2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)《公式法》

2022-2023學(xué)年

2.3公式法

課時(shí)安排

1課時(shí)

從容說(shuō)課

公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延續(xù)，即它實(shí)際上是配方法的一般化

和程式化.利用它可以更為簡(jiǎn)捷地解一元二次方程.

本節(jié)課的重、難點(diǎn)是利用求根公式來(lái)解一元二次方程.

公式法的意義在于：對(duì)于任意的一元二次方程，只要將方程化為一般形式，然后確

定a、b、c的值，在b'YaceO的前提條件下，將a、b、c的值代入求根公式即可求出

解.

因?yàn)檎莆涨蟾降年P(guān)鍵是掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程，而掌握推導(dǎo)過(guò)程的關(guān)鍵又是掌握

配方法，所以在教學(xué)中，首先引導(dǎo)學(xué)生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在師生

共同的討論中，得到求根公式，并利用公式解一些簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

第六課時(shí)

課題

§2.3公式法

教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)

2.會(huì)用求根公式解一元二次方程

（二）能力訓(xùn)練要求

1.通過(guò)公式推導(dǎo)，加強(qiáng)推理技能訓(xùn)練，進(jìn)一步發(fā)展邏輯思維能力.

2.會(huì)用公式法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.

（三）情感與價(jià)值觀要求

1.通過(guò)運(yùn)用公式法解一元二次方程的訓(xùn)練，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，養(yǎng)成良好的運(yùn)

算習(xí)慣.

教學(xué)重點(diǎn)

一元二次方程的求根公式.

教學(xué)難點(diǎn)

求根公式的條件：b1-4ac^0

教學(xué)方法

講練相結(jié)合

教具準(zhǔn)備

投影片五張

第一張：復(fù)習(xí)練習(xí)（記作投影片§2.3A）

第二張：試一試（記作投影片§2.3B）

第三張：小亮的推導(dǎo)過(guò)程（記作投影片§2.3C）

第四張：求根公式（記作投影片§2.3D）

第五張：例題（記作投影片§2.3E）

教學(xué)過(guò)程

I.巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入課題

［師］我們利用三節(jié)課的時(shí)間學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法.下面來(lái)做一練習(xí)以鞏固其

解法.（出示投影片§2.3A）

1.用配方法解方程2X2-7X+3=0.

［生甲］解：2x-7x+3=0,

73

兩邊都除以2,得x2］-x+5=0.

72

移項(xiàng)，得；x2~2x=-2-

7737

配方，得/-彳x+（-W）2=-7+（-1）2.

兩邊分別開平方，得

75

x-4=±4

7575

即x-1=］或

/.Xi=3,x2=y.

［師］同學(xué)們做得很好，接下來(lái)大家來(lái)試著做一做下面的練習(xí).（出示投影片§2.3B）

試一試，肯定行：

1.用配方法解下列關(guān)于x的方程：

（l）x2+ax=l；（2）x2+2bx+4ac=0.

［生乙］（1）解x2+ax=l,

aa

配方得x、ax+（5）2=l+（5）2,

a4+a2

（x+5）2=i-.

兩邊都開平方，得

a

x+5=±

ayj4+a2

即x+'=

222

.-a+y/4+a2-a-yl4+a2

.?Xi=-----------------------，x=-----------

222

［生丙］(2)解x2-2bx+4ac=0,

移項(xiàng),得x2+2bx=-4ac.

配方，得x'-2bx+b-=-4ac+b-,

(x+b)=b"-4ac.

兩邊同時(shí)開平方，得

x+b=±J/?：-4ac，

即x+b=yjb2-4ac,x+b=-"2-4ac

22

Xi=-b+y!b-4ac,x2=-b-Jb-4ac

［生丁］老師，我覺(jué)得丁同學(xué)做錯(cuò)了，他通過(guò)配方得到(x+b)2=b2-4ac.根據(jù)平方根

的性質(zhì)知道：只有正數(shù)和零才有平方根，即只有在b?-4ac20時(shí)，才可以用開平方法解

出x來(lái).所以，在這里應(yīng)該加一個(gè)條件：b2-4ac>0.

［師］噢，同學(xué)們來(lái)想一想，討論討論，戊同學(xué)說(shuō)得有道理嗎？

［生齊聲］戊同學(xué)說(shuō)得正確.因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)

有平方根，所以，解方程x?+2bx+4ac=0

時(shí)，必須有條件：bMac>O,才有丁同學(xué)求

出的解.否則，這個(gè)方程就沒(méi)有實(shí)數(shù)解.

［師］同學(xué)們理解得很正確，那解方程x、ax=l時(shí)用不用加條件呢？

［生齊聲］不用.

［師］那為什么呢?

［生齊聲］因?yàn)榘逊匠蘹、ax=l配方變形為(x+￡)J士f,右邊上產(chǎn)就是一個(gè)正

數(shù)，所以就不必加條件了.

［師］好，從以上解題過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)：利用配方法解一元二次方程的基本步驟是

相同的.因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),得到根的

一般表達(dá)式，那么再解一元二次方程時(shí)，就會(huì)方便簡(jiǎn)捷得多.

這節(jié)課我們就來(lái)探討一元二次方程的求根公式.

II.講授新課

［師］剛才我們已經(jīng)利用配方法求解了四個(gè)一元二次方程，那你能否利用配方法的基

本步驟解方程ax2+bx+c=0(aWO)呢？

大家可參照解方程2X2-7X+3=0的步驟進(jìn)行.

［生甲］因?yàn)榉匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)不為1,所以首先應(yīng)把方程的二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?,即

方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)a,得

bc

x~2+—x+—=0n.

aa

［生乙］因?yàn)檫@里的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,所以，方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩邊都除以

a時(shí)，需要說(shuō)明aWO.

［師］對(duì)，以前我們解的方程都是數(shù)字系數(shù)，顯然就可以看到：二次項(xiàng)系數(shù)不為0,

所以無(wú)需特殊說(shuō)明，而方程ax，bx+c=O(aWO)的兩邊都除以a時(shí)，必須說(shuō)明aWO.

好，接下來(lái)該如何呢？

［生丙］移項(xiàng),^x2+-x=--

aa

配方，得X?+2x+(2)2=-￡+(2)2,

a2aala

(x+g>b~-4ac

2a4a2

［師］這時(shí)，可以直接開平方求解嗎？

［生?。莶?，還需要討論.

因?yàn)閍WO,所以4a”0.當(dāng)b2-4ac20時(shí)，就可以開平方.

［師］對(duì)，在進(jìn)行開方運(yùn)算時(shí)，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，即要求匕學(xué)20.因?yàn)?/p>

4礦

4a2>0恒成立，所以只需b?-4ac是非負(fù)數(shù)即可.

因此，方程?+2)2=匕孚的兩邊同時(shí)開方，得x+2=±忙孚.

2a4a22aV4/

大家來(lái)想一想，討論討論:

［師］當(dāng)b"4ac20時(shí),

x+b一+\b2-4acy/h2—4ac

x彳-V4片2\a\

因?yàn)槭阶忧懊嬗须p重符號(hào)“土”，所以無(wú)論a>0還是a<0,都不影響最終的結(jié)果：土

\b2-4ac

2a

所以x+導(dǎo)土Jb2-4ac

2a

好，我們來(lái)看小亮的推導(dǎo)過(guò)程.(出示投影片§2.3C)

ax2+bx+c=0(aW兩邊都除以a,

0)

配方

如果,

-b±4b~-4ac

b~—Aac>0x=-------------------

2a

這樣，我們就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式:

x=-b±^-4ac(b-),

2a

即(出示投影片§2.3D)

一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0

(aWO),當(dāng)b2-4ac20時(shí)，它的根是

-b+yjb2-4-ac

x=-------------

2a

［師］用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.(Solvingbyformular)

由此我們可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系數(shù)a、b、c

確定的.因此，在解一元二次方程時(shí)，先將方程化為一般形式，然后在b2-4ac20的前

提條件下，把各項(xiàng)系數(shù)a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.

注：(1)在運(yùn)用求根公式求解時(shí)，應(yīng)先計(jì)算b?-4ac的值；當(dāng)b'YacNO時(shí)，可以用

公式求出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)b'YacVO時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.就不必再代入公式

計(jì)算了.

(2)把方程化為一般形式后，在確定a、

b、c時(shí)，需注意符號(hào).

接下來(lái)，我們來(lái)看一例題.(出示投影片§2.3E)

［例題］解方程X2-7X-18=0.

分析：要求方程x"7xT8=0的解，需先確定a、b、c的值.注意a、b、c帶有符號(hào).

解：這里a=l,b=-7,c=-18.

Vb2-4ac=(-7)-4X1X(-18)

=121>0,

.7±V12T7±11

..x=------=-----,

2x12

卻x,=9,X2=-2.

［師］好，我們來(lái)共同總結(jié)一下用公式法解一元二次方程的一般步驟.

［師生共析］其一般步驟是：

(1)把方程化為一般形式，進(jìn)而確定a、b,c的值.(注意符號(hào))

(2)求出b?-4ac的值.(先判別方程是否有根)

(3)在b'YacNO的前提下，把a(bǔ)、b、c的直代入求根公式，求出一'土'〃一生￡的

2a

值，最后寫出方程的根.

［師］接下來(lái)我們通過(guò)練習(xí)來(lái)鞏固用公式法求解一元二次方程的方法.

III.課堂練習(xí)

(一)課本PST隨堂練習(xí)1、2

1.用公式法解下列方程：

(l)2x-9x+8=0；(2)9x2+6x+l=0.

解：(1)這里a=2,b=-9,c=8.

Vb-4ac=(-9)-4X2X8

=17>0,

.9±V179±V17

..x=------=------

2x24

口9+V179-V17

目X1=------,x=-------

424

(2)這里a=9,b=6,c=l.

Vb2-4ac=62-4X9X1=0,

._-6±01

??X----------=-----

2x93,

即X|=X2=一?，

3

2.一個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，求這個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng).

解：設(shè)中間的數(shù)為x,則另外兩數(shù)為

x-2,x+2.根據(jù)題意，得

(X+2)2=(X-2)2+X2.

整理，得X2-8X=0.

解這個(gè)方程，得

Xi=O,X2=8.

因?yàn)橹苯侨切蔚倪呴L(zhǎng)為正數(shù)，所以%=0應(yīng)舍去.因此，這個(gè)直角三角形的三條

邊長(zhǎng)分別為6,8,10.

(二)看課本Pse?Ps”然后小結(jié).

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們探討了一元二次方程的另一種解法一一公式法.

(1)求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”的綜合應(yīng)用.對(duì)于aWO,b2-4ac

20。以及由aWO,知4a2>0等條件在推導(dǎo)過(guò)程中的應(yīng)用，也要弄清其中的道理.

(2)應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫出a、b、c

的數(shù)值以及計(jì)算b?-4ac的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

V.課后作業(yè)

(一)課本P58習(xí)題2.61、2

(-)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容；P59-P61

2.預(yù)習(xí)提綱

(1)如何利用因式分解法解一元二次方程

VI.活動(dòng)與探究

1.閱讀材料，解答問(wèn)題：

閱讀材料：

為解方程&2-1)2-5(/-1)+4=0,我們可以將a2-1)視為一個(gè)整體，然后設(shè)x2-l=y,

則(x2-l)2=y2,原方程化為y2-5y+4=0.①

解得y尸4,y2=l.

當(dāng)yi=4時(shí),x2-l=4,

x'=5,x=±V5.

當(dāng)y=l時(shí)，x2-l=l,

x2=2,x=±V2.

，原方程的解為由=后，x2=-V2,

x3=A/5，x4=-M.

解答問(wèn)題：

(