2022-2023學(xué)年云南省昆明市成考專升本高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年云南省昆明市成考專升本高

等數(shù)學(xué)一自考真題（含答案）

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題（50題）

1.下列反常積分收斂的是（）。

A.J嚴xdx

B.ji+^x2dx

ridx

C.1"

D.J,工

..■）.

Z0.（h

A.A.

B.3>hn

c.

D.‘

3.平衡積分卡控制是（）首創(chuàng)的。

A.戴明B.施樂公司C卡普蘭和諾頓D.國際標準化組織

設(shè)函數(shù)/（1）=<1+2.Z,—°，在才=o連續(xù)，則A等于

4k、J=0

A.e2B.e2C.lD.O

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上可導(dǎo)，且f(x)>0,則()

A.f(D>f(0)B.f(D<f(0)C.f(l)=f(O)D.f(l)與f(0)的值不能比較

若士心收斂,則下面命腦正確的是

"i

A.lim〃.可能不存在

B.[Qi%必定不存在

C.iim%存住,但lim4WO

Illim?w=O

才一?

7，?！灰驳扔冢ǎ?

A.2(e:-I)

C.-2(e':-I)

D.-r(e:■!)

8.

級數(shù)三（-1）23（a為大于零的常數(shù)）

"**n5

A.絕對收斂B.條件收斂

C.發(fā)散D.收斂性與a有關(guān)

sin.

x#0

/(X)=,X2'

9.設(shè)函數(shù)〃，=°；在*=0處連續(xù)，則等于（）。

A.2B.l/2C.lD.-2

10.設(shè)y=3+sinx,貝(jy=()

A.-cosxB.cosxC.l-cosxD.l+cosx

11.

設(shè)￡(-1)"-&滿足%>0,”=I,2,????且lima“=0,則該級數(shù)

n-l

A.必條件收斂

B.必絕對收斂

C.必發(fā)散

D.收斂但可能為條件收斂，也可能為絕對收斂

12.()

A.A.條件收斂

B.絕對收斂

C.發(fā)散

D.收斂性與k有關(guān)

對產(chǎn)微分方程s"+2?'Jv-b.利用待定系數(shù)法求其特解y?時,其形式可以設(shè)為

A.y*—A.rer

Ry?=--Ae,

(、?)，??：(/IJ-4li*

13.

f(2)-/(2-/t)_

設(shè)f(x)在點x=2處可導(dǎo)，且了'(2)=1,則lim

A—2h

B.2

C

14.1D.-1

15.單位長度扭轉(zhuǎn)角0與下列哪項無關(guān)()。

A.桿的長度B.扭矩C.材料性質(zhì)D.截面幾何性質(zhì)

函數(shù)/(n)在點xo處有定義是limfCz)存在的

16.a，。

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.以上都不對

設(shè)y=eG,則y'(O)=

設(shè)八/)=3］；］)則當(dāng)工-1時

A.f(x)是比g&)高階的無窮小

B.f(x)是比g(x)低階的無窮小

C.f(x)與g(x)為同階無窮小

18.D.f(x)與g(x)為等階無窮小

19.下列說法中不能提高梁的抗彎剛度的是()。

A.增大梁的彎度B.增加梁的支座C.提高梁的強度D.增大單位面積的

抗彎截面系數(shù)

20.設(shè)丫=0)§4乂，則dy=()o

A4sin4xdx

B.:ii4\di

sm4xdx

c.

—sin4%dx

D.4

設(shè)z=yx2+siny+31M，J—=

21.砂

A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+l

D.x2-cosy+l

當(dāng)x-0時，x是ln(l+W)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小

C.等價無窮小D.低階無窮小

23.二元函數(shù)z=x3-y3+3x?+3y2-9x的極小值點為0

A.(l,0)B.(l,2)C.(-3,0)D.(-3,2)

儀/■(X)』L"X+3KO在點x=0處連續(xù),則加

24.。(=0(

A.3B.2C.lD.O

D.0

26.

對于任意兩個事件A和B,下面結(jié)論正確的是()

A.若ABH0,則事件A、B一定獨立B.若ABW0,則A、B可能獨立

C.若AB=0,則A、B一定獨立D.若AB=0,則A、B一定不獨立

27.

直線/與工軸平行，且與曲線》=工一/相切，則切點的坐標是

A.(l,l)B(-l,l)

C.(0,-1)D.(0,1)

28.設(shè)Inx是f(x)的一個原函數(shù)，則r(x)=()o

X

X

29.設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)<0,f(x)<0,又△y=f(x+Z\x)-f(x),

dy=f(x)Ax,則當(dāng)△xX)時，有()

A.Ay>dy>0

B.A<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<Ay<0

30.方程2xZy2=l表示的二次曲面是()o

A.球面B.柱面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.圓錐面

設(shè)。={(JGy)^x3<ij.則jjdxdy=

31.cO。

A.27rB.nC.n/2D.n/4

32.

設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(o)=f⑴,則在9,1)內(nèi)曲線產(chǎn)f(x)

的所有切線中

A.至少有一條平行于x軸

B.至少有一條平行于y軸

C.沒有一條平行于x軸

D.可能有一條平行于y軸

設(shè)2=歷(丁3+y'),則dz?=

33.!*?-'>A.dx+dy

J(dz十dy)

15.0

(dj-4-d.y)

C^.

D.2(dx+dy)

34.當(dāng)X—>0時，2x+x2是x的

A.A.等價無窮小B.較低階無窮小C.較高階無窮小D.同階但不等價的

無窮小

35.點(-1,-2,-5)關(guān)于yOz平面的對稱點是()

A.(-l,2,-5)2,5)C.(l,2,5)D.(l,-2,-5)

36.設(shè)KM-3集唔等于()

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

37.函數(shù)z=x2-xy+y2+9x-6y+20有()

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=1D.極小值

f(-4,1)=-1

38』僅若"嚴=()o

A-cos￡+1十c

—士cos[+,十C

Bn.**

C?-rsin；+1+C

D/sin/工4c

39.曲線一八沁J

A.僅有水平漸近線

B.既有水平漸近線，又有鉛直漸近線

C.僅有鉛直漸近線

D.既無水平漸近線，又無鉛直漸近線

40.下列關(guān)系式正確的是()

［二d*-0

A.A.J-I.r'

4k=0

B.J-i*

!

sinx5d.r=0

C.-i

sinX4d.r=0

41.函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且F(x)>0,f"(x)<0,則曲線y=f(x)

在(a,b)內(nèi)().

A.單調(diào)增加且為凹B.單調(diào)增加且為凸C.單調(diào)減少且為凹D.單調(diào)減少

且為凸

42.

設(shè)f(z)為連續(xù)函數(shù)，則(["力&)'為

A.fG)B./(0-f(a)

C./(x)D./(x)—/(a)

設(shè)函數(shù)/(x)與g(x)均在(a,b)可導(dǎo)，且滿足fXx)<gXx),貝Uf(x)與g(x)的關(guān)系是

A.必有/(x)>g(x)B.必有ya)<g(x)

C.必有〃x)=g(x)D.不能確定大小

f(x)在點a有定義是limf(x)存在的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C,充分必要條件D.無關(guān)條件

45.方程x2+2y2+3z2=l表示的二次曲面是

A.圓錐面B.旋轉(zhuǎn)拋物面C.球面D.橢球面

46.設(shè)f(x)為區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，則曲線y=f(x)與直線x=a,

x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積為()。

J/（久）dx

A.

B.")祖

|/（久）d夕

C.

D.不能確定

議/(%)=卜'-21+3*0在點x=o處連續(xù)，則g

47ax=0

A.3B.2C.lD.O

lim(l+—)x=

48.18xA.e

B.e-1

DU*

49.

下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點，貝1J必有

B.若廣(%)=0,則點/必為f(x)的極值點

C.若“外在(a,b)內(nèi)有極大值，也有極小值，則極大值必定大于極小值

D.若f(x)在點％處可導(dǎo)，且點力為/(x)的極值點，則必有/1［%)=()

50.

設(shè)尸5*,則y'=

A.5XIn5B-h

C.X5，TD.5x\nx

二、填空題（20題）

51.函數(shù)y=cosx在［0,2m上滿足羅爾定理，則自=.

52..；；廿萬程、’=o的通解為?

x-1_y_z+3

53.過點M0（l,-2,0）且與直線3--1-1垂直的平面方程為

,1.

jrsinI十。，z<0,

設(shè)/（了）=?1,x=0.在x=0處連續(xù)，則a

（1-7）-

x>0

54.e

55.設(shè)>=<tanx）"，則y'=

56.

將積分1=改變積分順序，則I=

57.交換二重積分次序J（）idxJx2xf（x,y）dy=

58.y'=x的通解為

設(shè)2=/,貝11生=

59.未

60.以y=Ger+C?e，為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為

61.設(shè)y=e3x知，貝()y[

62.

二階常系數(shù)齊次線性方程r=o的通解為

63.y=lnx,則dy=

64設(shè)尸，則y'=

1+x

65.

函數(shù)/(x)=e:在處間斷.

66刖

lim±^

67.Ix+2

68.

極限limQ+旦止+"=_______.

JC

設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，=/(1)=1,則lim/G)二1=______

11X-1

70.

設(shè)“4小，唬+暴--------■

三、計算題（20題）

7］計算jairsinxdx.

1,

72.求曲線、=了+2在點（1,3）處的切線方程.

73.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點（1,1）處的切線1的

方程.

74.求-階線性微分方程滿足初始條件yl..1=0的特解.

75.當(dāng)x—0時f（x）與sin2x是等價無窮小量，則

76.研究級數(shù)二的收斂性（即何時絕對收斂，何時條件收斂，何

時發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

求兩級數(shù)的收斂區(qū)間(不考慮端點).

77.

78.求函數(shù)f(x)=x3-3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

79.計算(幾

80.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e°25P,當(dāng)p=10時，若價格上漲

1%,需求量增(減)百分之幾？

81.求微分方程丫"+3/+2丫=。的通解.

82.計算［中也

83.將f(x)=e-2X展開為x的基級數(shù).

84.設(shè)拋物線Y=Lx2與x軸的交點為A、B,在拋物線與x軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所

示).設(shè)梯形上底CD長為2x,面積為

S(x).

(1)寫出S(x)的表達式;

(2)求S(x)的最大值.

圖2-1

85.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為lWx2+y2W4,x>0,y>0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

86設(shè)？=?.>)是由方程所確定的隱函數(shù).求*

87.證明：當(dāng)x>l時.x>l+lnx.

88.

設(shè)區(qū)域D為：/+V44萬》0，計算JJ，nz+ydxd?

89.求函數(shù)/(，)='-=一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點.

90.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

四、解答題(10題)

91.

求曲線y=x2、直線y=2-x與x軸所圍成的平面圖形的面積A

及該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

92.計算上心

93.求由方程確定的y一乂工）的導(dǎo)數(shù)黃

911

判定級數(shù)二，-1'—的收斂性，若收斂，指出是絕對收斂還是條件收斂.

94.工W+n

95.

...1-C0SX

求hm---------?

“3xsinx

設(shè)函數(shù)z（z,數(shù)由方程F（z+三,y+/）=0所確定,

證明：%空"十^3z_

96.會dy

求極限lim

XT9

97.

98.

設(shè)Z是由e^z+xz-y=0確定的隱函數(shù)，求和品言

計算JjJx?+y2(lrdy,其中￡)={(x.y)|1W/+/W4}.

99.D

設(shè)丫=向|??求y'.

100.

五、高等數(shù)學(xué)（0題）

101.

>“g=，，則f（x）=。

六、解答題（0題）

X2-4

lim---.

102.求-2

參考答案

1.D

12F

A,fi+ooxdx==1=8發(fā)散；

l-

工&=梟3I=8發(fā)散；

i4-00

rydr=ln|x|]=8發(fā)散；

D.Lpdr=~~|=0+1=1收斂.故選D.

r（

2.D

本題考查的知識點為偏導(dǎo)數(shù)的計算.

2=rJ,

是關(guān)于y的寨函數(shù)，因此

故應(yīng)選D.

3.C

4.A

由lim+2工=lim(1+2x)r=lim(1+2x)b'2=e2,

.t*0r-*0

又因/(0)=A?/(Z)在工=0處連續(xù).故A=c2.

5.A由f”(x)>0說明f(x)在［0,1］上是增函數(shù)，因為1>0,所以f(l)>

f(0)o故選A。

6.D

7.D

本題考查的知識點為牛頓―萊布尼茨公式和定積分的換元法。

Je2*<lx=—Jcfc'd(-2.r)

因此選D。

8.A解析：

級數(shù)￡(-1廣'9，

“In2

㈠丁吟,￡=為〃的o級數(shù)，因此為收斂級數(shù)，由級數(shù)性質(zhì)可知￡￡

收斂，故乞(-1尸彳絕對收斂，應(yīng)選A.

”17

9.C

本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念。

liin/(x)=lim=lim—7=1,

x—0x->03jr—*0

由于/(0)=??

lin)/(x)=/(O)

f(x)在點x=0連續(xù)，因此「o'，故a=L應(yīng)選C。

10.B

n.D解析

級數(shù)是交錯級數(shù)，由題設(shè)條件可知其收斂.如L條件收斂

an

31

￡(-1)1W?絕對收斂，因此選D.

In

12.A

13.B

〔解析1由于f'(2)=1,貝IJ

一/(2)7(2-%)=]"(2-)-〃2)」.八2)，

…2h人--h222

14.C因此選U

15.A

16.D本題考查了判斷函數(shù)極限的存在性的知識點.

極限是否存在與函數(shù)在該點有無定義無關(guān).

［解析］y'=e2*=e=--e2"因此y，(0)=-3.

17.AIJ''

18.C

19.A

20.B

(解析］由fy=cos4x.IMlity=(cos4x)-sin4.r(40'="4sin4x.

dy==-4sin4xdx.故選B.

21.A

z="+siny+3,求生時，只需將x認定為常量，因此理

故選A.

dyay

22.D

［解析］lim-X*,.==—=?>.

ioIn(1+x)x工5x

根據(jù)無窮小階的比較的定義可知，當(dāng)XT0時，x是ln(l+f)的低階無窮小,因此選D.

于是會=3x2+61一9?

十=0?碧=-6丁+6,

dxdydy

=0,

仔駐點(一3,0).(—3,2).(1,0),(1,2)?

對于點(-3,0),A=-18+6=-12,B=0,C=6,B2-AC=72>0,故此點為

非極值點.

對于點(-3,2),A=-12,B=0,C=-12+6=-6,B2-AC=-72<0,故此點為

極大值點.

對于點(1,0),A=12,B=0,C=6,B2-AC=-72<0,故此點為極小值

點.

對于點(1,2),A=12=0,C=-6,B2-AC=72>0,故此點為非極值點.

24.A

［解析］由于1加/(力=1而(--2*+3)=3?又知/(x)在點r=0處連續(xù)，

i-*O

的此limf(x)=/(0)=a,可知a=3.故選A.

I解析I當(dāng)XT8時，sinx不存在極限，但它為有界變景，而,為無窮小盤，

X

由“有界變量與無窮小盤之積為無窮小量”的性質(zhì)可知選D.

這個題表明：既要注意JE要極限的形式，又要注意其條件.

26.B

27.C

28.C

［解析］由原函數(shù)概念，Inx是/(x)的個原函數(shù)時，有/(x)=(hu)

r(x)?f￡-±.

29.B

30.B

31.B

由二重積分性質(zhì)可知JJdxdy=5其中辦積分區(qū)域。的面積.此題

D

區(qū)域為半徑等Fl的陰，其面積KQ2=n.故選B.

32.A

生_3r'dz_3』

d.rj3+y3'dy1+y?.

Vdz=3.r：d‘r3)，'dy,加=春(&r+dy).

另解如下：

由一階微分形式不變性得dz=；---~r(3j2d,r+3y2d51)?

所以ck=—(dr+dy).

33.C”?n/

34.D

2r+x2

lim---------=lim(2+x)=2?

i-#0Xi-tO

35.D關(guān)于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數(shù)，故選D。

36.B【解析】求去將丫認作常數(shù)，可得警=2町+1?因此選&

/-Q+K9L6y+20.于磅=25.y+噎=r+216.

令空=°'F=°，得融點（一4.1）.又因3=2.率=_],安=2.

已工中，dJr-d-rdydy-

故對于點（一4.1）?4=2?8=-1.。=2?宙一人。二-3VO,

37.D且A>0?因此？=/（.r.j）在點（-4.1）處取得極小值,且極小值為/（-4.1）

38.D

sin：-+1)業(yè)=(sin:1Jr<-

39.A

40.C

本題考查的知識點為定積分的對稱性.

；fsinxsdx=0

由于swx5在卜i,i］上為連續(xù)的奇函數(shù)，因此,可知應(yīng)選c.

Isinx4dx=2Isinx4dx>0.

sinx」為偶函數(shù)，且當(dāng)OVxVl時，sinx4>0.因此」-I可知D不正確.

1］0=8

應(yīng)該指出，尤在x=0處沒有定義，且，一。廣，因此不滿足定積分的對稱性質(zhì).

產(chǎn)8

Ix3dx

相仿J-8為無窮區(qū)間上的廣義積分，也不滿足定積分的對稱性質(zhì).

41.B解析:本題考查的知識點為利用一階導(dǎo)數(shù)符號判定函數(shù)的單調(diào)性和

利用二階導(dǎo)數(shù)符號判定曲線的凹凸性.

由于在(a,b)內(nèi)F(x)>0,可知f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，又由于f"(x)<

0,可知曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)為凹，可知應(yīng)選B.

42.C

［解析］由知，在(a,6)內(nèi)，g(x)的變化率大于的變化率，

由于沒有g(shù)(a)與/(a)的已知條件，無法判明了(X)與g(x)的關(guān)系.

44.D解析：

lim/(x)是f(方在點看的去心鄰域g-亂㈤U(x0,好㈤內(nèi)的概念，

與六處在點與處是否有定義無關(guān).

45.D

本題考查了二次曲面的知識點。

可將原方程化為7+干+早=1,所以原方程表示的是橢球面.

~2T

46.B

本題考查的知識點為定積分的幾何意義。

由定積分的幾何意義可知應(yīng)選Bo

常見的錯誤是選C。如果畫個草圖，則可以避免這類錯誤。

47.A

由于lim/(x)=lim(/-2x+3)=3,又知/(x)在點D處連續(xù).

*-?0

因此lim/(x)=/(0)=a,可知。=3,故選A.

48.C

49.D

[解析J由極值的必要條件知D正確.[/、/***)

y=lxl在x=0處取得極值，但不可導(dǎo)，知A不個/：

-------------'-----------1--------------

正確.*x,

y=/在4=0處導(dǎo)數(shù)為0,但5=0不為它的極值

點，可知B不正確.

如右圖所示，玉為函數(shù)y=f(x)的極大值點，x?為/'(x)的極小值點，且了(*2)>/(玉),

可知C不正確.

因此選D.

50.A解析：

由導(dǎo)致公式可知(5')'=5,ln5,故選A.

cos2n-cosO=y?(2jr—0),即0=—sin$?2"，所以sin$=0,故f=n.

51.71y

52.

J=

軍法指導(dǎo)：本題芍代的知識點為微分方程通解的慨念?

一什方程為/=o.

dy-0,y=C.

53.3(x-l)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)

本題考查的知識點為平面與直線的方程.

由題設(shè)條件可知應(yīng)該利用點法式方程來確定所求平面方程.

所給直線1的方向向量S=(3,-1,1).若所求平面7T垂直于直線1,則

平面兀的法向量n〃s,不妨取n=s=(3,-1,1).則由平面的點法式方

程可知

3(x-l)-[y-(-2)]+(z-0)=0,

即3(x-l)-(y+2)+z=0

為所求平面方程.

或?qū)憺?x-y+z-5=0.

上述兩個結(jié)果都正確，前者3(x-l)-(y+2)z=0稱為平面的點法式方程,

而后者3x-y+z-5=0稱為平面的一般式方程.

lim=lim(jsin—+a)=a.lim/(x)=lim"=]，

——'J*/*.A

.r*0J-Ur-O0'v

541又/(0)=1，所以/(外在彳=°連續(xù)應(yīng)有。=I.

55.

2

x、▲/secx1i\

(tanr))(---------Intanx)

\xtarwxf

12.

iII----?secx?JC-Intanr

y=(tanx)7?則lnj=—intarir.所以一yf=---------------------

工y工.

,xsec2x-tarkrlntanx、j_rsec21-tanj-lntan-r

y=y---------=-----------=z(tan-r)z

工“tanrx2tanr

=(tanx)x(---ylntanx

\xtanjrx1/

注：本題另解如下：

y=[(tanr)-7J={9=(eV1"?1/=(tyinuar.(Intam),

x——?sec2x-Intanx

=(tanr)i，~~5----------

=(tanx)+(*乎d—A-lntanx).

\xtanj-xz/

56.

*2”「4C2

d?/(i,?)cLr+dyf(

J0Jy/2J2Jy/2

本題考查了改變積分順序的知識點O

由I=J^dxJf(x,y)dyjj/(x,y)dxdy,則D={(x?>)|04z&2?x(?y42x]，。還可有

另一種衰示方法,D={(x,y)|04342,戈4145U{(1~)|24》&4,出《工42),所以I

￡dyf(I,y)dz+J2dq申/(x.y)cLr.

57.因為Ndx/fa，y)dy,所以其區(qū)域如圖所示，所

以先對,的積分為盛?

58.

尹C

本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程.

,y=[xd.r=3—+C.

由于y'=x,可知‘J2

求”時，認定為的嘉函數(shù)，小=>”

［解析］zX

dxax

59.

.

y0

61.3e3x

62.

y=G+CM

y=G+CM

y"=Q,特征方程為J=0,特征根為n=0(二重根)，于是

解析：二階常系數(shù)齊次線性方程的通解為y=G+Qx.

63.(l/x)dx

64.

xex

(1+x)2

本題考查的知識點為函數(shù)商的求導(dǎo)運算.

考生只需熟記導(dǎo)數(shù)運算的法則

/IZ\_

I"V2

可知/-(e<\'=(e')'(1+*)-e，(1+戈)

'1+X/(1+x)2

xex

=n+x)r

本題中有些考生還不會運用求導(dǎo)法則，誤以為

e，,(e')'

y=---,y=------=ex

因此出現(xiàn)1+工(1+*)'的錯誤.

這是由于考生沒掌握基本知識才出現(xiàn)的錯誤.

65.

66.

本題考查的知識點為重要極限公式.

67.7/5

68.eab

69.1

70.

本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

由于z=可知

Y=2">‘?3.=2x2y.

dxdy

因此二+”=2xy2+3+2x27.

dXdv

71.

設(shè)u=arcsin=1,則

arcsinxdx=xarcsinx-idx

=zarcsinx+；/(1-x2)-Td(1"x2]

=xarcsinx+>/T-x+C.

72.曲線方程為'=3+2,點(i,3)在曲線上.

>=->,).「-2,因此所求曲線方程為-3=_2(1),或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f(x)在點xO處的導(dǎo)數(shù)0(x0)存在，貝!|表明曲線y=f(x)在點

(xO,fxO))處存在切線，且切線的斜率為f，(xO).切線方程為

r(/)=/'(/)(x-x)

如果/'(%)射0,則曲線y=/(外在點(1。/(%))處的法線方程為

(?-X).

—忐0

如果/''(xC=0.則v=〃xQ為曲線v=Ax)在點(X..處的水平切線.

73.

y=x-ln工的定義域為(0,+8),y'=1-；.

當(dāng)x=l時,y'=0;當(dāng)x>l時,y'>0,函數(shù))川-lnx單調(diào)增加.

當(dāng)0<x<l時,y'<0,函數(shù)y=x-lnx單調(diào)減少.

曲線):x-lnx在點(1.1)處的切線方程為y-1=0,

74.由一階線性微分方程通解公式有

y=e+”>"g(x)eidx+C)

=戶(卜仲&+C)

-e'"<(,e'1"'d.*+C)=x(jx?--d*?cj=*(x+C),

將?-I...=0代人上式.可得C=-l,因此所求特解為r=*2-x.

75.由等價無窮小量的定義可知觸L

76.

【解析】記”.=(-1尸口,則iu」=士,從而知y?u.?=y上為戶級數(shù)，且

nn片門彳力n

當(dāng)a>l時，V2收斂，因此f(-l)"T二絕對收斂.

??1nn

當(dāng)0<aWl時，￡上發(fā)散.注意到此時￡(-1尸一'/為交錯級數(shù)，

II=—>------------=Iu

*/??(n+1)-

limIunI=lim—=0,

￡(-□"‘/收斂’故此時條件收斂

由萊布尼茨定理可知當(dāng)0<aWl時

解:

77.

由23Vl可解得11

得3

故所給級數(shù)收斂區(qū)間為

78.函數(shù)的定義域為

2

(-00,+?)./'(X)=3X-3.

令/''6)=().得駐點加=?1,扁=1.列裘得

X(-*.-!)-1(-1.1)1(1.**)

廣30-0

/(-n?3/(!)?-1

Z

為極大(ft為極小值

函數(shù)/（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-8+?）.

函數(shù)/（X）的小調(diào)減區(qū)間為［-1,1］.

〃-1）=3為機大值/（1）=-1為極小侑.

注意

如果洛（-8.-1］寫成（-8.-1）,將「［.+8）寫成（I.+8）.爵f-l.ll寫成（-1J）也讓

79.

【解析】令，=77.則x=/，dx=2tdt.當(dāng)x=0時,，=0；當(dāng)x=1時」=I

J^dx=J2te'dt

=2(re[:-j/dr)=2(e-e[：)=2.

__lOOe0^.<-0.25)

P!OOeoss*-=0.25/>

80.需求規(guī)律為Q=100ep225p川。)2.5??.當(dāng)P=10時

價格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep225P,

2）-P”號蘇△&=0-25/

（10）--2.5

?...當(dāng)P=10時，價格上漲1%需求量減少

2.5%

81.

｛解析】特征方程為r'+3r+2=0.

特征根r,=-2,r2="l.

方程的通解為y=C,e口?J二

82.

|l±Jl!_?dx=jldx+

=Inx+JInxdlnx=Inx***—(Inx)2+C,

或11+.?+In%)dlnx=p1Inx)d(1+Inx)

=y(l4In*)2+C.

83.

【解析)由于e'=y?(-8<x<+8).可得

?*—??0n1?

3(-2x)"：(-1)2//_______>

e=>=>--------------(-8<x<48)

J/i!￡n!

84.

由F"T'解得X=±1,則A、8兩點坐標分別為

和8(1.0),48=2.

(1)S(x)=y(2+2x)(l-x2)=(l+x)(l-*2).

(2)5'(工)=-3--2工+1.令5'(*)=0,即(3彳-1)(?1)=0,得航=",蜘=-1(舍去).

S*(x)|1=(-6x-2)I廣-4<0,則S(g)嶗為極大值.根據(jù)實際問題,S旁為最大值

85.由二重積分物理意義知

m=卜(x,y)d(r=J(x2+y1)dxdy=Jdflj/dr-

86.

利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，記

f(x.v.s)=x1+yi-e',

則

F>2x,F：=-ef

dzF：2x

—二—-----.

dxF：/

87.

設(shè)/(x)=*?”lnx,則/(工)的定義域為(0.48).

/*(*)=I"—.

令yJO得x=l.

當(dāng)X>l時，(M)=l-y>0.可知/(x)單調(diào)增加.

由于〃l)=o,可知當(dāng)X>l時J(x)?■⑴=0,從而x-l-lnx>o,即

I-4-Inr.

88.

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

j^x2+y2dxdy=|dO^r^dr

=J：R：曲

8

7苧=

解利用極坐標，區(qū)域D可以表示為

0<^<7t,0<r<2,

042+「dxdy=|曲jr2dr

=￡P(guān)I>

=J：I■出=F-

89.

f(x)的定義域為(-8,0)U(0,+8).

/'(*)=2/4O=2-4

Tr

令/'(M)=0得X=-1；令"(x)=0.得x=：2

列表:

X(-B.-1)-1(-1.0)0(。⑶（處+8）

f

y-0..

y-?-0

/（-D=3拐點

y\uZu沒定義ZnZu

為極小值（蘇.0）

函數(shù)/（X）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8,-l）；單調(diào)增加區(qū)間為（-1.0）u（0.+8）；極小值為

/（-D=3.

曲線y=f（x）的凹區(qū)間為（-8.0）。（蘇.+8）:凸區(qū)間為（0.公）：拐點為（公.0）.

說明

由于，（工）在點工=0處沒有定義.因此，（口的單調(diào)增加區(qū)間為（-1.0）。（0.+8）.不

能寫為（0.+8）!

90.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為yn-4y'+4y=0,

特征方程及特征根為，-4r+4=0,n.j=2,

I

齊次方程的通解為r=(Cl+C,)e*.

在自由項/(x)=e，中,a=-2不是特征根，所以設(shè)/=代入原方程,有

故原方程通解為y=(G+G)e”+土e.

16

91.

解平面圖形見右圖

A=J：(2-x)dx=；N+(

=押4-2)一(2一冊

y=2T

4可另求如下：由y=f,有x=6；由y=2-x,有x=2-y,故

22fl'125

A=J：(2-y-Q)dy=2y--,

23J。236

z可：(2-y)2d(22

匕='兀(2-y)dy-j'onydy=--y)~y

ZIo

3--八冗7九兀11

=--j(2->)y=--^U5)——==7■加?

2326

解平面圖形見右圖2月k"

A=J：x&+J：Q-x)dx=，3+(

=丑(4-2)-(2-外右

A可另求如下：由y=f,有x=6；由y=2-x,有x=2-y,故

22H'125

A=J：(2-y-W)dy=2y--,

23J。236

匕=J%(2_y)?dy_J：咖y=_冗J：(2-y)2d(2-y)-9?

LIo

八元7孔兀11

=--j(2-y)3-y=-yC-5)——=---x=—.

2326

92.

fdx=[dinx=]

nInx+C.

)xlnxJInx

本題考查的知識點為不定積分的換元積分運算.

|)(lnx)—dx

注意J分，通常弓I入變換t=lnx.

(市=—dx.

本例求J"E"，可以令81nx,則％

f1,fdt.?

—：----d久=——=Ini+C

JxlnxJt

=lnInx+C.

也可以不寫出新變元，利用湊微分法計算：

本題中出現(xiàn)的主要問題是不定積分運算丟掉任意常數(shù)c.

93.

將所給方程兩端關(guān)于X求導(dǎo)

/y'+cosj-2=0

一手

解：/=—----滿足⑴葭x>（H）lim^