北師大版七年級數(shù)學(xué)上冊專題7.1 期末復(fù)習(xí)解答壓軸題專題（壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練）（學(xué)生版）

專題7.1期末復(fù)習(xí)解答壓軸題專題1．（2023·湖南·長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期末）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，例如；數(shù)軸上點(diǎn)M、點(diǎn)N表示的數(shù)分別為m、n，則M、N兩點(diǎn)之間的距離MN=m?n，線段MN的中點(diǎn)表示的數(shù)為m+n2．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)為?1，點(diǎn)（1）直接寫出：線段MN的長度是______，線段MN的中點(diǎn)表示的數(shù)為______；（2）x表示數(shù)軸上任意一個(gè)有理數(shù)，利用數(shù)軸探究下列問題，直接回答：x+1+x?3有最小值是______，（3）點(diǎn)S在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x?1=76x+4的解，動點(diǎn)P在數(shù)軸上運(yùn)動，若存在某個(gè)位置，使得PM+PN=PS，則稱點(diǎn)P是關(guān)于點(diǎn)M、N2．（2023·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）如圖，甲、乙兩人(看成點(diǎn))分別在數(shù)軸上表示-3和5的位置，沿?cái)?shù)軸做移動游戲，每次移動游戲規(guī)則：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動．①若都對或都錯(cuò)，則甲向東移動1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動1個(gè)單位；②若甲對乙錯(cuò)，則甲向東移動4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動2個(gè)單位；③若甲錯(cuò)乙對，則甲向西移動2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動4個(gè)單位．（1）若經(jīng)過第一次移動游戲，甲的位置停在了數(shù)軸的正半軸上，則甲、乙猜測的結(jié)果是______(填“誰對誰錯(cuò)”)（2）從如圖的位置開始，若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯(cuò)，設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m．①試用含n的代數(shù)式表示m；②該位置距離原點(diǎn)O最近時(shí)n的值為（3）從如圖的位置開始，若進(jìn)行了k次移動游戲后，甲與乙的位置相距2個(gè)單位，則k的值是3．（2023·江蘇·七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，到原點(diǎn)的距離為2，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，AB＝18．動點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在數(shù)軸上勻速運(yùn)動，它們的速度分別為3個(gè)單位長度/秒、1個(gè)單位長度/秒，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為（2）若動點(diǎn)P、Q均向右運(yùn)動．當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是，P、Q兩點(diǎn)間的距離為個(gè)單位長度．請問當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，并求出此時(shí)點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；（3）若動點(diǎn)Q從B點(diǎn)向左運(yùn)動到原點(diǎn)后返回到B點(diǎn)停止，動點(diǎn)P從A點(diǎn)向右運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q停止時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動．請直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，在PA、PB和AB三條線段中，其中一條線段的長度是另一條線段長度的3倍．4．（2023·山東青島·七年級期末）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)．受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3整除的余數(shù)，把正整數(shù)分為三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．（1）2022屬于_______類（A，B或C）；（2）①從B類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于_______類（填A(yù)，B或C）；②從A類數(shù)中任意取出2021個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出2022個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出k個(gè)數(shù)（k為正整數(shù)），把它們都加起來，則最后的結(jié)果屬于______類（填A(yù)，B或C）；（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)（m，n為正整數(shù)），把他們都加起來，若最后的結(jié)果屬于A類，則下列關(guān)于m，n的敘述正確的是_______（填序號）．①m屬于A類；②m+2n屬于A類；③m，n不屬于同一類；④|m?n|屬于A5．（2023·浙江·七年級期末）如果一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是n，十位數(shù)字是m，那么我們可以把這個(gè)兩位數(shù)簡記為mn，即mn=10m+n．如果一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是c，十位數(shù)字是b，百位數(shù)字是a，那么我們可以把這個(gè)三位數(shù)簡記為abc，即abc（1）若一個(gè)兩位數(shù)mn滿足mn=7m+5n，請求出m，n（2）若規(guī)定：對任意一個(gè)三位數(shù)abc進(jìn)行M運(yùn)算，得到整數(shù)Mabc=a3+b2（3）已知一個(gè)三位數(shù)abc和一個(gè)兩位數(shù)ac，若滿足abc=66．（2023·江蘇南通·七年級期末）對于數(shù)軸上不重合的兩點(diǎn)A，B，給出如下定義：若數(shù)軸上存在一點(diǎn)M，通過比較線段AM和BM的長度，將較短線段的長度定義為點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”．若線段AM和BM的長度相等，將線段AM或BM的長度定義為點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”．（1）當(dāng)數(shù)軸上原點(diǎn)為O，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1，點(diǎn)B表示的數(shù)為5時(shí)①點(diǎn)O到線段AB的“絕對距離”為______；②點(diǎn)M表示的數(shù)為m，若點(diǎn)M到線段AB的“絕對距離”為3，則m的值為______；（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)P表示的數(shù)為-6，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長度的速度向正半軸方向移動時(shí)，點(diǎn)B同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度的速度向負(fù)半軸方向移動，設(shè)移動的時(shí)間為tt>0秒，當(dāng)點(diǎn)P到線段AB的“絕對距離”為2時(shí)，求t7．（2023·重慶渝北·七年級期末）如圖，數(shù)軸上有A，B，C三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是?4，點(diǎn)A、C對應(yīng)的數(shù)分別為a，c，且a，c滿足|a+12|+（1）直接寫出a，c的值；（2）若數(shù)軸上有兩個(gè)動點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸同時(shí)出發(fā)向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)P速度為3單位長度/秒，點(diǎn)Q速度為1單位長度/秒，若運(yùn)動時(shí)間為t秒，運(yùn)動過程中，是否存在線段AP的中點(diǎn)M到點(diǎn)Q的距離為4，若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，另外兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)分別隨著P，Q一起運(yùn)動，且始終保持線段EP=2，線段FQ=3（點(diǎn)E在P的左邊，點(diǎn)F在Q的左邊），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，線段EP立即以相同的速度返回，當(dāng)點(diǎn)P再次運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，線段EP和FQ立即同時(shí)停止運(yùn)動，在整個(gè)運(yùn)動過程中，是否存在使兩條線段重疊部分為EP的一半，若存在，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)P表示的數(shù)的過程寫出來：若不存在，請說明理由.8．（2023·江蘇鹽城·七年級期末）對于數(shù)軸上的點(diǎn)M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點(diǎn)，我們把M、P兩點(diǎn)間距離的最小值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“靠近距離”，記作d1（點(diǎn)M，線段AB）；把M、P兩點(diǎn)間的距離的最大值稱為點(diǎn)M關(guān)于線段AB的“遠(yuǎn)離距離”，記作d2（點(diǎn)M，線段特別的，若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，則M，P兩點(diǎn)間的距離為0．已知點(diǎn)A表示的數(shù)為-5，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．例如如圖，若點(diǎn)C表示的數(shù)為3，則d1（點(diǎn)C，線段AB）=1，d2（點(diǎn)C，線段（1）若點(diǎn)D表示的數(shù)為-7，則d1（點(diǎn)D，線段AB）_____________，d2（點(diǎn)D，線段（2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為m，d1（點(diǎn)M，線段AB）=3，則m的值為_____________；若點(diǎn)N表示的數(shù)為n，d2（點(diǎn)N，線段AB）=12，則（3）若點(diǎn)E表示的數(shù)為x，點(diǎn)F表示的數(shù)為x+2，d2（點(diǎn)F，線段AB）是d1（點(diǎn)E，線段AB）的3倍．求9．（2023·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校七年級期末）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，分別表示數(shù)－18、－10、20，有兩條動線段PQ和MN（點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)P總在點(diǎn)Q的左邊，點(diǎn)M總在點(diǎn)N的左邊），PQ＝2，MN＝5，線段MN以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)B開始一直向右勻速運(yùn)動，同時(shí)線段PQ以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)A開始向右勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，線段PQ立即以相同的速度返回；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，線段PQ、MN立即同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（整個(gè)運(yùn)動過程中，線段PQ和MN保持長度不變）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為______，點(diǎn)M表示的數(shù)為______．（2）當(dāng)開始運(yùn)動后，t＝______秒時(shí)，點(diǎn)Q和點(diǎn)C重合．（3）在整個(gè)運(yùn)動過程中，求點(diǎn)Q和點(diǎn)N重合時(shí)t的值．（4）在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)線段PQ和MN重合部分長度為1時(shí)，請直接寫出此時(shí)t的值．10．（2023·江蘇·七年級期末）已知點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)c，且A、B表示的數(shù)a、b滿足：（a+5）2020+|7﹣b|＝0．（1）當(dāng)AC的長度為4個(gè)單位長度時(shí)，則a＝，b＝，c＝．（2）在（1）條件下，點(diǎn)P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，求P、Q的長度．（3）在數(shù)軸上有兩個(gè)同時(shí)出發(fā)的動點(diǎn)M、N，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)停留3秒，再加快速度（仍保持勻速運(yùn)動）返回到點(diǎn)A，點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即以相同速度返回到原點(diǎn)O并停止運(yùn)動，結(jié)果點(diǎn)M到達(dá)A點(diǎn)比點(diǎn)N到達(dá)O點(diǎn)晚1秒，記點(diǎn)M從出發(fā)到運(yùn)動結(jié)束的時(shí)間為t秒，在整個(gè)運(yùn)動過程中，當(dāng)MN=3時(shí),求t的值求t的值．11．（2023·遼寧沈陽·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C分別表示的數(shù)為﹣70、60、20，在點(diǎn)O處有動點(diǎn)P，在點(diǎn)C處有動點(diǎn)Q，P點(diǎn)和Q點(diǎn)可在數(shù)軸上勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)點(diǎn)P以每秒10個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動t秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A相距___個(gè)單位長度（用含t的代數(shù)式填空）．（2）若點(diǎn)Q先停留在點(diǎn)C的位置點(diǎn)，P以每秒10個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動，當(dāng)P與Q相遇時(shí)，點(diǎn)P就停留在點(diǎn)Q的位置，然后點(diǎn)Q以點(diǎn)P的速度和方向繼續(xù)運(yùn)動；當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)B時(shí)，點(diǎn)Q則以相同的速度反向運(yùn)動；當(dāng)Q與P相遇時(shí)，點(diǎn)Q就停留在點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P以點(diǎn)Q的速度和方向繼續(xù)運(yùn)動；當(dāng)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P則以相同的速度反向運(yùn)動到達(dá)O后停止運(yùn)動．①求點(diǎn)P從開始運(yùn)動到最后停止時(shí)t的值；②當(dāng)線段PB的中點(diǎn)與線段OQ的中點(diǎn)重合時(shí)，請直接寫出t的值．12．（2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)七年級期末）如圖，數(shù)軸上線段AB=2（單位長度），CD=4（單位長度），點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是?10，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是16．若線段AB以6個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動，同時(shí)線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒，請解決下列問題：（1）當(dāng)t=1時(shí)，A點(diǎn)表示的數(shù)為_________，此時(shí)BC=_________；（2）當(dāng)運(yùn)動到BC=6（單位長度）時(shí)，求運(yùn)動時(shí)間t的值；（3）P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到線段CD上時(shí)，若關(guān)系式BD?AP=4PC成立，請直接寫出此時(shí)線段PD的長：PD=________．13．（2023·河北唐山·七年級期末）[知識背景]：數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點(diǎn)的距離AB=a?b，A，B的中點(diǎn)P表示的數(shù)為a+b[知識運(yùn)用]：若線段AB上有一點(diǎn)P，當(dāng)PA=PB時(shí)，則稱點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為a和b，a+22+b?4=0，（1）a=______，b=______；（2）若點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，則P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)x為______．若B為線段AP的中點(diǎn)時(shí)則P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)x為______（3）若點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動，點(diǎn)A的速度為1個(gè)單位長度/秒，點(diǎn)B的速度為3個(gè)單位長度/秒，則經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)B追上點(diǎn)A？（列一元一次方程解應(yīng)用題）；此時(shí)點(diǎn)B表示的數(shù)是______（4）若點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)向左運(yùn)動，它們的速度都為1個(gè)單位長度/秒，與此同時(shí)點(diǎn)P從-16處以2個(gè)單位長度/秒的速度向右運(yùn)動，經(jīng)過多長時(shí)間后，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)P三點(diǎn)中其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)？__________________（直接寫出答案．）14．（2023·全國·七年級期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC=6cm，CB=4cm．點(diǎn)M以1cm/s的速度從點(diǎn)A沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)N以2cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上做往返運(yùn)動（即沿C→B→C→B→?運(yùn)動），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M、N都停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t=1時(shí)，求MN的長．（2）當(dāng)點(diǎn)C為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，求t的值．（3）若點(diǎn)P是線段CN的中點(diǎn)，在整個(gè)運(yùn)動過程中，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度并寫出其對應(yīng)的時(shí)間段；如果不存在，請說明理由．15．（2023·浙江舟山·七年級期末）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)，（1）若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動，①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②當(dāng)點(diǎn)C是線段DE的三等分點(diǎn)時(shí)，求AD的長；（2）若AB＝2DE，線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式AD+ECBE=32，則16．（2023·遼寧大連·七年級期末）如圖1所示，已知線段AB=32cm，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），M，N兩點(diǎn)分別從A、P同時(shí)出發(fā)沿射線AB向右運(yùn)動，點(diǎn)M的運(yùn)動速度為4cm/秒，點(diǎn)N運(yùn)動速度為3cm/秒，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒t≠8．（1）若AP=8cm，①t=1時(shí)，則MN的長為______；②點(diǎn)M、N在移動過程中，線段BM、MN之間是否存在某種確定的的數(shù)量關(guān)系，判斷并說明理由；（2）如圖2所示，點(diǎn)M、N在射線AB上移動，若BM=4，MN=3，直接寫出APPB17．（2023·湖南岳陽·七年級期末）（1）特例感知：如圖①，已知線段MN＝30cm，AB＝2cm，線段AB在線段MN上運(yùn)動(點(diǎn)A不超過點(diǎn)M，點(diǎn)B不超過點(diǎn)N)，點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是AM，BN的中點(diǎn)．①若AM＝16cm，則CD＝cm；②線段AB運(yùn)動時(shí)，試判斷線段CD的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CD的長度，如果變化，請說明理由．（2）知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個(gè)角有怎樣的數(shù)量關(guān)系．請說明理由．（3）類比探究：如圖③，∠AOB在∠MON內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k18．（2023·湖北十堰·七年級期末）如圖，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）若射線OA繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OD以每秒旋轉(zhuǎn)5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒0<t<8，試求當(dāng)∠AOD=15°時(shí)t的值；（3）若∠AOC繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)∠BOD繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒0<t<12，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠MON的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出其值；若改變，說明理由．19．（2023·吉林白山·七年級期末）如果兩個(gè)角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個(gè)角互為垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角．(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角)（1）如圖1所示，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，則∠AOD垂角為和；（2）如果一個(gè)角的垂角等于這個(gè)角的補(bǔ)角的23（3）如圖2所示，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射線OC繞點(diǎn)O以9°/s的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O以6°/s的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條射線OC、OD同時(shí)運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為ts(0＜t＜20)，試求當(dāng)t為何值時(shí)，∠AOC和∠AOD互為垂角．20．（2023·全國·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=13∠AOB，則我們稱射線OC是射線OA的“友好線”，例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=13∠AOB，稱射線（1）如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的友好線，則∠AOM=________（2）如圖3，∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3゜的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是40°，若存在，求出t②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是另一條射線的友好線．（直接寫出答案）21．（2023·湖北黃石·七年級期末）將一副直角三角板ABC，AED，按如圖1放置，其中B與E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．（1）如圖1，點(diǎn)F在線段CA的延長線上，求∠FAD的度數(shù)；（2）將三角板AED從圖1位置開始繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AM，AN分別為∠BAE，∠CAD的角平分線．①如圖2，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的內(nèi)部時(shí)，求∠MAN的度數(shù)；②當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)至∠BAC的外部時(shí)，直接寫出∠MAN的度數(shù)．22．（2023·全國·七年級期末）已知：如圖1，∠AOB=30°，∠BOC=3（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）如圖2，若射線OP從OA開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OQ從OB開始繞點(diǎn)O以每秒旋轉(zhuǎn)6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；其中射線OP到達(dá)OC后立即改變運(yùn)動方向，以相同速度繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OQ到達(dá)OC時(shí)，射線OP，OQ同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒，當(dāng)∠POQ=10°時(shí)，試求t的值；（3）如圖3，若射線OP從OA開始繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，試求在運(yùn)動過程中，∠MON的度數(shù)是多少？（請直接寫出結(jié)果）23．（2023·四川成都·七年級期末）已知∠AOB=90°，∠COD=80°，OE是∠AOC的角平分線．（1）如圖1，當(dāng)∠AOD=13∠AOB（2）如圖2，若OD在∠AOB內(nèi)部運(yùn)動，且OF是∠AOD的角平分線時(shí)，求∠AOE?∠DOF的值；（3）在（1）的條件下，若射線OP從OE出發(fā)繞O點(diǎn)以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OD出發(fā)繞O點(diǎn)以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若射線OP、OQ同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)t秒(0<t<23.5)后得到∠COP=43∠AOQ24．（2023·陜西寶雞·七年級期末）以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=40°，將一個(gè)直角角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即∠DOE=90°．（1）如上圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD=_______；（2）如上圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動到某個(gè)位置，①若OE恰好平分∠AOC，則∠COD=_______；②若OD在∠BOC內(nèi)部，請直接寫出∠BOD與∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（3）將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動（OD與OB重合時(shí)為停止）的過程中，恰好有∠COD=13∠AOE25．（2023·重慶南開中學(xué)七年級期末）已知∠AOB=150°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線．（1）如圖（1），若∠BOC=60°，OD為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠COD=13∠BOC，OE平分∠AOB（2）如圖（2），若OC、OD是∠AOB內(nèi)部的兩條射線，OM、ON分別平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求∠AOC?∠BOD∠MOC?∠NOD（3）如圖（3），C1為射線OB的反向延長線上一點(diǎn)，將射線OB繞點(diǎn)O順時(shí)針以6°/s的速度旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后OB對應(yīng)射線為OB1，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（0＜t35），OE平分∠AOB1，OF為∠C1OB1的三等分線，∠C1OF=1326．（2023·全國·七年級期末）平面內(nèi)一定點(diǎn)A在直線CD的上方，點(diǎn)O為直線CD上一動點(diǎn)，作射線OA,OE,OA'，當(dāng)點(diǎn)O在直線CD上運(yùn)動時(shí)，始終保持∠COE＝90°，∠AOE=∠A'OE，將射線OA（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到使點(diǎn)A在射線OE的左側(cè)時(shí)，若OB平分∠A'OE（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到使點(diǎn)A在射線OE的左側(cè)時(shí)，且∠AOC=4∠A'OB（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到某一時(shí)刻時(shí)，滿足∠A'OB=120°27．（2023·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點(diǎn)的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點(diǎn)P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運(yùn)用】（1）如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；（1）如圖2，點(diǎn)O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時(shí)，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，∠AOB繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時(shí)，求∠CON的度數(shù)．28．（2023·江蘇·射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)七年級期末）【感受新知】如圖1，射線OC在∠AOB在內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的三倍，則稱射線OC是∠AOB的“和諧線”．[注：本題研究的角都是小于平角的角．]（1）一個(gè)角的角平分線_______這個(gè)角的“和諧線”．（填是或不是）（2）如圖1，∠AOB=60°，射線OC是∠AOB的“和諧線”，求∠AOC的度數(shù)．【運(yùn)用新知】（3）如圖2，若