2023-2024學(xué)年福建省泉州市永春八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省泉州市八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．在實(shí)數(shù)，0、﹣2.36、π、、中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．下列式子正確的是（）A． B． C． D．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4 C．x6÷x2＝x3 D．x2?x3＝x54．若要說明命題：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命題，則可以舉的反例是（）A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣2，b＝35．如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個(gè)條件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA6．多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±207．如果多項(xiàng)式x2﹣mx﹣35分解因式為（x﹣5）（x+7），則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．12 D．﹣128．通過計(jì)算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的計(jì)算式子是（）A．a(chǎn)（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x29．如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點(diǎn)F，∠B＝30°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．60° D．55°10．如圖，△ABC中，BC＝10，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD△BDC的最大值為（）A．40 B．28 C．20 D．10二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11．25的平方根是．12．比較大?。?（用“＞”或“＜”號(hào)填空）．13．計(jì)算：4a2b2c÷（﹣2ab2）＝．14．已知：，那么x+y的立方根等于．15．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD＝3，則DE的長是．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥AD，過點(diǎn)C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于點(diǎn)F，其中DE＝EF．下列結(jié)論：①△ABD≌△ACF；②BD+CE＝DE△ADE＝8，S△CEF＝3．則S△ABC＝19；④∠BAD＝45°﹣∠CAE．其中正確的是（填序號(hào)）．三、解答題（共86分）17．計(jì)算：（1）﹣﹣+|1﹣|；（2）（﹣a2）3﹣6a2?a4．18．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）（a+1）（a﹣5）+9．19．先化簡，再求值：[（x+2y）2+（3x+y）（3x﹣y）﹣3y（y﹣x）]÷（2x），y＝2．20．如圖，點(diǎn)F、C在BE上，BF＝CE，∠B＝∠E．求證：AB＝DE．21．如圖，學(xué)校操場(chǎng)主席臺(tái)前計(jì)劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）（1）用含a，b的整式表示花壇的面積；（2）若a＝2，b＝1，工程費(fèi)為500元/平方米23．如圖1，在△ACO中，OA＝OC，∠BAO＝∠DCO．（1）求證：OB＝OD；（2）如圖2，AB交CD于點(diǎn)P，若，求證：A，O24．【閱讀】“若x滿足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．設(shè)10﹣x＝a，x﹣6＝b，則（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3），（7﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．（1）【理解】①若x滿足（50﹣x）（x﹣35）＝100，則（50﹣x）2+（x﹣35）2的值為；②若x滿足（x﹣1）（3x﹣7）＝，試求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；（2）【應(yīng)用】如圖，長方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，CG＝30，長方形EFGD的面積是200，四邊形PQDH是長方形．延長MP至T，使PT＝PQ，使FO＝FE，過點(diǎn)O、T作MO、MT的垂線，求四邊形MORT的面積．（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）25．已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，CF之間的數(shù)量關(guān)系．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1．在實(shí)數(shù)，0、﹣2.36、π、、中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．解：，π，是無限不循環(huán)小數(shù)；0，是整數(shù)，它們不是無理數(shù)；綜上，無理數(shù)共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無理數(shù)的識(shí)別，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．下列式子正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義解答．解：±＝±2，，＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方根，算術(shù)平方根的定義．3．下列運(yùn)算正確的是（）A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4 C．x6÷x2＝x3 D．x2?x3＝x5【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，從而作出判斷．解：A、x5+x5＝2x5，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（x3y8）2＝x6y4，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x6÷x2＝x7，故此選項(xiàng)不符合題意；D、x2?x3＝x2，正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．若要說明命題：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命題，則可以舉的反例是（）A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣3 C．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣2，b＝3【答案】C【分析】根據(jù)要證明一個(gè)結(jié)論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個(gè)命題是假命題．解：當(dāng)a＝﹣3，b＝﹣2時(shí)，但a7＞b2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用舉例法證明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要說明數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤，只需舉出一個(gè)反例即可這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法．5．如圖，已知AB＝AD，那么添加下列一個(gè)條件后（）A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠BCA＝∠DCA【答案】D【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后則不能．解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC；B、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC；C、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC；D、添加∠BCA＝∠DCA時(shí)，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．6．多項(xiàng)式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（）A．10 B．20 C．±10 D．±20【答案】C【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．解：由于（x±5）2＝x2±10x+25∴m＝±10故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．如果多項(xiàng)式x2﹣mx﹣35分解因式為（x﹣5）（x+7），則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．12 D．﹣12【答案】A【分析】把多項(xiàng)式相乘展開，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)即可求解．解：∵（x﹣5）（x+7），＝x4+7x﹣5x﹣35＝x3+2x﹣35＝x2﹣mx﹣35，∴m＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解與多項(xiàng)式相乘是互逆運(yùn)算，利用多項(xiàng)式相乘，然后再對(duì)應(yīng)系數(shù)相同．8．通過計(jì)算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的計(jì)算式子是（）A．a(chǎn)（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2【答案】D【分析】要求陰影部分面積，若不規(guī)則圖形可考慮利用大圖形的面積減去小圖形的面積進(jìn)行計(jì)算，若規(guī)則圖形可以直接利用公式進(jìn)行求解．解：圖1中，陰影部分＝長（a﹣x）寬（a﹣2b）長方形面積，∴陰影部分的面積＝（a﹣x）（b﹣x），圖3中，陰影部分＝大長方形面積﹣長a寬x長方形面積﹣長b寬x長方形面積+邊長x的正方形面積，∴陰影部分的面積＝ab﹣ax﹣bx+x2，∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，整式運(yùn)算，需要利用圖形的一些性質(zhì)得出式子，考查學(xué)生觀察圖形的能力．9．如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點(diǎn)F，∠B＝30°，則∠1的度數(shù)為（）A．50° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】由△ABC≌△ADE，則∠ACB與∠AED是一組對(duì)應(yīng)角，∠B與∠D是一組對(duì)應(yīng)角，對(duì)于△ACF，外角∠ACB等于除∠ACF外的兩個(gè)內(nèi)角之和．解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠B＝∠D＝30°．由三角形外角的性質(zhì)可得∠ACB＝∠AFC+∠CAD，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAD＝95°．∴∠GFD＝∠AFC＝95°．∵∠GFD＝95°，∠D＝30°，∴∠1＝65°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，BC＝10，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD△BDC的最大值為（）A．40 B．28 C．20 D．10【答案】D【分析】延長AB，CD交于點(diǎn)E，可證△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，則S△BDC＝S△BCE，當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△BEC最大為20，即S△BDC最大為10．解：如圖：延長AB，CD交于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝8；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△BDC最大，即S△BDC最大＝××10×4＝10．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BDC＝S△BEC是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11．25的平方根是±5．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】運(yùn)用開平方和平方的互逆運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行求解．解：∵（±5）2＝25，∴25的平方根是±4，故答案為：±5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)平方根的求解能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用開平方和平方的互逆運(yùn)算關(guān)系．12．比較大小：2＞（用“＞”或“＜”號(hào)填空）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先估算出的值，再根據(jù)兩正數(shù)比較大小的法則進(jìn)行比較即可．解：∵≈1.732，∴6＞．故答案為：＞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較及估算無理數(shù)的大小，能估算出的值是解答此題的關(guān)鍵．13．計(jì)算：4a2b2c÷（﹣2ab2）＝﹣2ac．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式求解．解：4a2b4c÷（﹣2ab2）＝﹣7ac；故答案為﹣2ac．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，牢記法則是解題的關(guān)鍵．14．已知：，那么x+y的立方根等于﹣1．【答案】﹣1．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根及偶次冪的非負(fù)性求得x，y的值，然后求得x+y的值，再利用立方根的定義即可求得答案．解：由題意可得x﹣1＝0，y+7＝0，則x＝1，y＝﹣5，那么x+y＝1﹣2＝﹣8，x+y的立方根為﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根及偶次冪的非負(fù)性，立方根，結(jié)合已知條件求得x，y的值是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD＝3，則DE的長是2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)條件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，進(jìn)而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2故選答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形，屬于中考常考題型．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥AD，過點(diǎn)C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于點(diǎn)F，其中DE＝EF．下列結(jié)論：①△ABD≌△ACF；②BD+CE＝DE△ADE＝8，S△CEF＝3．則S△ABC＝19；④∠BAD＝45°﹣∠CAE．其中正確的是①③④（填序號(hào)）．【答案】①③④．【分析】由ASA證明△ABD≌△ACF，故①正確；得AD＝AF，BD＝CF，再由三角形的三邊關(guān)系得CF+CE＞EF，得BD+CE＞DE，故②不正確；然后證△AED≌△AEF（SSS），得S△AEF＝S△ADE＝8，由三角形的面積關(guān)系S△ABC＝S△ABD+S△AEC+S△ADE＝S△AEF+S△CEF+S△ADE＝19，故③正確，最后由全等三角形的性質(zhì)得∠DAE＝∠FAE＝45°，則∠BAD＝45°﹣∠CAE，故④正確；即可得出答案．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AF⊥AD，BC⊥CF，∴∠DAF＝∠BAC＝∠ECF＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC，∠ACF＝90°﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），故①正確；∴AD＝AF，BD＝CF，∵CF+CE＞EF，DE＝EF，∴BD+CE＞DE，故②不正確；在△AED和△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SSS），∴S△AEF＝S△ADE＝8，∵S△AEF+S△CEF＝S△ACF+S△AEC＝S△ABD+S△AEC，∴S△ABC＝S△ABD+S△AEC+S△ADE＝S△AEF+S△CEF+S△ADE＝8+5+8＝19，故③正確，∵△AED≌△AEF，∴∠DAE＝∠FAE＝∠DAF＝，∴∠BAD＝90°﹣∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣45°﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABD≌△ACF和△AED≌△AEF是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共86分）17．計(jì)算：（1）﹣﹣+|1﹣|；（2）（﹣a2）3﹣6a2?a4．【答案】（1）；（2）﹣7a6．【分析】（1）根據(jù)立方根、平方根、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算；（2）根據(jù)積的乘方法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則計(jì)算．解：（1）原式＝﹣（﹣3）﹣2+[﹣（4﹣）]＝3﹣3﹣1+＝；（2）原式＝﹣a6﹣6a4＝﹣7a6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握立方根、平方根、絕對(duì)值的性質(zhì)、積的乘方法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．分解因式：（1）3x2﹣27；（2）（a+1）（a﹣5）+9．【答案】（1）3（x+3）（x﹣3）；（2）（a﹣2）2．【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式即可；（2）先把多項(xiàng)式進(jìn)行變形，然后利用完全平方公式即可．解：（1）原式＝3（x2﹣6）＝3（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝a2﹣4a﹣7+9＝a2﹣3a+4＝（a﹣2）6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來說，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解，注意因式分解要徹底．19．先化簡，再求值：[（x+2y）2+（3x+y）（3x﹣y）﹣3y（y﹣x）]÷（2x），y＝2．【答案】5x+y，﹣3．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、合并同類項(xiàng)以及多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式化簡，把x、y的值代入計(jì)算，得到答案．解：原式＝（x2+4xy+8y2+9x8﹣y2﹣3y3+3xy）÷2x＝（10x3+7xy）÷2x＝5x+y，當(dāng)x＝﹣4，y＝2時(shí)×2＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．如圖，點(diǎn)F、C在BE上，BF＝CE，∠B＝∠E．求證：AB＝DE．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】欲證明AB＝DE，只要證明△ABC≌△DEF即可．【解答】證明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，記住一般三角形全等的四種判定方法，屬于中考?？碱}型．21．如圖，學(xué)校操場(chǎng)主席臺(tái)前計(jì)劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）（1）用含a，b的整式表示花壇的面積；（2）若a＝2，b＝1，工程費(fèi)為500元/平方米【答案】（1）（4a2+2ab+3b2）平方米；（2）11500元．【分析】（1）利用“花壇的面積＝大長方形的面積﹣小長方形的面積”先列出代數(shù)式，化簡即可；（2）把a(bǔ)、b的值代入，計(jì)算出花壇的面積和造價(jià)．解：（1）由題意，得（2a+3b）（7a+b）﹣2a?3b＝3a2+6ab+6ab+3b2﹣2ab＝（4a2+7ab+3b2）平方米．答：花壇的面積為（4a2+2ab+2b2）平方米．（2）a＝2，b＝7，花壇的總工程費(fèi)為：（4×25+2×2×8+3×16）×500＝（4×4+2+3×1）×500＝23×500＝11500（元）．答：建花壇的總工程費(fèi)為11500元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，看懂題圖列出代數(shù)式是解決本題的關(guān)鍵．23．如圖1，在△ACO中，OA＝OC，∠BAO＝∠DCO．（1）求證：OB＝OD；（2）如圖2，AB交CD于點(diǎn)P，若，求證：A，O【答案】（1）證明見解答過程；（2）證明見解答過程．【分析】（1）由“SAS”可證△AOB≌△COD，可得OB＝OD；（2）由△AOB≌△COD得∠OAB＝∠OCD，∠AOB＝∠COD，從而得出∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝∠APC，根據(jù)∠APC+∠APD＝180°和∠APD＝90°+∠COB進(jìn)一步得出結(jié)論．【解答】證明：（1）在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴OB＝OD，（2）由（1）知：△AOB≌△COD，∴∠OAB＝∠OCD，∠AOB＝∠COD，∴∠OAC+∠OCA＝∠CAP+∠ACO+∠OCP＝∠CAP+∠ACP，∠AOB﹣∠BCO＝∠COD﹣∠BCO，∴∠APC＝∠AOC，∠AOC＝∠BOD，∵∠APC+∠APD＝180°，∴∠AOC+∠APD＝180°，∵∠APD＝90°+∠COB，∴∠AOC+（90°+∠COB）＝180°，∴2∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC+∠BOD+∠BOC＝180°，∴A，O，D三點(diǎn)共線；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定與性質(zhì)．24．【閱讀】“若x滿足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．設(shè)10﹣x＝a，x﹣6＝b，則（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3），（7﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．（1）【理解】①若x滿足（50﹣x）（x﹣35）＝100，則（50﹣x）2+（x﹣35）2的值為25；②若x滿足（x﹣1）（3x﹣7）＝，試求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；（2）【應(yīng)用】如圖，長方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，CG＝30，長方形EFGD的面積是200，四邊形PQDH是長方形．延長MP至T，使PT＝PQ，使FO＝FE，過點(diǎn)O、T作MO、MT的垂線，求四邊形MORT的面積．（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）【答案】（1）①25；②23；（2）1856．【分析】（1）直接利用題中所給的運(yùn)算方法解題即可；（2）用x表示出大正方形的邊長，進(jìn)而表示面積，利用完全平方公式和它的變形解題即可．解：（1）①解：設(shè)50﹣x＝a，x﹣35＝b；則（50﹣x）（x﹣35）＝ab＝100，a+b＝（50﹣x）+（x﹣35）＝15，∴（50﹣x）2+（x﹣35）2＝a5+b2＝（a+b）2﹣6ab＝152﹣2×100＝25．故答案為：25；②設(shè)3﹣3x＝a，3（x﹣8）＝b．則，a﹣b＝3（x﹣7）﹣（3x﹣7）＝3，即，∴（4﹣3x）2+5（x﹣1）2＝（4x﹣7）2+（2x﹣3）2＝a8+b2＝（a﹣b）2+4ab＝＝23，（2）如圖，可知：DE＝ME＝3x﹣44，∴MO＝ME+EF+OF＝（2x﹣44）+2（x﹣30），∵長方形EFGD的面積是200，∴（4x﹣44）（x﹣30）＝200，即（2x﹣44）（2x﹣60）＝400，設(shè)（5x﹣44）（2x﹣60）＝ab＝400，a﹣b＝（2x﹣44）﹣（8x﹣60）＝16，∴S四邊形MORT＝MO2＝[（2x﹣44）+6（x﹣30）]2＝（a+b）2＝（a﹣b）7+4ab＝162+2×4