題思路］作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接PQ,交BD于E,連接QE,此時(shí)PE+EQ

的值最小.最小值尸E+PQ=PE+E0'=PQ',

【解答過(guò)程】解：如圖，:△ABC是等邊三角形，

:.BA=BC,

VBDA-ACfAQ—2,cmiQD=1.5CJZZ,

：.AD=DC=AQ-^-QD=3.5(cm),

作點(diǎn)Q關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)0,連接尸Q‘交5。于E,連接?！?此時(shí)尸E+EQ的值最小.最

小值PE+QE=PE+EQ'=PQf,

u

：AQ=2cm,AD=DC=3.5cmf

：.QD=DQ,=1.5(a%),

/.CQf=BP=2(cm),

.\AP=AQ'=5(cm),

VZA=60°,

：.^APQf是等邊三角形，

：.PQ'=PA=5(c/n),

PE+QE的最小值為5cm.

故選：C.

9.（2021?南海區(qū)二模）如圖，等邊△ABC,邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn)，以AO為邊

在AD右側(cè)作等邊△AOE,連接CE,當(dāng)△4￡）￡：周長(zhǎng)最小時(shí)，CE的長(zhǎng)度為（）

【解題思路】由等邊三角形的性質(zhì)得CAADE=3AO,當(dāng)△ADE周長(zhǎng)最小時(shí)，AD_L8C時(shí),

4。最小，利用全等三角形的判定邊角邊得和△ACE全等，即得CE的長(zhǎng)度.

【解答過(guò)程】解:

?.?△ADE是等邊三角形,

：.AD=DE=AE,

??C^ADE~3ADr

當(dāng)△/1￡>￡周長(zhǎng)最小時(shí)，

即AD最小，

當(dāng)ADJ_8c時(shí)，AO最小，

此時(shí)，3D=A3?sin30°=4,

???△ABC是等邊三角形，

.*.Zl+Z2=60°,

又???N2+N3=60°，

Z.Z1=Z3,

在△48。和△ACE中，

(AB=AC

jzl=43，

VAD=AE

:?△ABD94ACE(SAS)，

：.BD=CE=4,

故選：c.

10.（2021?和平區(qū)一模）如圖，在△AOB中，NOAB=NAOB=15°,0B=6,0c平分

乙40B,點(diǎn)P在射線OC上，點(diǎn)Q為邊。4上一動(dòng)點(diǎn)，則以+PQ的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】作AHJLOB于從交0c于P,作PQLOA于Q,可得PA+PQ^PA+PH^

AH,根據(jù)垂線段最短，%+P。最小值為4H,

【解答過(guò)程】解：作AH_LOB于H,交0C于P,作PQJ_OA于Q,

?.?/OAB=/AO8=15°,

：.PH=PQ,

：.PA+PQ^PA+PH=AH,

.?.以+P。的最小值為AH,

在RtZ\A5//中，?.?0B=AB=6,/ABH=30°,

：.AH=；48=3,

...以+P。的最小值為3,

11.（2021秋?吉林期中）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,NA=30°,邊AC的垂直

平分線￡>E分別交邊AB、AC于點(diǎn)。、E,P為直線。E上一點(diǎn).若BC=2,則aBCP周

長(zhǎng)的最小值為6.

【解題思路】由題意可知當(dāng)P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，PC+PB的值最小，則可求△BCP周長(zhǎng)

的最小值為AB+BC=6.

【解答過(guò)程】解：是AC的垂直平分線，

二4點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于OE對(duì)稱，

：.PC=PA,

VPC+PB=PA+PB^AB,

當(dāng)P點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，PC+PB的值最小，

,:BC=2,ZACB=90°,乙4=30°,

."8=4,

.?.△BCP周長(zhǎng)的最小值為A8+8C=6,

.?.△8CP周長(zhǎng)的最小值為6,

故答案為：6.

12.（2021?碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為6,面積是21,腰AB的垂

直平分線EF分別交AB,AC于點(diǎn)E、F,若點(diǎn)。為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上

一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為10.

【解題思路】如圖，連接AQ,由題意點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,推出AO的長(zhǎng)

為BM+MD的最小值即可.

【解答過(guò)程】解：如圖，連接4D

???△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

：.AD±BC,

：.S&ABC^^'BC*AD=1X6XAD=21,

."0=7,

是線段AB的垂直平分線，

；?點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

：.AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，

1

ABDM的周長(zhǎng)最短為AD+BD^AD+*8C=10,

故答案為：10.

13.（2021?杏花嶺區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，點(diǎn)P是/4OB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5an,點(diǎn)M和點(diǎn)N

分別是射線0A和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,則NA08的度數(shù)是

30°.

【解題思路】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)D、C,連接CD,分別交OA、OB于點(diǎn)

M、N,連接OC、OD、PM、PN、MN,由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM,O尸=OC,ZCOA

=ZPOA；PN=CN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,得出N408=*C0。，證出△OCQ

是等邊三角形，得出NCOO=6（T,即可得出結(jié)果.

【解答過(guò)程】解：分別作點(diǎn)尸關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)。、C,連接CD,

分別交。4、OB于點(diǎn)M、N,連接。C、OD、PM、PN、MN,如圖所示：

,/點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D,關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C,

：.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

,：點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C,

:.PN=CN,OP=OC,NCOB=NPOB,

1

：.OC=OP=OD,/AOB="COD,

???△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,

；?PM+PN+MN=5,

；?DM+CN+MN=5,

即CD=5=0P,

：.OC=OD=CDf

即△OCQ是等邊三角形，

???NCO￡>=60°,

AZAOB=30°；

故答案為300.

D

14.（2021春?成都期末）如圖，點(diǎn)C,。分別是邊NAOB兩邊。4、OB上的定點(diǎn)，ZAOB

=20°,。C=。。=4.點(diǎn)E,F分別是邊08,OA上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF+F。的最小值是

【解題思路】作C關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)C',作力關(guān)于04的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接C'D',

即為CE+EF+FD的最小值.

【解答過(guò)程】解：作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C',作。關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D',

連接C'D',即為CE+EF+F。的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：ZDOC1=NAOB=NFOD'=20°,

：.^OC'D'為等邊三角形

：.C'D'=OC'=OC=4.

故答案為4.

15.(2021春?蘿北縣期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,2),8(4,1),P

是x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)以+PB取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,0)_.

【解題思路】在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)A',則OA=OA'=2,所以O(shè)P垂直平分A4',所

以%=%',根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得到當(dāng)A',P,B三點(diǎn)共線時(shí)，PA'+PB

取得最小值，此時(shí)以+PB的值最小，利用A'和8點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出直線

A'8的解析式，再令y=0,求出x的值，即得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

【解答過(guò)程】解：在,，軸負(fù)半軸上取點(diǎn)A',使0A=OA'=2,

，?！复怪逼椒諥4',A'(0,-2),

：.PA=PA'

???兩點(diǎn)之間，線段最短，

...當(dāng)A',P,B三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，

PA'+P8的值最小，此時(shí)以+P8取得最小值，

設(shè)直線A'8的解析式為y=H-2,

代入點(diǎn)B的坐標(biāo)(4,1)得，

4k-2=1,

,,k—4,

直線A'3的解析式為y=,%-2,

O

令y=0,則工=可

8

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為.，0),

8

故答案為：(30).

16.（2021春?新鄉(xiāng)期末）如圖，在RtZXABC中，乙4cB=90°,CM平分乙4CB,點(diǎn)。為

CM上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合），連結(jié)。尸，BP.已知8=

BC,當(dāng)OP+BP的值最小時(shí)，NCDP的度數(shù)為22.5.

【解題思路】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)8',連接。8,交AC于點(diǎn)P,當(dāng)D,P,

B'共線時(shí)，PQ+P8的值最小.證明C8'=CD,根據(jù)/OCB=±NACB=45°,可得結(jié)

論.

【解答過(guò)程】解：如圖，作點(diǎn)8關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)8,，連接OB'交AC于點(diǎn)P,當(dāng)D,

P,B'共線時(shí)，PD+PB的值最小.

；NAC8=90°,CM平分NAC8,

/.ZDCB=1x90°=45°,

;CB=CB',CD=CB,

:.CD=CB',

：.ZCDB'=NB',

ZDCB=ZCDB'+ZB',

A22.5°,

故答案為：22.5.

17.（2021春?平頂山期末）如圖，在△48C中，AB=AC,BC=5,ZVlBC的面積為20.DE

垂直平分AC,分別交邊AB,AC于點(diǎn)。，E,點(diǎn)尸為直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為BC的

中點(diǎn)，連接FG,FC,則△FGC的周長(zhǎng)的最小值為r

【解題思路】由0E是AC的垂直平分線，可知A與C關(guān)于OE對(duì)稱，連接AG,CF,此

時(shí)FC+FG最短，再由已知求出AG=8,則△FGC的周長(zhǎng)AG+CG=俳，即為所求.

【解答過(guò)程】解：是AC的垂直平分線，

AA與C關(guān)于OE對(duì)稱，

連接AG,CF,

：.GF+FC=AF+FG=AG,此時(shí)FC+FG最短，

?：AB=AC,點(diǎn)G為8c的中點(diǎn)，

：.AG±BC,

,：BC=5,△ABC的面積為20,

，AG=8,

c21

:ZGC的周長(zhǎng)=FC+FG+GC=AG+CG=8+]=號(hào)，

AAFGC的周長(zhǎng)的最小值為

,,,21

故答案為可.

18.（2021春?寶豐縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=8,AD,CE分別是△A8C的兩

條中線，CE=6,P是A。上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+EP的最小值是6.

【解題思路】作E關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE,由已知可得E在AC邊上，且是AC

邊的中點(diǎn)，BP+EP的最小值即為8E,再由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE,即可求解.

【解答過(guò)程】解：作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)少，連接8E,

?.,A8=4C=8,AD是BC邊中線，CE是AB邊中線，

少在AC邊上，且是AC邊的中點(diǎn)，

；.BP+PE=BP+PE=BE,此時(shí)BP+EP的值最小，

???△8AC是等腰三角形，

：.BE=CE,

；CE=6,

的最小值為6,

故答案為6.

19.（2021春?番禺區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，MAOB的邊OA在x軸上，且

04=6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,4）點(diǎn)。為。A的中點(diǎn)，4B的垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,交

14

AB于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段CE上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APO的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（工,

-----5―

4

-）.

5------

【解題思路】如圖，連接8C,PB,8D.首先證明乙4cB=90°,利用勾股定理求出8D,

根據(jù)fi4+/Y>=P8+/Y）N8。，推出8,P,。共線時(shí)8P+PQ的值最小，可得直線CE的解

析式為y=x-2,直線8。的解析式為y=-4x+12,構(gòu)建方程組確定點(diǎn)P坐標(biāo).

【解答過(guò)程】解：如圖，連接8C,PB,BD.

,.Q=6,B（2,4）,

二/班。=45°,

；CE垂直平分線段48,

：.CH=CA,PA=PB,

：.ZCBA=ZCAB=45°,

，NBCA=90°,

：.0C=2,AC=BC=4,

'：OD=DA^3,

：.CD=OD-CD=\,

V/\PAD的周長(zhǎng)=PC+Rl+AL>=PB+R4+3,

又,：BP+PD'BD,

：.B,P,。共線時(shí)8P+PD的值最小，

?.,直線CE的解析式為y=x-2,直線8￡）的解析式為y=-4x+l2,

（_14

由憂二；+優(yōu)解得"?

U=5

144

,滿足條件的點(diǎn)P（三，-）.

144

故答案為：（三，-）.

20.（2021春?深圳期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,9）,8（3,1）,

點(diǎn)C,。分別是y軸正半軸和x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)四邊形48OC的周長(zhǎng)最小

時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,5）.

【解題思路】將點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱到E,將點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱到F,連接EF,EF的長(zhǎng)

度為四邊形A8DC的周長(zhǎng)最小值，求出宜線EF的解析式即可求解.

【解答過(guò)程】解：將點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱到E,將點(diǎn)8關(guān)于x軸對(duì)稱到F,連接EF,此時(shí)

點(diǎn)C、。的位置如圖C'、D'.

根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，可得EF的長(zhǎng)度為四邊形ABDC的周長(zhǎng)最小值.

點(diǎn)￡(-2,9)、點(diǎn)尸(3,-1).

設(shè)直線EF解析式為：

.(-2k4-6=9

??〔3/c+b=-1'

.(k=-2

"lb=5,

二直線EF解析式為:y=-2x+5.

當(dāng)x=0時(shí)，，y=5.

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(0,5).

故答案為：(0,5).

三.解答題(共10小題)

21.（2021秋?江油市期末）如圖，點(diǎn)P、Q為NMON內(nèi)兩點(diǎn),分別在0M與ON上找點(diǎn)A、

8,使四邊形出BQ的周長(zhǎng)最小.

【解題思路】作點(diǎn)尸關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)P',作。關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)Q',連

接P'Q'交OM于A,ON于B,于是得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：作點(diǎn)尸關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)P',作。關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)0',

連接P'Q'交OM于A,ON于B,

則此時(shí)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最小.

22.（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）用三角板和直尺作圖.（不寫作法，保留痕跡）

如圖，點(diǎn)A,8在直線/的同側(cè).

（1）試在直線/上取一點(diǎn)M,使MA+M8的值最小.

（2）試在直線/上取一點(diǎn)N,使NB-NA最大.

?B

■A

【解題思路】（1）作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)，再連接解答即可;

（2）連接BA,延長(zhǎng)8A交直線/于M當(dāng)N即為所求;

【解答過(guò)程】解：（1）如圖所示:

（2）如圖所示:

/B

N

理由：,:NB-NAWAB,

...當(dāng)A、B、N共線時(shí)，BN-24的值最大.

23.（2020秋?汝南縣期中）尺規(guī)作圖：

用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.如圖，已知點(diǎn)4,點(diǎn)8和直線/,

（1）在直線上求作一點(diǎn)P,使%+PB最短；

（2）請(qǐng)?jiān)谥本€I上任取一點(diǎn)。（點(diǎn)。與點(diǎn)P不重合），連接QA和QB,試說(shuō)明PA+PB

WQA+QB.

B

【解題思路】（1）要使PA+PB最短，根據(jù)同一平面內(nèi)線段最短，可知要作點(diǎn)A關(guān)于直

線/的對(duì)稱點(diǎn)4',連接A'8交直線/于P；

（2）在直線/上任取另一點(diǎn)Q,連接用、QA.QB.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到以=用'，

QA^QA'.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'8交直線/于P,

則點(diǎn)P即為所求；

（2）在直線/上任取另一點(diǎn)0,連接用、QA,QB.

?.?點(diǎn)A與4'關(guān)于直線/成軸對(duì)稱，點(diǎn)P、。在直線/上

：.PA=PA',QA=QA'.

'：QAr+QB》A'B,

：.QA+QB^A'B

即QA+QBZA'P+BP,

：.PA+PB^QA+QB.

24.(2020秋?慶云縣期中)如圖，在△ABC中，已知AB=AC,A8的垂直平分線交AB于

點(diǎn)M交AC于點(diǎn)連接

(1)若NABC=70°,則NAMN的度數(shù)是50°.

(2)若A8=8c〃?，△MBC的周長(zhǎng)是14cm.

①求BC的長(zhǎng)度；

②若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△P8C周長(zhǎng)的最小值.

【解題思路】(1)依據(jù)△ABC是等腰三角形，即可得到/ACB的度數(shù)以及N4的度數(shù)，

再根據(jù)是垂直平分線，即可得到/ANM的度數(shù)，進(jìn)而得出/AMN的度數(shù)；

(2)①依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到進(jìn)而得出aBCM的周長(zhǎng)=AC+BC,

再根據(jù)AB=AC=8c，〃，△M8C的周長(zhǎng)是14c”?，即可得到8C的長(zhǎng)；

②依據(jù)PB+PC=B4+PC,PA+PC^AC,即可得到當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC=AC,此時(shí)

PB+PC最小，進(jìn)而得出△PBC的周長(zhǎng)最小值.

【解答過(guò)程】解：(1)???AB=AC,

.,.NC=/A8C=70°,

；.乙4=40°,

,：AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N,

，NAMW=90°,

：.ZNMA=50Q,

故答案為：50°；

(2)①是48的垂直平分線，

：.AM=BM,

：./\BCM的周長(zhǎng)=BM+CM+BC^AM+MC+BC=AC+BC,

'：AB=AC=Scm,△MBC的周長(zhǎng)是14cv?,

/.BC=14-8=6(cm)；

②當(dāng)P與加重合時(shí)，8c的周長(zhǎng)最小.

理由：'：PB+PC=PA+PC,PA+PC^AC,

...當(dāng)P與M重合時(shí)，PA+PC^AC,此時(shí)PB+PC最小值等于4c的長(zhǎng)，

.?.△P8C的周長(zhǎng)最小值=AC+8C=8+6=14(c/n).

M

----------------、C

25.(2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期中)如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊aABC中，力是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在線段AD上，連接BE,在BE的下方作等邊△BEF,連接QF,當(dāng)△8OF的周長(zhǎng)最小

時(shí)，求NDBF的度數(shù).

【解題思路】連接CF,由條件可以得出NA8E=NCBF,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可

以證明從而可以得出N8CF=NBA〃=30°,作點(diǎn)。關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)

G,連接CG,DG,則FD=FG,依據(jù)當(dāng)B,F,G在同一直線上時(shí)，QF+BF的最小值等

于線段8G長(zhǎng)，可得尸的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到NDB尸的度

數(shù).

【解答過(guò)程】解：如圖，連接CF,

?.?△ABC、ABEF都是等邊三角形，

：.AB=BC^AC,BE=EF=BF,NBAC=NABC=NACB=NEBF=NBEF=NBFE=

60°,

/.AABC-NEBD=NEBF-NEBD,

:.NABE=NCBF,

在△6AE和△BC/中，

(AB=BC

"BE=乙CBF,

(BE=BF

,△BAE學(xué)ABCF(SAS),

.?.NBC尸=Na4D=30°,

如圖，作點(diǎn)。關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G,連接CG,DG,連接FG,則F￡>=FG,

.?.當(dāng)8,F,G在同一直線上時(shí)，DF+8F的最小值等于線段BG長(zhǎng)，且BG_LCG時(shí)，△

8。廠的周長(zhǎng)最小，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得NOCG=2/8CF=60°,CD=CG,

.?.△QCG是等邊三角形，

：.DG=DC=DB,

：.NDBF=ZDGB=|zCDG=30°.

26.(2021秋?永定區(qū)期中)如圖，在△ABC中，NACB=90°,以4c為邊在△ABC外作

等邊三角形AC。，過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為凡延長(zhǎng)DE交48于點(diǎn)E,連接CE.

(1)求證：CE=BE.

(2)若A8=l5ca,P是直線OE上的一點(diǎn).則當(dāng)P在何處時(shí)，P8+PC最?。坎⑶蟪龃?/p>

時(shí)PB+PC的值.

【解題思路】(1)先證明。E是AC的垂直平分線，再證明OE〃8C,最后由/EC8=

NEBC,即可證得CE=8E；

(2)連接司，PC,由垂直平分線的性質(zhì)可得PC=%,再由兩點(diǎn)之間線段最短即可得到

所求PA+PB最小為A8的長(zhǎng).

【解答過(guò)程】解：(1),.,△AC。為等邊三角形，OELAC,

.?.OE垂直平分AC,

，ZAEF=ZFEC,

,.,/AC8=/AFE=90°,

：.DE//BC,

：.ZAEF-NEBC,NFEC=NECB,

:.NECB=NEBC,

:.CE=BE；

(2)連接以，PC,

■垂直平分AC,P在OE上，

：.PC^PA,

???兩點(diǎn)之間線段最短，

二當(dāng)尸與E重合時(shí)B4+EB最小為15cm,

...P8+PC最小為15an.

27.(2021秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中)如圖，在AABC中，AB=AC,是中線，且AC是。E

的中垂線.

(1)求證：NBAD=NCAD；

(2)連接CE,寫出BO和CE的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)NBAC=90°,BC=8時(shí)，在A。上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn)C與到點(diǎn)E的距離

之和最小，求aBCP的面積

【解題思路】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

(2)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)即可證明.

(3)連接2E交AC于點(diǎn)尸，此時(shí)PE+PC的值最小.根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理

求出即可解決問(wèn)題.

【解答過(guò)程】解：(1),：AB=AC,AO是中線，

：.ZBAD^ZCAD,

(2)連接EC.結(jié)論：BD=CE.

理由：?.乂。是中線，

：.BD=CD,

'：AD,AE關(guān)于AC對(duì)稱,

:.CD=CE,

:.BD=CE：

(3)連接BE交AO于點(diǎn)P,此時(shí)PE+PC的值最小.

：.AD=AE=4,

'."AE//BD,AE=AD=BD,

：.ZAEP=ZDBPM,

,/NAPE=NDPB,

：.(A45),

：.PA=PD=2,

'CPDVBC,

/.SABCP=1X8X2=8.

28.(2021秋?衡水期中)如圖，在RtZSABC中，/A=90°,ZACB=30°,AC=10,CD

是角平分線.

(1)如圖1,若E是AC邊上的一個(gè)定點(diǎn)，在CC上找一點(diǎn)P,使以+PE的值最??；

(2)如圖2,若E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在CQ上找一點(diǎn)尸，使以+PE的值最小，并

直接寫出其最小值.

D,ED,E

【解題思路】(1)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)「連接AF交CO于點(diǎn)P,于是得到

結(jié)論；

(2)如圖，過(guò)。作DF_L5c于F,過(guò)尸作EF_LAC交CO于尸，則此時(shí)，必+PE的值最

??；用+PE的最小值=￡凡根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到力4=。凡即點(diǎn)4與點(diǎn)尸關(guān)于C。

對(duì)稱，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：(1)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)尸連接AF交CO于點(diǎn)P,

則此時(shí)，用+PE的值最小；

點(diǎn)P即為所求；

(2)如圖，過(guò)。作。EL8C于F,過(guò)尸作ERLAC交CO于P,

則此時(shí)，租+PE的值最小；

PA+PE的最小值=EF,

CD是角平分線，NB4C=90°,

：.DA=DF,

即點(diǎn)A與點(diǎn)尸關(guān)于CO對(duì)稱，

：.CF=AC^]0,

VZACB=30G,

：.EF=|CF=5.

29.(2021春?郊縣期末)已知點(diǎn)P在NMON內(nèi).

(1)如圖1,點(diǎn)尸關(guān)于射線OM的對(duì)稱點(diǎn)是G,點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對(duì)稱點(diǎn)是H,連接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，則/G04=100°；

②若PO=5,連接GH,請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)NMON為多少度時(shí)，GH=10；

(2)如圖2,若NMON=60°,A、B分別是射線。例、ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)?shù)?/p>

周長(zhǎng)最小時(shí)，求NAPB的度數(shù).

【解題思路】(1)依據(jù)軸對(duì)稱可得OG=OP,OM±GP,即可得到OM平分NPOG,ON

平分NPOH,進(jìn)而得出NGOH=2NMON=2X50°=100°；②當(dāng)NA/ON=90°時(shí)，Z

GOH=180°,此時(shí)點(diǎn)G,O,"在同一直線上，可得GH=GO+”O(jiān)=10：

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OM、ON對(duì)稱點(diǎn)分別為尸‘、P",當(dāng)點(diǎn)