2022年中考數(shù)學(xué)幾何變形題歸類輔導(dǎo)專題04折疊問題(解析版)

【中考數(shù)學(xué)幾何變形題歸類輔導(dǎo)】專題4：折疊問題【典例引領(lǐng)】例：如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE．將△ABE沿AE所在直線折疊，點B的對應(yīng)點是點B′，連接AB′并延長交直線DC于點F．當(dāng)點F與點C重合時如圖（1），易證：DF+BE=AF（不需證明）；（2）當(dāng)點F在DC的延長線上時如圖（2），當(dāng)點F在CD的延長線上時如圖（3），線段DF、BE、AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．【答案】（2）圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；圖（3）的結(jié)論：BE﹣DF=AF；證明見解答．【分析】（1）由折疊可得AB=AB′，BE=B'E，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形，易證B'E=B'F，即可證明DF+BE=AF；（2）圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；圖（3）的結(jié)論：BE﹣DF=AF；證明圖（2）：延長CD到點G，使DG=BE，連接AG，需證△ABE≌△ADG，根據(jù)CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，則∠GAF=∠DAE，則∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折疊可得AB=AB′，BE=B'E，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；??圖（2）的結(jié)論：DF+BE=AF；圖（3）的結(jié)論：BE﹣DF=AF；圖（2）的證明：延長CD到點G，使DG=BE，連接AG，需證△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；圖（3）的證明：在BC上取點M，使BM=DF，連接AM，需證△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、數(shù)學(xué)活動：在綜合與實踐活動課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動，探究線段長度的有關(guān)問題.動手操作：如圖1，在直角三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作：第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折痕DE；第二步：將△ABC沿折痕DE展開，然后將△DEC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DFG，點E，C的對應(yīng)點分別是點F，G，射線GF與邊AC交于點M(點M不與點A重合)，與邊AB交于點N，線段DG與邊AC交于點P.數(shù)學(xué)思考：（1）求DC的長；（2）在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷MF與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；問題解決：（3）在△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，探究下列問題：①如圖2，當(dāng)GF∥BC時，求AM的長；②如圖3，當(dāng)GF經(jīng)過點B時，AM的長為③當(dāng)△DEC繞點D旋轉(zhuǎn)至DE平分∠FDG的位置時，試在圖4中作出此時的△DFG和射線GF，并直接寫出AM的長（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)記出所有相應(yīng)的字母）【答案】(1)DC＝5;(2)相等，理由見解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝103【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解決問題．

（2）結(jié)論：MF=ME．證明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解決問題．

（3）①如圖2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AKAH=AMAC，求出AK，AH即可解決問題．

②證明BM=MC，設(shè)BM=MC=x，在Rt△ABM中，根據(jù)BM2=AB2+AM2，構(gòu)建方程即可解決問題．

③尺規(guī)作圖如圖4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分別以D，G為圓心，DE，CE為半徑畫弧，兩弧交于點F，△DFG即為所求．如圖4-1中，連接DM，設(shè)DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．

易證△DEM≌△DHK（AAS），推出【解答】解：（1）如圖1中，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=∠A=90°，

∴DE∥AB，

∵AE=EC，

∴BD=DC，

在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，

∴BC=AB2+BC2=62+82=10，

∴CD=12BC=5．

（2）結(jié)論：MF=ME．

理由：如圖1中，連接DM，

∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，

∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），

∴MF=ME．

（3）①如圖2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．

易知AH=AB?AC∵KM∥CH，

∴AKAH∴9524∴AM=3．

②如圖3中，

∵DG=DB=DC，

∴∠G=∠DBG，

∵∠G=∠C，

∴∠MBC=∠C，

∴BM=MC，設(shè)BM=MC=x，

在Rt△ABM中，∵BM2=AB2+AM2，

∴62+（8-x）2=x2，

∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．

故答案為74.

③尺規(guī)作圖如圖4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分別以D，G為圓心，DE，CE為半徑畫弧，兩弧交于點F，△DFG即為所求．

如圖4-1中，連接DM，設(shè)DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．

易證△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．

∵TE⊥DE，TH⊥DC，DG平分∠CDE，

∴TE=TH，設(shè)TE=TH=x，在Rt△TCH中，x2+22=（4-x）2，

∴x=3∴DT=32+322=325，

∵DK平分∠CDT，KJ⊥DT，KH⊥CD，

∴KJ=KH，設(shè)∴y=35∴EM=3∴AM=AE-2．（2016內(nèi)蒙古包頭市）如圖，已知一個直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點，連接EF．（1）圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，且使S四邊形ECBF=3S△EDF，求AE的長；（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA．①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；②求EF的長；（3）如圖③，若FE的延長線與BC的延長線交于點N，CN=1，CE=47，求AF【答案】（1）52；（2）①四邊形AEMF為菱形；②4109；（3【分析】試題分析：（1）先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF≌S△DEF，則易得S△ABC=4S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；（2）①通過證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；②連結(jié)AM交EF于點O，如圖②，設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，先證明△CME∽△CBA得到==，解出x后計算出CM=，再利用勾股定理計算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計算EF；（3）如圖③，作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計算出x=，則可計算出FH和BH，接著利用勾股定理計算出BF，從而得到AF的長，于是可計算出的值．【解答】（1）如圖①，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四邊形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四邊形AEMF為菱形．理由如下：如圖②，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵M(jìn)F∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四邊形AEMF為菱形；②連結(jié)AM交EF于點O，如圖②，設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4﹣x，∵四邊形AEMF為菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF?AM=AE?CM，∴EF=2×=；如圖③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如圖1，四邊形的對角線相交于點，，，，.（1）填空：與的數(shù)量關(guān)系為；（2）求的值；（3）將沿翻折，得到（如圖2），連接，與相交于點.若，求的長.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，設(shè)AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解決問題；（3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．想辦法證明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解決問題；【解答】（1）如圖1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案為∠BAD+∠ACB=180°．（2）如圖1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，設(shè)AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴．（3）如圖2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，點P是邊AC上不與點A、C重合的一點，作PD∥BC交AB邊于點D．（1）如圖1，將△APD沿直線AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求證：AE＝ED；（2）將△APD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到△AP'D'，點P、D的對應(yīng)點分別為點P'、D'，①如圖2，當(dāng)點D'在△ABC內(nèi)部時，連接P′C和D'B，求證：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，連接DD'，且DD'＝2AD，那么請直接寫出點D'到直線BC的距離．【答案】(1)見解析；（2）①見解析；②點D'到直線BC的距離為176或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由題意可證△APD∽△ACB，可得APAC=ADAB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，則△AP'C∽△AD'B；②分點D'在直線BC的下方和點D'在直線BC的上方AP'AC=AD'AB兩種情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求PD＝356，通過證明△AMD'≌△DPA，可得AM＝【解答】證明：（1）∵將△APD沿直線AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴APAC=∵旋轉(zhuǎn)，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP'AC∴△AP'C∽△AD'B②若點D'在直線BC下方，如圖，過點A作AF⊥DD'，過點D'作D'M⊥AC，交AC的延長線于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC=PD∵BC＝7，∴PD＝356∵旋轉(zhuǎn)，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F∵cos∠ADF＝DFAD＝12D'DAD=2∴∠AD