考點(diǎn)15等差數(shù)列

考點(diǎn)15等差數(shù)列1.【2023全國(guó)甲卷】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a2+aA.25 B.22 C.20 D.15【答案】C

【解析】【分析】本題考查了求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．結(jié)合已知條件求出首項(xiàng)與公差，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出S5【解答】解：因?yàn)閍2+a所以2所以S5故選C.

2.【2023全國(guó)乙卷】已知等差數(shù)列{an}的公差為2π3，集合S={cosanA.?1 B.?12 C.0 【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性，結(jié)合等差數(shù)列{an}的公差為2π【解答】解：an=a1+(n?1)×要使集合S中只有兩個(gè)元素，則可想到利用對(duì)稱性取數(shù)，如a1=?π3，a2=π3，a3=π?，或a1=0，3.【2021北京】{an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列，其中akbk(1?k?5)為一固定常數(shù)值，A.32 B.48 C.64 D.128【答案】D

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合題意和等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】

解：由題意可得a1b1=a5b5，其中a1=288，a5=96，b1=192，解得b5=64，

因?yàn)?.【2020全國(guó)Ⅱ卷】北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)

A.3699塊 B.3474塊 C.3402塊 D.3339塊【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于中檔題．

由Sn,S【解答】解：設(shè)每一層有n環(huán)，由題可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成等差數(shù)列，公差d=9，a1由等差數(shù)列性質(zhì)知Sn，S2n?Sn則9n2=729則三層共有扇形面石板為S故選C．5.【2020浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，a1d?1.記b1A.2a4=a2+a6 【答案】B

【解析】【分析】本題考查數(shù)列遞推式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，是較難題．

由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷A與C；由數(shù)列遞推式分別求得b2,b4,b6,b8，分析B，【解答】

解：在等差數(shù)列{an}中，an=a1+n?1d，

Sn+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n?1)2d，

b1=S2=2a1+d，bn+1=Sn+2?S2n=(2?n)a1?3n2?5n?22d．

∴b2=a1+2d，b4=?a1?5d，b6=?3a1?24d，b8=?5a1?55d．

A.26.【2020北京】在等差數(shù)列{an}中，a1=?9，a5=?1.A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是中檔題．

由已知求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=?9，a5=?1，得d=a5?a15?1=?1?(?9)4=2，

∴an=?9+2(n?1)=2n?11．

由an=2n?11=0，得n=112，而n∈N?，

可知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，且前7.【2022全國(guó)乙卷】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3【答案】2

【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列前n項(xiàng)和中的基本量計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．【解答】

解：∵2S3=3S28.【2020新高考Ⅰ卷】將數(shù)列{2n?1}與{3n?2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前【答案】3n【解析】【分析】本題考查數(shù)列的特定項(xiàng)與性質(zhì)以及等差數(shù)列求和．

利用公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1

，公差為6的等差數(shù)列，利用求和公式即可求出答案．【解答】解：數(shù)列2n?1

的首項(xiàng)是1，公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列3n?2

的首項(xiàng)是1，公差為公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1

，公差為6的等差數(shù)列;故an

的前n

項(xiàng)和Sn

為：S故答案為3n9.【2023全國(guó)乙卷】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知(1)求{an(2)求數(shù)列{|an|}的前【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a1+d=1110所以an=?2n+15(2)當(dāng)n≤7時(shí)，an>0當(dāng)n≥8時(shí)，an<0，|aTn綜上所述，Tn【解析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，屬于中檔題．(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，列方程組求出首項(xiàng)與公差，即可求出通項(xiàng)公式；(2)分an>0與10.【2023新高考Ⅰ卷】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn=n2+nan，記S(1)若3a2=3a1+(2)若{bn}為等差數(shù)列，且【答案】解：因?yàn)?a2=3a1+a3，故3d=aTn=n(n+3)2d，又S3+T3=21，即3×4d2+3×6(2)方法一：(基本量法)若{bn}為等差數(shù)列，則2b2=b1當(dāng)a1=d時(shí)，an=nd，bn=n+1即99?100d2?99?1022d=99，即50d當(dāng)a1=2d時(shí)，an=(n+1)d，bn=n即99?102d2?99?1002d=99，即51d2?d?50=0綜上：d=方法二：因?yàn)閧an}為等差數(shù)列且公差為d，所以可得解法一：因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知bn與n的關(guān)系滿足一次函數(shù)，所以上式中的分母“dn+a1?d”需滿足解法二：由bn=n2+ndn+a1?d所以滿足b1+b3=2b2解得a1=d因?yàn)閧an}，{bn}均為等差數(shù)列，所以S99①當(dāng)a1=d時(shí)，an=dn，50d2?d?51=0?(50d?51)(d+1)=0，解得d=5150或者②當(dāng)a1=2d時(shí)，an=d(n+1)，51d2?d?50=0?(51d+50)(d?1)=0，解得d=?5051或者綜上所述，d=51【解析】本題第一問(wèn)考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，第二問(wèn)考查等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)，等差數(shù)列基本量的求解，計(jì)算量較大，為較難題．11.【2022全國(guó)甲卷】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和．已知2(1)證明：an是等差數(shù)列；

(2)若a4,a【答案】解：(1)因?yàn)?Snn當(dāng)n≥2時(shí)，2S①?②得，2S即2a即2n?1an?2n?1an?1所以an是以1(2)由(1)可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n?13，所以所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)Sn【解析】本題考查等差數(shù)列的判定與等比數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題．

(1)立足題設(shè)結(jié)合等差數(shù)列的定義即可求解．

(2)由(1)結(jié)合(2)中條件先求得an=n?13，然后結(jié)合等差數(shù)列前12.【2021新高考Ⅱ卷】記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a(1)求數(shù)列{an}(2)求使Sn>an【答案】解：(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：S5=5a設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有a2S4從而?d2=?2d數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a1=2?6=?4，

則則不等式Sn>an即解得n<1或n>6，又n為正整數(shù)，故n的最小值為7．【解析】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用．

(1)由題意首先求得a3(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值．13.【2021全國(guó)甲卷】已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列an是等差數(shù)列；②數(shù)列S注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】解：由數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，則a1>0．

選擇條件①和③．

由數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，

因?yàn)閍2=3a1，則a2=3a1=a1+d，即d=2a1.

因?yàn)镾n=na1+n(n?1)2d=n2a1，所以Sn=na1(a1>0).

已知數(shù)列Sn因?yàn)镾2=a即等差數(shù)列Sn的公差d等于a所以Sn=n