概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)變量與分布函數(shù)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論部分

2第二章隨機(jī)變量與分布函數(shù)§2.1隨機(jī)變量足球比賽:Ω

={負(fù),平,勝},定義變量:

ξ

:Ω---->R,ξ(負(fù))=0,ξ(平)=1,ξ(勝)=3

ξ:ΩR,ξ(H)=1,ξ(T)=0擲骰子:Ω

={1,2,3,4,5,6}

ξ(1)=1,……,ξ(6)=6引入隨機(jī)變量的必要性隨機(jī)變量：把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。3事實(shí)上，當(dāng)A是實(shí)軸上任意區(qū)間、單點(diǎn)集或由它們經(jīng)過可列次交、并、補(bǔ)、差運(yùn)算而得到的集合時(shí)，{ξ∈A}都是事件，都可測，即都有概率可言。4例2.擲骰子:Ω

={1,2,3,4,5,6}.M是由Ω的所有子集構(gòu)成的集族。ξ(ω)=ω,ω=1,2,3,4,5,6是r.v.注：ξ一般看作實(shí)軸上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo).5有了隨機(jī)變量ξ,以前的各種隨機(jī)事件均可用ξ的變化范圍來表示:如例1中:A=“正面朝上”={ξ

=1},C=“正面朝上或背面朝上”={ξ

=1或ξ

=0}=S,反過來,ξ的一個(gè)變化范圍表示一個(gè)隨機(jī)事件.{0<ξ

<2}=“正面朝上”.{ξ

<0}=,{-5<ξ

<5}=S.62.分類：(2)可用隨機(jī)變量ξ的取值描述事件.(2)隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果而取不同的值,在試驗(yàn)之前不能確切知道它取什么值,但是隨機(jī)變量的取值有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性—概率分布.(1)離散型隨機(jī)變量;(2)

非離散型隨機(jī)變量.10連續(xù)型隨機(jī)變量20奇異型隨機(jī)變量注:

(1)任何隨機(jī)試驗(yàn)都可以找到相應(yīng)的隨機(jī)變量7§2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布1.離散型隨機(jī)變量的定義r.v.ξ的可能取值只有有限個(gè)或可列個(gè),則稱是離散型的r.v.說明離散型r.v.包含兩個(gè)要素:它的所有可能取值它取每個(gè)值的概率.

8ξx1x2…xn…pkp1p2…pn...2.離散型r.v.的分布律93.分布律的性質(zhì)4.求分布律的步驟:(1)明確ξ的一切可能取值;(2)利用概率的計(jì)算方法計(jì)算ξ取各個(gè)確定值的概率,即可寫出X的分布律.10例1.設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈,每盞信號燈以概率p禁止汽車通過,以ξ表示汽車首次停下時(shí)已通過信號燈的盞數(shù),求ξ的分布律.(設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的).作業(yè)：2.1,2.5115.幾種重要的離散型r.v.的分布律：

ξx1x2

pkp1-p其中0<p<1,若x1=0,x2=1,則稱為0－1分布P{ξ=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1.(一)兩點(diǎn)分布

12(二)泊松分布(Poisson)泊松分布有很多應(yīng)用.通常用來刻畫一段間隔中某類事件發(fā)生的次數(shù)例如,一定時(shí)間間隔內(nèi)電話交換臺收到的呼喚次數(shù)，某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)等都服從泊松分布.作業(yè)：2.6(可查書P204表1)13(三)貝努利試驗(yàn)

(二項(xiàng)分布)例2.設(shè)ξ是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則ξ是一個(gè)隨機(jī)變量,我們來求它的分布律.若n=4,求:P{ξ

=k}，k=0,1,2,3,4.一般地有稱ξ服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為ξ

~b(n,p).當(dāng)n=1時(shí),P{ξ

=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1,即為0-1分布.14二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)定義:ξ

~b(n,p),對于固定的n和p,若P{ξ=k}最大,則稱k為最可能出現(xiàn)的次數(shù),簡稱為最可能次數(shù)15

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí),在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(ξ=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時(shí),在k=[(n+1)p]

處的概率取得最大值16例

3獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,求命中次數(shù)不少于1次的概率.17令X表示命中次數(shù),則X~b(5000,0.001)問題如何計(jì)算？

18泊松定理1.在定理的條件下,二項(xiàng)分布的極限分布是泊松分布.2.當(dāng)n很大且p又較小時(shí)（p≤0.1）,19證

記20解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果

0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求例3

X~B(5000,0.001)21例4.設(shè)有80臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設(shè)備的故障能由一人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺；其二是由3人共同維護(hù)80臺。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。作業(yè)：1.25

,2.3,2.4,2.722(四）幾何分布設(shè)某射手一次射擊命中率為p，今向某一目標(biāo)連續(xù)射擊直到擊中目標(biāo)一次為止，試求到擊中目標(biāo)時(shí)所射擊的次數(shù)ξ的分布律。23若該人共準(zhǔn)備購買10次,共10元錢,即如果中獎就停止,否則下次再購買1張,直到10元共花完為止,求購買次數(shù)η的分布律.例5設(shè)某種社會定期發(fā)行的獎券,每券1元,中獎率為p,某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次繼續(xù)再買1張,直到中獎為止,求購買次數(shù)ξ的分布律.作業(yè)：2.22425§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)1.引入的必要性1)對于非離散型r.v.其可能取值不能一一列舉;2)對于連續(xù)型r.v.ξ,P{ξ=a}=03)我們常常對取值落在某一區(qū)間的概率感興趣P{x1<ξ

≤

x2}=P{ξ

≤x2}-P{ξ

≤x1},因此我們只要考慮P{ξ

≤x}型的概率就可以了.262.定義：設(shè)r.v.ξ,x

R,則F(x)=P{ξ≤x}稱為ξ的分布函數(shù).(2)無論是離散型r.v.還是非離散型r.v.,分布函數(shù)都可以描述它.注(1)P{x1<ξ≤x2}=P{ξ≤x2}-P{ξ≤x1}=F(x2)-F(x1).3.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).

x2>x1,F(x2)-F(x1)=P{x1<ξ

≤x2}

0.(2)0≤F(x)≤1,F(-

)=0,F(+

)=1.(3)F(x)

是右連續(xù)的,F(x+0)=F(x).(3)F(x)是普通的實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)上的函數(shù)(4)把ξ看成實(shí)數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)，F(xiàn)（x）就是ξ落在x點(diǎn)左方的概率。27注2829例1.離散型r.v.,已知分布律可求出分布函數(shù).

ξ-123

pk1/41/21/4

求：ξ的分布函數(shù),并求P{ξ≤1/2},P{3/2<ξ≤5/2}.結(jié)論

30§4.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度則稱為連續(xù)型r.v.f(x)稱為ξ概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型r.v.的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),這種r.v.的取值是充滿某個(gè)區(qū)間的.注注：由定義知，改變概率密度f(x)在個(gè)別點(diǎn)的函數(shù)值不影響分布函數(shù)F(x)的取值。因此，并不在乎改變概率密度在個(gè)別點(diǎn)上的值。31(5)設(shè)ξ為連續(xù)型r.v.它取任一指定的實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即P{ξ=a}=0.強(qiáng)調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)32對于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)a33例1.一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能擊中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求X的分布函數(shù).34例2.設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度(1)確定常數(shù)k(1/6);(2)求X的分布函數(shù)F(x);(3)求作業(yè)：2.8，2.9,2.10354.幾個(gè)常用的連續(xù)型r.v.分布(一)均勻分布:若ξ的密度函數(shù)是則稱隨機(jī)變量ξ在[a,b]上服從均勻分布,記作ξ

~U[a,b].分布函數(shù)為:注：這正是幾何概型的一種。36(二)正態(tài)分布:37性質(zhì):38如何計(jì)算?通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算其它一切正態(tài)分布的概率:(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:39引理:結(jié)論40例3：若從南郊某地乘車到火車站有兩條路可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間（單位為分）服從正態(tài)分布N(50,100),第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但意外阻塞較少，所需時(shí)間服從N(60,16),問：(1)若有70分鐘可用，應(yīng)走那一條路線？(2)若有65分鐘可用，應(yīng)走那一條路線？41例4設(shè)某商店出售的白糖每包的標(biāo)準(zhǔn)全是500克,設(shè)每包重量X(以克計(jì))是隨機(jī)變量,ξ

~N(500,25),求:(1)隨機(jī)抽查一包,其重量大于510克的概率;(2)隨機(jī)抽查一包,其重量與標(biāo)準(zhǔn)重量之差的絕對值在8克之內(nèi)的概率;(3求常數(shù)c,使每包的重量小于c的概率為0.05.注(1)由(x)=0.05怎樣查表求x的值?(2)服從正態(tài)分布N(,2)的r.v.ξ之值基本上落入[-2,+2]之內(nèi),幾乎全部落入[-3,+3]內(nèi).作業(yè)：2.11，2.1642(3)指數(shù)分布434445§5.隨機(jī)變量的函數(shù)的分布一、ξ為離散型r.v.例1.設(shè)ξ具有以下的分布律,求(1)η=2ξ－1(2)η=ξ2的分布律.

ξ-1012

pk0.20.30.10.4定義:ξ是r.v.,g(.)是連續(xù)函數(shù).η=g(ξ)就稱為ξ的函數(shù).注意:η

=g(ξ)也是隨機(jī)變量.46(2)若g(x1),g(x2),…中不是互不相等的,則應(yīng)將那些相等的值則應(yīng)將那些相等的值只寫一次,但把各自所對應(yīng)的概率相加,,就得到了η的概率分布律.1.離散r.v.分布函數(shù)的概率分布的求法:設(shè)X的概率分布如下表:

ξx1x2…xk…P{ξ=xi)p1p2…pk...(1)記yi=g(xi)(i=1,2,…)yi的值也是互不相同的,則η的概率分布如下表:

ηy1y2…yk…P{η=yi)p1p2…pk...47二、ξ為連續(xù)型r.v.1.“分布函數(shù)法”:(1)先求出η的分布函數(shù):

Fη(y)=P{η≤y}=P{g(ξ)≤y}=P{ξG},其中

G={x:g(x)≤y},