2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)梳理6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系

6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系◎探索并了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.◎了解直線和圓的位置關(guān)系,掌握切線的概念.◎探索切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系;會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線.◎知道三角形的內(nèi)心和外心.◎探索并證明切線長(zhǎng)定理:過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等(選學(xué)).從安徽省近幾年的中考試卷看,與本節(jié)有關(guān)的命題常常是切線的性質(zhì)與圓的基本性質(zhì)綜合考查,題型有選擇題、填空題和解答題,考試的難度為中等及偏下.預(yù)測(cè)2022年對(duì)這部分知識(shí)的考查著力點(diǎn)還是放在切線的概念、切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑的關(guān)系上.命題點(diǎn)1切線的性質(zhì)與判定[10年4考]1.(2018·安徽第12題)如圖,菱形ABOC的邊AB,AC分別與☉O相切于點(diǎn)D,E.若D是AB的中點(diǎn),則∠DOE=60°.

【解析】連接OA.∵AB與☉O相切于點(diǎn)D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中點(diǎn),∴OA=OB.∵四邊形ABOC是菱形,∴AB=OB=OA,∴△ABO是等邊三角形,∴∠B=60°,∴∠BAC=120°.∵AC與☉O相切于點(diǎn)E,∴OE⊥AC,∴∠DOE=60°.2.[一題多解](2020·安徽第20題)如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上不同于A,B的兩點(diǎn),AD=BC,AC與BD相交于點(diǎn)F.BE是半圓O所在圓的切線,與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.(1)求證:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求證:AC平分∠DAB.證明:(1)因?yàn)锳B為半圓O的直徑,所以∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△CBA與Rt△DAB中,因?yàn)锽C=AD,BA=AB,所以△CBA≌△DAB.(2)解法1:因?yàn)锽E=BF,又由(1)知BC⊥EF,所以BC平分∠EBF.因?yàn)锳B為半圓O的直徑,BE為切線,所以BE⊥AB.于是∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°－∠E=∠CAB,故AC平分∠DAB.解法2:因?yàn)锽E=BF,所以∠E=∠BFE.因?yàn)锳B為半圓O的直徑,BE為切線,所以BE⊥AB.于是∠CAB=90°－∠E=90°－∠BFE=90°－∠AFD=∠CAD,故AC平分∠DAB.改編題如圖,AB是☉O的直徑,C,E是☉O上不同于A,B的兩點(diǎn),BC與AE相交于點(diǎn)M,CM=EM,☉O的切線BF與AE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,與OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證:△CBA≌△EAB;(2)若DE=DF,求證:AE平分∠CAB.證明:(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠C=∠AEB=90°.∵CM=EM,∠CMA=∠BME,∴△ACM≌△BEM,∴AC=BE,又∵AB=BA,∴△CBA≌△EAB.(2)∵DE=DF,∴∠F=∠FED.∵OA=OE,∴∠EAO=∠OEA.∵∠OEA=∠FED,∴∠F=∠EAO.∵BF是☉O的切線,∴∠OBF=90°,∴∠F+∠BOF=90°.∵∠AEB=90°,∴∠EAO+∠ABE=90°,∴∠BOF=∠ABE,∴OE=EB.又∵OE=OB,∴△OBE為等邊三角形,∴∠EOB=60°,∴∠EAO=30°.∵△CBA≌△EAB,∴∠CAB=∠EBA=60°,∴∠CAE=∠EAB=30°,即AE平分∠CAB.命題點(diǎn)2三角形的外接圓與內(nèi)切圓[10年4考]3.(2019·安徽第13題)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于點(diǎn)D.若☉O的半徑為2,則CD的長(zhǎng)為

2.

【解析】如圖,連接CO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,連接AE,則∠E=∠B=45°.因?yàn)镃E是☉O的直徑,所以∠CAE=90°,所以AC=4×224.(2017·安徽第20題)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,過(guò)點(diǎn)C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO.求證:CO平分∠BCE.證明:(1)由題意得∠B=∠E.∵∠B=∠D,∴∠E=∠D.∵CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180°,∴∠E+∠ECD=180°,∴AE∥CD,∴四邊形AECD為平行四邊形.(2)過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M,ON⊥CE于點(diǎn)N.∵四邊形AECD為平行四邊形,∴AD=CE,又∵AD=BC,∴CE=CB,∴OM=ON.又∵OM⊥BC,ON⊥CE,∴CO平分∠BCE.考點(diǎn)1點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系典例1在平面直角坐標(biāo)系中,圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),☉O的半徑為10,則點(diǎn)P(－10,1)與☉O的位置關(guān)系為()A.點(diǎn)P在☉O上 B.點(diǎn)P在☉O外C.點(diǎn)P在☉O內(nèi) D.無(wú)法確定【解析】由題意知OP=(-10)2+12=101.∵☉【答案】B判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,可以根據(jù)這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離來(lái)進(jìn)行:設(shè)☉O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則點(diǎn)P在圓外?d>r;點(diǎn)P在圓上?d=r;點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r.提分1數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)A和B,點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)6,點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a,☉B(tài)的半徑為4.若點(diǎn)A在☉B(tài)內(nèi),則(B)A.a<2或a>10 B.2<a<10C.a>2 D.a<10【解析】∵點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)6,☉B(tài)的半徑為4,∴數(shù)軸與☉B(tài)的交點(diǎn)表示的數(shù)為2或10.∵點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a,點(diǎn)A在☉B(tài)內(nèi),∴2<a<10.典例2已知☉O的半徑為2cm,直線l上一點(diǎn)P到圓心O的距離為4cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系可能是()A.相離 B.相切C.相交 D.以上結(jié)果均有可能【解析】通過(guò)作圖可知A,B,C項(xiàng)都有可能.【答案】D考點(diǎn)2切線的性質(zhì)與判定典例3如圖,AB是☉O的直徑,AC是☉O的切線,BC交☉O于點(diǎn)D,AE平分∠DAB,交☉O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.(1)求證:∠CAD=∠DEA;(2)若AC=AB,求證:AF=2BE.【答案】(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠DBA+∠DAB=90°.∵AC是☉O的切線,∴∠CAB=90°,即∠CAD+∠DAB=90°,∴∠CAD=∠DBA.∵∠DBA=∠DEA,∴∠CAD=∠DEA.(2)連接OE.∵AB是☉O的直徑,∴OE=12AB∵AB=AC,∴OE=12AC由(1)知∠CAB=∠ADB=90°,∴∠CAD=∠DAB=∠C=45°.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB=12∠DAB=22.5°,∴∠CAF=67.5°∵∠EOB=2∠EAB=45°,∴∠EOB=∠C.∵OB=OE,∴∠OBE=12×(180°－45°)=67.5°∴∠OBE=∠CAF,∴△CAF∽△OBE,∴BEAF=OBAC=OE提分2(2021·合肥包河區(qū)二模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一點(diǎn)O為圓心作☉O與AC,AB都相切,☉O與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D,則線段BD的長(zhǎng)為(B)A.14 B.13 C.12【解析】連接OE,則OE⊥AB,OE=OC.∵AC⊥OC,∠ACB=90°,∴∠BEO=∠ACB=90°.又∠B=∠B,∴△BEO∽△BCA,∴BOBA考點(diǎn)3三角形的外接圓與內(nèi)切圓典例4如圖,在扇形OAB中,C是AB上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),CD∥OA交OB于點(diǎn)D,點(diǎn)I是△OCD的內(nèi)心,連接OI,BI.若∠AOB=β,則∠OIB等于()A.180°－12βB.180°－βC.90°+12βD.90°+β【解析】連接IC.∵CD∥OA,∴∠CDB=∠AOB=β,∴∠COD+∠OCD=∠CDB=β.∵點(diǎn)I是△OCD的內(nèi)心,∴OI,CI分別平分∠COD,∠OCD,∴∠COI=12∠【答案】A【思維教練】因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點(diǎn),所以在計(jì)算與證明中,有內(nèi)心時(shí),我們常連接內(nèi)心與頂點(diǎn),以便利用角平分線的性質(zhì).規(guī)律清單☉I內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)分別為D,E,F,如圖,則(1)∠BIC=90°+12∠BAC(2)若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,☉I的半徑為r,則有S△ABC=12(a+b+c)r(3)(選學(xué))在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓半徑r=a+b-c2提分3如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,則∠BOC的度數(shù)為(B)A.120° B.110°C.115° D.130°【解析】∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC+∠ACB=140°.∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+提分4(2021·北京)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD是☉O的直徑,AD⊥BC于點(diǎn)E.(1)求證:∠BA