2023-2024學(xué)年山東省濟寧市任城區(qū)運河實驗學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省濟寧市任城區(qū)運河實驗學(xué)校九年級第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（每小題3分，共36分）1．一個斜坡的坡角為30°，則這個斜坡的坡度為（）A．1：2 B．：2 C．1： D．：12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝3．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，則AD的長為（）A．3 B． C． D．4．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．為了測量B、C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B、C兩地之間的距離為（）A．100m B．50m C．50m D．m5．如圖，在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝kx﹣1（k為常數(shù)，且k＞0）的圖象可能是（）A． B． C． D．6．如圖，在某監(jiān)測點B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（）A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里7．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，sinA＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．28．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，則△ABC的面積為（）A． B．12 C． D．9．如圖，函數(shù)y＝﹣x與函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D．則四邊形ACBD的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．810．已知反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣3） B．圖象在第一、三象限 C．當(dāng)x＞1時，0＜y＜3 D．當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而增大11．如圖，直線y＝x+2與雙曲線相交于點A，點A的縱坐標為3，k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．412．函數(shù)y1＝x和y2＝的圖象如圖所示，則y1＞y2的x取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1二、填空題（每小題3分，共18分）13．如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC＝3m，cos∠BAC＝，則墻高BC＝m．14．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為．15．如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，圖中斜坡CD的坡度i＝1：，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，攔水壩的橫斷面ABCD的面積．16．某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例．如圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象，當(dāng)電阻R為6Ω時，電流I為A．17．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，且△ABP的面積為6，則這個反比例函數(shù)的表達式為．18．已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函數(shù)上的三點且x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（按由小到大排列）．?三、解答題（共46分）19．求值：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．20．已知：如圖，△ABC中，AC＝10，，求AB．21．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是壓強單位）（1）寫出這個函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)氣球的體積是0.8立方米時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?，氣球的體積應(yīng)不小于多少立方米？22．如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即線段AC），經(jīng)測量，森林保護區(qū)的中心P在A城市的北偏東60°方向上，在線段AC上距A城市120km的B處測得P在北偏東30°方向上，已知森林保護區(qū)是以點P為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域，請問計劃修建的這條高速公路是否穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）23．如圖所示，飛機在一定高度上沿水平直線飛行，先在點A處測得正前方小島C的俯角為30°，面向小島方向繼續(xù)飛行10km到達B處，發(fā)現(xiàn)小島在其正后方，此時測得小島的俯角為45°，如果小島高度忽略不計，求飛機飛行的高度（結(jié)果保留根號）．24．如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象交于點B（﹣2，n），過點B作BC⊥x軸于點C，點D（3﹣3n，1）是該反比例函數(shù)圖象上一點．（1）求m的值；（2）若∠DBC＝∠ABC，求一次函數(shù)y＝kx+b的表達式．

參考答案一、選擇題（每小題3分，共36分）1．一個斜坡的坡角為30°，則這個斜坡的坡度為（）A．1：2 B．：2 C．1： D．：1【分析】坡度是坡角的正切值．解：因為tan30°＝，即坡度為1：．故選：C．【點評】此題主要考查學(xué)生對坡度的掌握情況．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是（）A．sinB＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanB＝【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，則sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝，故選：C．【點評】此題考查了銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，則AD的長為（）A．3 B． C． D．【分析】由已知條件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，由此可以求出CE．然后根據(jù)勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函數(shù)的定義即可求出AD．解：由已知可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，即，∴CE＝．根據(jù)勾股定理得DE＝＝．在Rt△AED中，cosα＝，即，∴AD＝．故選：B．【點評】此題考查了解直角三角形、直角三角形性質(zhì)和邏輯推理能力、運算能力．4．如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．為了測量B、C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B、C兩地之間的距離為（）A．100m B．50m C．50m D．m【分析】首先根據(jù)題意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，然后利用正切函數(shù)的定義求解即可求得答案．解：根據(jù)題意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故選：A．【點評】本題考查了俯角的知識．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用．5．如圖，在同一平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝kx﹣1（k為常數(shù)，且k＞0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)k的符號，得到反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝kx﹣1都經(jīng)過第一、三象限或第二、四象限，再根據(jù)一次函數(shù)y＝kx﹣1與y軸交于負半軸，即可得出結(jié)果．解：當(dāng)k＞0時，直線從左往右上升，雙曲線分別在第一、三象限，故A、C選項錯誤；∵一次函數(shù)y＝kx﹣1與y軸交于負半軸，∴D選項錯誤，B選項正確，故選：B．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解題時注意：系數(shù)k的符號決定直線的方向以及雙曲線的位置．6．如圖，在某監(jiān)測點B處望見一艘正在作業(yè)的漁船在南偏西15°方向的A處，若漁船沿北偏西75°方向以40海里/小時的速度航行，航行半小時后到達C處，在C處觀測到B在C的北偏東60°方向上，則B、C之間的距離為（）A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里【分析】如圖，根據(jù)題意易求△ABC是等腰直角三角形，通過解該直角三角形來求BC的長度．解：如圖，∵∠ABE＝15°，∠DAB＝∠ABE，∴∠DAB＝15°，∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝90°．又∵∠FCB＝60°，∠CBE＝∠FCB，∠CBA+∠ABE＝∠CBE，∴∠CBA＝45°．∴在直角△ABC中，sin∠ABC＝＝＝，∴BC＝20海里．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．解題的難點是推知△ABC是等腰直角三角形．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，sinA＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．2【分析】先根據(jù)sinA＝和BC的長求出AB，然后根據(jù)勾股定理求出AC的長即可．解：∵∠C＝90°，∴，即，∴AB＝6，由勾股定理得，故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．△ABC中，若AB＝6，BC＝8，∠B＝120°，則△ABC的面積為（）A． B．12 C． D．【分析】作三角形的高AD，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)即可求得AD的長，然后利用三角形的面積公式即可求解．解：作AD⊥BC于點D，如圖，∵∠ABC＝120°，∴∠ABD＝180°﹣120°＝60°，在直角△ABD中，AD＝AB?sin60°＝6×＝3，在△ABC的面積是：BC?AD＝×8×3＝12．故選：A．【點評】本題考查了三角形的面積公式以及三角函數(shù)，正確求得三角形的高是關(guān)鍵．9．如圖，函數(shù)y＝﹣x與函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D．則四邊形ACBD的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S＝|k|，得出S△AOC＝S△ODB＝2，再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OC＝OD，AC＝BD，即可求出四邊形ACBD的面積．解：∵過A，B兩點分別作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，∴S△AOC＝S△ODB＝|k|＝2，又∵OC＝OD，AC＝BD，∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2，∴四邊形ABCD的面積為：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8．故選：D．【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|；圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S＝|k|；同時考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性．10．已知反比例函數(shù)y＝，下列結(jié)論中不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣3） B．圖象在第一、三象限 C．當(dāng)x＞1時，0＜y＜3 D．當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而增大【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決．解：∵反比例函數(shù)y＝，∴圖象必經(jīng)過點（﹣1，﹣3），故選項A不符合題意；k＝3＞0，圖象位于第一、三象限，故選項B不符合題意；當(dāng)x＞1時，0＜y＜3，故選項C不符合題意；當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而減小，故選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．11．如圖，直線y＝x+2與雙曲線相交于點A，點A的縱坐標為3，k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把A點的縱坐標代入直線解析式，即可求得A的坐標．再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式．解：在y＝x+2中令y＝3，得到：3＝x+2，解得：x＝1，則A的坐標是（1，3）．設(shè)反比例函數(shù)的解析式y(tǒng)＝，把（1，3）代入得到：k＝3．故選：C．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，同學(xué)們要重點掌握．12．函數(shù)y1＝x和y2＝的圖象如圖所示，則y1＞y2的x取值范圍是（）A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1【分析】由兩函數(shù)的交點橫坐標，利用圖象即可求出所求不等式的解集．解：由圖象得：y1＞y2的x取值范圍是﹣1＜x＜0或x＞1．故選：C．【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共18分）13．如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC＝3m，cos∠BAC＝，則墻高BC＝m．【分析】在直角三角形ACB中利用銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求解即可．解：由題意可知三角形ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∵cos∠BAC＝＝，AC＝3，∴AB＝4，∴BC＝＝＝（m），故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦函數(shù)和勾股定理的應(yīng)用，題目比較簡單．14．在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cos∠B的值為．【分析】cos∠B的值可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問題，因而過點A作AD垂直于BC的延長線于點D．在Rt△ABD中根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．解：作AD⊥BC的延長線于點D．在Rt△ABD中，BD＝AD，則AB＝BD．故cos∠B＝．故答案為：．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊．15．如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，圖中斜坡CD的坡度i＝1：，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，攔水壩的橫斷面ABCD的面積30．【分析】作AF⊥BC，垂足為F．求出AF的長、BF的長、FE的長、EC的長，根據(jù)梯形的面積公式解答即可．解：作AF⊥BC，垂足為F．∵AB＝6，∠B＝60°，∴DE＝AF＝AB?sin60°＝6×＝3，BF＝AB?cos60°＝6×＝3，∵AD＝4，∴FE＝AD＝4，∵tan∠C＝，∴＝，∴EC＝3×3＝9，∴BC＝BF+FE+EC＝3+4+9＝16，∴S梯形ABCD＝（4+16）×3×＝30．故答案為30．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣坡度坡角問題，熟悉三角函數(shù)和梯形面積公式是解題的關(guān)鍵．16．某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流I（A）與電阻R（Ω）成反比例．如圖表示的是該電路中電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象，當(dāng)電阻R為6Ω時，電流I為1A．【分析】可設(shè)I＝，由于點（3，2）適合這個函數(shù)解析式，則可求得k的值，然后代入R＝6求得I的值即可．解：設(shè)I＝，那么點（3，2）適合這個函數(shù)解析式，則k＝3×2＝6，∴I＝．令R＝6，解得：I＝＝1．故答案為1．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．17．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上一點，過點A作AB⊥y軸于點B，點P在x軸上，且△ABP的面積為6，則這個反比例函數(shù)的表達式為y＝．【分析】由于同底等高的兩個三角形面積相等，所以△AOB的面積＝△ABP的面積＝6，然后根據(jù)反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，知△AOB的面積＝|k|，從而確定k的值，求出反比例函數(shù)的解析式解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵△AOB的面積＝△ABP的面積＝6，△AOB的面積＝|k|，∴|k|＝6，∴k＝±12；又∵反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝12．∴這個反比例函數(shù)的解析式為y＝．故答案為：y＝．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．18．已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函數(shù)上的三點且x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是y2＜y3＜y1（按由小到大排列）．【分析】運用反比例函數(shù)的增減性，結(jié)合對應(yīng)x的值，結(jié)合象限可以解決．解：∵的圖象在二?四象限，每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，又∵x1＜0＜x2＜x3，∵0＜x2＜x3，對應(yīng)點在第四象限，∴y2＜y3＜0，∵x2＜0，∴y2＞0，∴y2＜y3＜y1．故答案為：y2＜y3＜y1．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的增減性，有一定綜合性，題目比較典型，應(yīng)引起同學(xué)們的注意．?三、解答題（共46分）19．求值：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．解：sin60°+2sin30°﹣tan30°﹣tan45°＝×+2×﹣﹣1＝﹣．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．20．已知：如圖，△ABC中，AC＝10，，求AB．【分析】過A作AD垂直于BC，交BC于點D，在直角三角形ACD中，由AC與sinC的值，利用正弦函數(shù)定義求出AD的長，在直角三角形ABD中，由AD與sinB的值，利用正弦函數(shù)定義即可求出AB的長．解：作AD⊥BC于D點，如圖所示，在Rt△ADC中，AC＝10，sinC＝，∴AD＝ACsinC＝10×＝8，在Rt△ABD中，sinB＝，AD＝8，則AB＝＝24．【點評】此題考查了解直角三角形，以及銳角三角函數(shù)定義，作出輔助線AD是解本題的關(guān)鍵．21．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是壓強單位）（1）寫出這個函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)氣球的體積是0.8立方米時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？（3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少立方米？【分析】（1）設(shè)p與V的函數(shù)的解析式為p＝利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）把v＝0.8代入p＝可得p＝120；（3）把p＝144代入p＝得，V＝．所以可知當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓＞144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于立方米．解：（1）設(shè)p與V的函數(shù)的解析式為p＝，把點A（1.5，64）代入，解得k＝96．∴這個函數(shù)的解析式為p＝；（2）把v＝0.8代入p＝得：p＝120，當(dāng)氣球的體積為0.8立方米時，氣球內(nèi)的氣壓是120千帕；（3）把p＝144代入p＝得，V＝，故p≤144時，v≥，答：氣球的體積應(yīng)不小于立方米．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關(guān)系式，從實際意義中找到對應(yīng)的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．會用不等式解決實際問題．22．如圖所示，C城市在A城市正東方向，現(xiàn)計劃在A、C兩城市間修建一條高速公路（即線段AC），經(jīng)測量，森林保護區(qū)的中心P在A城市的北偏東60°方向上，在線段AC上距A城市120km的B處測得P在北偏東30°方向上，已知森林保護區(qū)是以點P為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域，請問計劃修建的這條高速公路是否穿越保護區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】作PH⊥AC于H．求出PH與100比較即可解決問題．解：結(jié)論；不會．理由如下：作PH⊥AC于H．由題意可知：∠EAP＝60°，∠FBP＝30°，∴∠PAB＝30°，∠PBH＝60°，∵∠PBH＝∠PAB+∠APB，∴∠BAP＝∠BPA＝30°，∴BA＝BP＝120，在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，∴PH＝PB?sin60°＝120×≈103.80，∵103.80＞100，∴這條高速公路不會穿越保護區(qū)．【點評】本題考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)