2022-2023學年九年級數(shù)學專家點撥-解題思想和方法

2。就隼扎隼藪數(shù)學：干

狀元必讀專家點撥

狀元必讀［明確考Q且注重難點］

一、考點突破

“思想方法是最有價值的知識“，在初中階段是解數(shù)學題的靈魂，解數(shù)學題需要一定的方

法，不同的解題者解同一道題可能采用不同的解法，這些解法都是解題者靈活運用數(shù)學基本

思想和基本原理的結(jié)果，只有通過具體問題才能掌握解題技巧。要提高解題能力，必須反復(fù)

練習，及時總結(jié)各種解題方法并盡可能尋找最佳的方法，才有可能不斷提高解題水平和能力，

并有可能在升學考試中大顯身手。

二、重難點提示

靈活運用數(shù)學知識、技能、方法，在解綜合題時，尤其需要用數(shù)學思想來統(tǒng)帥，分析、

探求解題的思路，優(yōu)化解題的過程，驗證所得的結(jié)論。

專家.點撥［特離級專家傾力打造］

中學數(shù)學中常見的數(shù)學思想有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸。這典

型的四類數(shù)學思想對初中數(shù)學問題的解決有著重要的思維指導(dǎo)作用。

1.函數(shù)與方程的思想：函數(shù)與方程的思想是中學數(shù)學最基本的思想。如初中學習的一次

函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等。

2.數(shù)形結(jié)合的思想：數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如絕對值。

3.分類討論的思想：如數(shù)的分類。

4.轉(zhuǎn)化與化歸的思想，常見的轉(zhuǎn)化方法有：

(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題。

(2)換元法：通過“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降累等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方

程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題。

(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中的數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通

過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑。

(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的。

(5)特殊轉(zhuǎn)化法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)

論適合原問題。

(6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。

化歸與轉(zhuǎn)化思想是一切數(shù)學思想方法的核心。如解分式方程時，通常去分母轉(zhuǎn)化為一元

一次方程和一元二次方程來解。

5.中學數(shù)學解題中的基本方法：實驗法；三角形內(nèi)角和；比較法；特殊化的方法：例如

無論k取何值，直線y=kx—(k-2)過定點；配方法求根公式法解一元二次

方程；待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；公式法與反證法。

?‘狀元兵1員1【阻空例題剖析激活知題思維】

能力提升類

例1如圖，在長方形網(wǎng)格中，每個小長方形的長為2,寬為1,A、8兩點在網(wǎng)格格

點上，若點C也在網(wǎng)格格點上，以A、8、C為頂點的三角形面積為2,則滿足條件的點C

的個數(shù)是()個

B

A.2B.3C.4D.5

一點通：已知三角形的面積，考慮三角形的底邊長與高的情況，進行分類討論。

解：根據(jù)三角形ABC的面積為2,且頂點C也在網(wǎng)格格點上，可知三角形的底邊長為

4,高為1,或者底邊為2,高為2,可通過在長方形網(wǎng)格中畫圖得出結(jié)果。C點所有的情況

如圖所示，故選C。

評析：本題考查了三角形的面積的求法，此類題應(yīng)選取分類的標準，才能做到不遺不漏。

本題解題的關(guān)鍵是理解條件：頂點C也在網(wǎng)格格點上，這就確定了三角形的底和高的所有

可能的情況。結(jié)合題目所給圖形，可以找到全部符合條件的點。

例2根據(jù)圖1所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖象，過點M作PQ〃x軸交圖象于

點P，Q,連接OP,0Q.,則以下結(jié)論：

2

①x<0時，y=—；

x

②△OPQ的面積為定值；

③x>0時，y隨x的增大而增大：

④MQ=2PM；

⑤NPOQ可以等于90°；

其中正確的是()

A,①②④B.②④⑤C.③④⑤D.?@⑤

24

一點通：根據(jù)題意得到當x<0時，y=——,當x>0時;y=—，設(shè)尸(。，b),Q(c,

XX

d),求出浦=-2,cd=4,求出△OPQ的面積是3；x>0時，y隨x的增大而減??；由時

=-2,cd=4得到MQ=2PM；因為NPOQ=90。也行，根據(jù)結(jié)論即可判斷答案。

解：

--(x<0)

根據(jù)圖中所示程序，可得y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=|九，易知①錯誤；

4

—(x>0)

2

???PQ〃x軸，???點P在y=一一上，

x

'-SAPOM=^OMxPM=^\k\=l,

同理可得SAQOM=2，SAPOQ=SAPOM+SAQOM=1+2=3，..?②正確；

4

當x>0時，y=—,y隨x的增大而減小，，③錯誤；

x

242

設(shè)OM=a,當y=。時，P點的橫坐標為——，Q點的橫坐標為一，則PM=—,MQ

aaa

4

=-,則MQ=2PM,，④正確；

a

當點M在y軸的正半軸上由下向上運動時，NPOQ由180。逐漸變小趨近0。，

???NPOQ可以等于90。，，⑤正確。

正確的有②④⑤，故選B。

評析：本題主要考查對反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的

面積等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進行說理是解此題的關(guān)鍵。當某點在反比例函

數(shù)y的圖象上時，向橫、縱軸作垂線，所構(gòu)成的矩形面積為網(wǎng)，對角線所分的相應(yīng)三

角形的面積為W。

2

綜合運用類

例3設(shè)4,。2,4,b2都是實數(shù)，。尸。2，滿足3+偽)(4+?)=(%+4)(%+8)

=1,求證：(4+4)(%+偽)=(o,+&)(%+&)=-1。

一點通：可以從展開己知等式、按比例性質(zhì)變形，已知等式等角度嘗試，仔細觀察已知

等式的特點，4,。2可以看做方程(x+bj(x+4)=1的兩根，則(x+偽)(％+與)-1=

(x—4)(x-%)。通過構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律。

++

解：因為+4)(4+b2)=(?2^|)(^2^2)=1，

所以q,。2可以看做方程(X+4)(X+仇)=1的兩根，

則(x+4)(x+)2)—1=(x—q)(尤_4)，

令x=—bt,得—1=(―4―6t1)(—bt—a2)；

令光=-b2>得—1=(—b2—(ly)(-^214)；

原題得證。

評析：用構(gòu)造法要注意兩點：(1)要有明確的方向，即為什么構(gòu)造；(2)要弄清楚條件

的本質(zhì)特點和結(jié)構(gòu)特征，以明確構(gòu)造什么，如何構(gòu)造。

例4已知平面上有6個圓，圓心分別為Q,a，Oy2，05,06,并且每個圓心都

在其余各圓的外部，求證：平面上任一點都不可能同時在這6個圓的內(nèi)部。

一點通：本題直接證明較難，不易表達清楚，而命題是以否定形式出現(xiàn)的，正難則反，可以

考慮用反證法。

解：假設(shè)平面上有一點同時在這6個圓的內(nèi)部，連結(jié)QM,O2M,O.M,04M

,05M,06M,

則ZOtMO2+Z02Mo3+Z03Mo4+Z04Mo5+ZO5MOb+Z06Moi=360°,故其

中至少有一個角不大于60°,不妨設(shè)NO2Mq4600。

在402Mo3中，由于NQMq+NMO2q+NMO302=180°

故NMQq+NMQ022120°

于是這兩個角中，必有一個不小于60。，不妨設(shè)NMq02N60。

故ZMO3O2>Z02Mo3,于是q02402M,

又“在6個圓的內(nèi)部，特別是在。。2內(nèi)部，

故。。3也在。。2內(nèi)部，這與已知條件相矛盾。

所以平面上任何一點都不會同時在這6個圓的內(nèi)部。

評析：在利用反證法的時候，如果用一次不行，可以反復(fù)使用。

思維拓展類

例5已知拋物線丫=一，+2mx-m2+2的頂點A在第一象限，過點A作AB_Ly軸,

垂足為B,C是線段48上一點（不與端點A、8重合），過C作CZXLx軸，垂足為。，并

交拋物線于點P。

（1）若點C（1,a）是線段AB的中點，求點P的坐標；

（2）若直線AP交y軸的正半軸于點E,且AC=CP,求AOPE的面積S的取值范圍。

一點通：第一問結(jié)合中點可以求出m的值，第二問關(guān)鍵是要表示出點P和點C的坐標,

理解它們坐標之間的數(shù)量關(guān)系，代入解析式可以表示出點P的坐標，代入面積公式運用函

數(shù)的最值即可求出S的取值范圍。

解：（1）??,拋物線的對稱軸（即頂點的橫坐標）：x=——=-----

2a2x（-1）

m

點C為線段AB的中點，且C點的橫坐標為1,即竺=1.?.機=2,

2

二拋物線的解析式為y=—F+4x—4+2,

將x=l代入得y=—F+4xl—4+2=1,

.?.點P的坐標為（1,1）；

2a2x（-1）

拋物線頂點的縱坐標：y=4y="2）-（2機）-=2；

4a4x（-1）

點坐標為（m,2）,

設(shè)點C的坐標為（x,2）,則點尸的坐標為（x,2+x-m）

將點P的坐標代入解析式可得：2+x—+2mx-m2+2,

所以犬[=相（舍去），x2-m-\

?,?點尸的坐標為（加一1,1）

?：CD//OB9A

9：AC=CP,：.AB=BE=m,則。E=O8—3E=2一m即0E=2一加

則APOE的面積為：S“OF=（2-〃?）（〃1）=_]_（加_g）2+1

"°匕2228

又???〃?>（）,且"OE的面積為正數(shù)

1

.\0<S<-

-8

評析：本題綜合考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，拋物線的對稱軸，頂點坐標的求

法，結(jié)合圖形（根據(jù)題意自己畫出草圖）確定出各點坐標之間的數(shù)量關(guān)系。畫出幾何圖形理

清各點坐標之間的關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵，應(yīng)用函數(shù)的最值確定字母的取值范圍也是中

考的一個熱點問題。

■,狀元造i己【萬話妙招及時溫結(jié)】

一、滲透轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

轉(zhuǎn)化的思想就是設(shè)法把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或容易解決的

問題，最終獲得解決原題的一種手段或方法。

解分式方程時常通過去分母法把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,解決梯形問題時通常轉(zhuǎn)化為

三角形或特殊平行四邊形來解決。

二、滲透整體思想，優(yōu)化解題過程

整體思想注重問題的整體結(jié)構(gòu)，將題中的某些元素或組合看成一個整體，從而化繁為簡,

化難為易。例如化簡:-----------------------1-------------------------1-------------時----按----常---規(guī)方法進行

(a+2)(“+3)(a+3)(a+4)(a+4)(a+5)

通分，顯然最簡公分母比較復(fù)雜，計算量較大。若從整體觀察分式的特征，可逆用分式加減

法法則及規(guī)律公式-1—=--一—,將原分式分離變形?即原式=」一+」--

（幾）（〃+1）n〃+1a+4Q+4

—1-------+—1------匚=—1-------匚=--------------，從而使問題簡單化?？梢姲?/p>

。+2。+3。+3。+5。+2。+5（。+2）（。+5）

問題放到整體結(jié)構(gòu)中去考慮，就可以開拓解題思路，優(yōu)化解題過程。

三、滲透化歸思想，促進知識遷移

將生疏的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、已知的問題，這是運用化歸思想解題的真諦。隨著問題的

解決，認知的不斷拓展，促進了知識的正遷移。

四、滲透數(shù)形結(jié)合思想，探究知識的奧秘

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精

確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)與幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維

有機結(jié)合。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使

問題得到解決。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的幾何表現(xiàn)。通過數(shù)形結(jié)合往往可以使學生不但

知其然，還能知其所以然。如在數(shù)軸教學中滲透「‘數(shù)形結(jié)合”思想，在平面直角坐標系中，

坐標的幾何意義若從圖形來觀察將有助于理解和應(yīng)用。

五、滲透類比思想，指導(dǎo)應(yīng)用知識

一些數(shù)學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應(yīng)用所

學知識。

六、滲透反證法，訓(xùn)練縝密思維

反證法是一種重要的證明方法，倘若有選擇地讓初中學生接觸一下淺易的題目，將有助

于開闊學生視野，訓(xùn)練良好的思維品質(zhì)。

?高頻城點【網(wǎng)員熱點問題透視】

問題：如圖，矩形月BCO的邊AB與y軸平行，頂點A的坐標為（1,2）,點8與點。

在反比例函數(shù)y=$（x>0）的圖象上，則點C的坐標為

一點通：設(shè)B、D兩點的坐標分別為（1,y）、（x,2）,再根據(jù)點B與點D在反比例函

數(shù)y=9（x>0）的圖象上求出的值，進而可得出C的坐標。

x

解：：四邊形ABCD是矩形，頂點A的坐標為（1,2）,

...設(shè)B、D兩點的坐標分別為（1,y）、（x,2）,

?.?點B與點D在反比例函數(shù)>=色（x>0）的圖象上，

X

??y-?6Jx=3,

???點C的坐標為（3,6）o

故答案為：（3,6）。

評析：本題考查反比例函數(shù)及其圖形，解決這類題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，即數(shù)（解析式）

一坐標一點一線段一圖形，反之則由形到數(shù)。

狀元試題［其0演練，沖士伏元］

（答題時間：60分鐘）

一、選擇題

1.將圖甲圍成圖乙的正方體，則圖甲中的紅心標志所在的正方形是正方體中的

（）

A.面CDHEB.面BCEFC,面ABFGD.面ADHG

2.甲乙丙三個旅行團的游客人數(shù)都相等，且每團游客的平均年齡都是32歲，這三個團的

游客的年齡方差分別是=27,=19.6,S需=1.6,導(dǎo)游小王最喜歡帶游客年齡相近

的團隊，若在三個團隊中選擇一個，則他應(yīng)選（）

A.甲團B.乙團C.丙團D.甲或乙團

3.一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：

h=-5（t-l）2+6,則小球距離地面的最大高度是（）

A.1米B.5米C.6米D.7米

4.如圖，在△ABC中，ZC=90°,BC=6,D,E分別在AB,AC_t,將△ABC沿DE

折疊，使點A落在點A，處，若A，為CE的中點，則折痕DE的長為（）

5.已知三角形三邊長分別為2,x,13,若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（）

A.2B.3C.5D.13

二、填空題

1.如圖，已知菱形ABCD,其頂點A,B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為-4和1,則BC=

2.若|x—3|+|y+2|=0,則x+y的值為。

3.如圖，點0為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，NAOC=108。，點D在AB的延長線上，BD

=BC,則/D=。

4.如圖1,兩個等邊△ABD,ACBD的邊長均為1,將△ABD沿AC方向向右平移到

△ABD，的位置，得到圖2,則陰影部分的周長為__________。

DD一z

BBR

圖1圖2

5.如圖，給正五邊形的頂點依次編號為1,2,3,4,5。若從某一頂點開始，沿正五邊形

的邊按順時針方向行走，頂點編號的數(shù)字是凡，就走幾個邊長，則稱這種走法為一次“移位

如：小宇在編號為3的頂點上時，那么他應(yīng)走3個邊長，即從3-4-5-1為第一次“移

位”，這時他到達編號為1的頂點；然后從1-2為第二次“移位”。

若小宇從編號為2的頂點開始行走，則第10次“移位”后,他所處頂點的編號為。

1

52

三、解答題

1.如圖，一架飛機由4向8沿水平直線方向飛行，在航線AB的正下方有兩個山頭C、。。

飛機在A處時，測得山頭C、D在飛機前方，俯角分別為60。和30。。飛機飛行了6千米到B

處時，往后測得山頭C的俯角為30。，而山頭。恰好在飛機的正下方。求山頭C、。之間的

距離.

2.張經(jīng)理到老王的果園里一次性采購一種水果，他倆商定：張經(jīng)理的采購價），（元/噸）

與采購量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖中的折線段ABC所示（不包含端點A,但包含

端點C）。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知老王種植水果的成本是2800元/噸，那么張經(jīng)理的采購量為多少時，老王在

這次買賣中所獲的利潤w最大？最大利潤是多少？

3.如圖，梯形中，AD//BC,ZBAD=90°,CE_LA￡>于點￡,AO=8cm,8C=4cm,

AB=5cm,從初始時刻開始，動點P、。分別從點4、B同時出發(fā)，運動速度均為lcm/s,

動點P沿A—8—C—E的方向運動，到點E停止;動點。沿8—C—E-O的方向運動，到

點O停止。設(shè)運動時間為xs,△尸的面積為yen?。（這里規(guī)定：點和線段是面積為。的

三角形。）解答下列問題：

Q

（1）當x=2s時，y=cm2;當x=1S時，>=cm2o

（2）當5W爛14時，求y與工之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）當動點尸在線段BC上運動時，求出使梯形加⑦的工的值。

（4）直接寫出在擎?zhèn)€運動過程中，使PQ與四邊形A3CE的對角線平行的所有工的值。

美好，的結(jié)局往往來自于艱難的過程.>

■試題簽案

一、選擇題

1.A解析：由圖甲中的紅心“▽”標志，可知它與等邊三角形相鄰，折疊成正方體是正方

體中的面CDHE。

2.C解析：：SM=27,S乙2=19.6,S丙2=1.6,.?.SM>SZ.2>S丙2,.?.丙旅行團的游

客年齡的波動最小，年齡最相近。

3.C解析：?.?高度力和飛行時間，滿足函數(shù)關(guān)系式：h=-5(Z-1)2+6,

...當f=l時，小球距離地面高度最大，

：.h=-5x(1-1)2+6=6米，

4.B解析：:△ABC沿。E折疊，使點A落在點4處，

：.ZDEA=ZDEA'=90°,AE=A'E,

：./\ACB^/\AED,

又4為CE的中點，

.EDAE

??-----=------,

BCAC

：.ED=2.

[2+x>13

5.B解析：由題意可得，《，解得所以，x為12,13,14。

x<13+2

二、填空題

1.5解析：I?菱形48C￡),其頂點A,8在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為一4和1,則AB=1一

(-4)=5,

：.AB^BC=5o

2.1解析：V|x-3|+|y+2|=0,

.?.x-3=0,y+2=0,

，x=3,y=-2,

.?.貝Ux+y的值為：3—2=1,

3.27°解析：VZAOC=108°,，NABC=54。，

"：BD=BC,：.4D=NBCD=-/ABC=27。。

2

4.2解析：?.,兩個等邊△然￡>,ACB。的邊長均為1,將△ABO沿AC方向向右平移到

△A8'。的位置,

.\A'M=A'N=MN,M0=DM=D0,OD'=D'E=OE,EG=EC=GC,B'G=RG=RB',

：.OM+MN+NR+GR+EG+OE=A'D'+CD^1+1=2。

5.3解析：???小宇在編號為2的頂點上時，他應(yīng)走的路線是2-4-3—1-2…由此可見

他是每4次“移位”循環(huán)一次，可得第10次“移位”后的位置編號是3。

三、解答題

1.解：在RSA3D中,VZBAD=30°,

/.BD=ABtan30°=6x—=273。

VZ/?AC=60°,ZABC=30°f

：.NAC8=90。,

告=3百。

??BC=4Bcos30°=6x

DE—BD-BE=2>/3-—1=——。

22

在RSCDE中，CO=y/CE2+DE2=^(1)2+(^)2=5(km)。

答：山頭C、O之間的距離為"F(km)o

2.ft?：(1)當0<爛20時，y=8000?

當2(KE40時，設(shè)BC滿足的函數(shù)關(guān)系式為y="+6,

」201+b=8000

則《

40Z+b=40(X)

解得k=-200,力=12000,

.?.y=-200x+12000

(2)當0y20時，老王獲得的利潤為：w=(8000-2800)x=5200爛104000,

此時老王獲得的最大利潤為104000元。

當20<立40時，老王獲得的利潤為：

卬=(-200x4-12000-2800)x=-200(%2-46x)=-200(x-23)2+105800o

,當x=23時，利潤w取得最大值，最大值為105800元。

V105800>104000,

二當張經(jīng)理的采購量為23噸時，老王在這次買賣中所獲得的利潤最大，

最大利潤為105800元。

3.解：