Matlab第五章：符號運算

第五章符號運算本章內(nèi)容5.1.符號運算概述5.2符號變量和符號表達式5.3符號的基本運算5.4符號運算函數(shù)學習目標學會定義符號和符號表達式。掌握符號表達式的基本運算。掌握與符號表達式相關(guān)的常用函數(shù)。掌握使用符號運算解決符號推導、微積分、方程等問題的方法。本章知識地圖符號運算符號運算概述Matlab符號運算特點符號變量和符號表達式符號變量定義符號表達式的定義符號的基本運算加減乘除冪次方運算表達式化簡運算符號運算函數(shù)sym、finverse、compose等函數(shù)極限級數(shù)微積分方程求解微分方程求解符號方程的定義5.1符號運算概述Matlab符號運算是通過符號數(shù)學工具箱（SymbolicMathToolbox）來實現(xiàn)的。Matlab符號數(shù)學工具箱是建立在功能強大的Maple軟件的基礎(chǔ)上的，當Matlab進行符號運算時，它就請求Maple軟件去計算并將結(jié)果返回給Matlab。Matlab的符號數(shù)學工具箱可以完成幾乎所有得符號運算功能。主要包括：符號表達式的運算，符號表達式的復合、化簡，符號矩陣的運算，符號微積分、符號作圖，符號代數(shù)方程求解，符號微分方程求解等。此外，該工具箱還支持可變精度運算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。Matlab符號運算特點計算以推理方式進行，因此不受計算誤差累積所帶來的困擾。

符號計算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時）。

符號計算指令的調(diào)用比較簡單，與數(shù)學教科書上的公式相近。

符號計算所需的運行時間相對較長。5.1符號運算概述（1）符號變量定義調(diào)用命令：

symsyms調(diào)用格式：>>a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');

>>symsabc;5.2符號變量和符號表達式（1）符號變量定義幾種常見的典型錯誤命令：

>>x=symx;>>x=sym'x';>>symsx,y,z;5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義調(diào)用命令：

sym調(diào)用格式：

f=sym（‘符號表達式’）定義符號表達式，并將它賦值給變量f。5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義建立符號表達式有以下3種方法：(1)用sym函數(shù)建立符號表達式。

>>f=sym('a*x^2+b*x+c');(2)使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。

>>symsxyabc>>f=a*x^2+b*x+c(3)利用單引號來生成符號表達式。

>>f='a*x^2+b*x+c'5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義思考并提問：

a=‘a(chǎn)’

和a=sym(‘a(chǎn)’)的區(qū)別？形如：a*x^2+b*x+c提問：誰是自變量？5.2符號變量和符號表達式前者為字符，后者為符號符號變量可以直接進行運算（2）符號表達式的定義

自變量的確定：

方法一：事先明確指定。方法二：MATLAB自行默認確定。5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義MATLAB自變量確定原則:（1）x被視為默認的自變量。（2）字母位置最接近x的小寫字母；（。。。u,v,w,x,y,z。。。）5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義默認自變量實例（1）sin（a*x+b*y）（2）a*x^2+b*x+c

（3）1/（4+cos（t））（4）4*x/y

（5）2*a+b

（6）2*i+4*j5.2符號變量和符號表達式（2）符號表達式的定義

函數(shù)findsym幫助我們獲取系統(tǒng)定義的自變量

格式：findsym（f）;findsym（f，1）例如：

f=sym('sin(a*x+b*y)');

f=sym('a*x^2+b*x+c');

f=sym('1/(4+cos(t))');

f=sym('4*x/y');

f=sym('2*a+b');

f=sym('2*i+4*j');findsym(f)findsym(f,1)findsym(f,2)findsym(f,n)5.2符號變量和符號表達式（3）符號方程的定義符號表達式和符號方程的區(qū)別：符號表達式是由數(shù)字、函數(shù)和變量組成的代數(shù)式；符號方程是由函數(shù)和等號組成的等式。

5.2符號變量和符號表達式（3）符號方程的定義調(diào)用命令：sym調(diào)用格式：sym(‘符號方程式’)例如：

>>equation=sym('sin(x)+cos(x)=1')

5.2符號變量和符號表達式初等代數(shù)運算（1）符號的加減乘除冪次方運算

+-*/^ symaddsymsubsymmulsymdivsympow

例如：(a*x+b*y-c*z)/2*v*w^2

5.3符號的基本運算（2）符號表達式的加減乘除冪次方運算例如：>>f1=sym('1/(a-b)');>>f2=sym('2*a/(a+b)');>>f3=sym('(a+1)*(b-1)*(a-b)');5.3符號的基本運算（2）符號表達式的加減乘除冪次方運算例如：>>[n,d]=numden(f1+f2)>>p=sym('2*x^3+3*x^2+4');>>sym2poly(p)>>x=[2,3,0,4];>>poly2sym(x)5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡collect：合并同類項expand：展開多項式horner:分解成嵌套形式factor：因式分解simplify:對表達式化簡simple：化簡為最簡形式，表達式最少字符。5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:collect合并同類項>>f=sym('x^2*y+y*x-x^2-2*x');>>collect(f)>>symsxy;>>collect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)(找不同)5.3符號的基本運算(1)用sym函數(shù)建立符號表達式。(2)使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。（3）符號表達式化簡例如:collect合并同類項symsxy;collect((exp(x)+x)*(x+2))collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y)（找不同）5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:expand展開多項式>>f=sym('a^3-1');>>expand(f)>>expand((x-2)*(x-4))>>expand(cos(x+y))>>expand(exp((a+b)^2))

5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:horner分解成嵌套形式 >>horner(x^3-6*x^2+11*x-6)

5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:factor：因式分解>>factor(x^3-6*x^2+11*x-6)

5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:simplify:對表達式化簡>>simplify(x^3-6*x^2+11*x-6)>>simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)>>simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))>>simplify((x^2+5*x+6)/(x+2))>>simplify(sym(sqrt(16))) %simplify=sqrt(im2double(16))

5.3符號的基本運算（3）符號表達式化簡例如:simple化簡為最簡形式，表達式最少字符。>>symsx>>f=2*cos(x)^2-sin(x)^2;>>simple(f)>>[r,how]=simple(f)

5.3符號的基本運算1·simplify的調(diào)用格式為：simplify(S)；應用函數(shù)規(guī)則對表達式S進行化簡。simple是通過對表達式嘗試多種不同的方法（包括simplify）進行化簡，以尋求符號表達式S的最簡形式。2·[r,how]=simple(S);r為返回的簡化形式，how為化簡過程中使用的一種方法（3）符號表達式化簡f=sym('a*x^2+b*x+c')[r,how]=simple(f)r=a*x^2+b*x+chow=''

5.3符號的基本運算已經(jīng)最簡了>>docsimple'IgnoreAnalyticConstraints'Ifthevalueistrue,applypurelyalgebraicsimplificationstoanexpression.WithIgnoreAnalyticConstraints,simplecanreturnsimplerresultsforexpressionsforwhichitwouldreturnmorecomplicatedresultsotherwise.UsingIgnoreAnalyticConstraintsalsocanleadtoresultsthatarenotequivalenttotheinitialexpression.（3）符號表達式化簡

helpsimple

5.3符號的基本運算（1）sym函數(shù)功能：定義符號表達式;

或?qū)⑤斎雲(yún)?shù)轉(zhuǎn)換為對應的符號表示，或設(shè)定符號變量類型。格式：sym('a');sym('A');sym('A','real'),sym('A',‘unreal'),sym('A'，flag)flag為f，r，e，d5.4符號運算函數(shù)sym函數(shù)例如：

>>s=sym('sin(x)^2+cos(x)^2')

>>A=0.25或者A='1/8'

或者A=sym('1/8')>>sym(A)>>sym('A')(找不同)5.4符號運算函數(shù)sym函數(shù)提問：sym('sqrt(3)')和sym(sqrt(3))區(qū)別是什么？例如：sym(1/3,'f')sym(1/3,'e')sym(1/3,'r')sym(1/3,'d')

5.4符號運算函數(shù)sym(Num,’r’)r有理分數(shù)表達符號數(shù)字

f二進制近似表達符號數(shù)字

e帶估計誤差的廣義有理表達

d十進制浮點近似表達符號數(shù)字sym('sqrt(3)');是將字符量'sqrt(3)'轉(zhuǎn)換成符號量sym(sqrt(3));是將數(shù)字量‘sqrt(3)’轉(zhuǎn)換成符號量他們的區(qū)別是自變量的格式不同，但結(jié)果是一致的。sym函數(shù)例如：sym('x','real')sym('y','real')symsxy'real'conj(x)sym('x','unreal')conj(x)觀察并回答：結(jié)果為什么是這樣？5.4符號運算函數(shù)conj是求復數(shù)的共軛,Matlab有這個函數(shù)若x＝a＋bi(a，b∈R)，則x'＝a－bi（a,b∈R)。共軛復數(shù)實數(shù)的共軛是它本身復數(shù)的共軛使用conj函數(shù)確定。>>symsxy'real'>>conj(x)

ans=

x

>>conj(x)

ans=

x>>x=sym('x','unreal')

ans=

x

>>conj(x)

ans=

conj(x)（2）求反函數(shù)finverse

功能：求得符號函數(shù)的反函數(shù)。

格式：finverse(f)finverse(f,v)f:符號表達式

v：自變量。5.4符號運算函數(shù)（2）求反函數(shù)

>>symsxy>>finverse(1/tan(x))>>f=x^2+y>>finverse(f,y)>>finverse(f)（找不同）5.4符號運算函數(shù)（3）求復合函數(shù)compose

功能：求符號函數(shù)的復合函數(shù)。

格式：compose(f,g)compose(f,g,z)compose(f,g,x,z)compose(f,g,x,y,z)5.4符號運算函數(shù)（3）求復合函數(shù)compose

>>symsxyztu;>>f=1/(1+x^2);g=sin(y);h=x^t;p=exp(-y/u);>>compose(f,g)>>compose(f,g,t)>>compose(h,g,x,z)>>compose(h,g,t,z)>>compose(h,p,x,y,z)>>compose(h,p,t,u,z)5.4符號運算函數(shù)（4）

表達式替換subs功能：表達式替換。格式：subs(s)subs(s,new)subs(s,old,new)5.4符號運算函數(shù)（4）表達式替換subs>>

a=5;c=10;>>y=sym('a*x^2+b*x+c')>>

subs(y)>>symsab>>subs(a+b,a,4)

>>subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})

5.4符號運算函數(shù)（5）極限

函數(shù)：limit調(diào)用格式：g=limit(f)g=limit(f,a)%findsym(f)確定自變量g=limit（f，x，a）

g=limit（f，x，a，‘left’）

g=limit（f，x，a，‘right’）

5.4符號運算函數(shù)（5）極限例題：>>symsx>>limit(1/x)>>limit(1/x,0)>>limit(1/x,x,0)>>limit(1/x,x,0,'left')>>limit(1/x,x,0,'right')

5.4符號運算函數(shù)（5）極限例題：limit(sin(x)/x)limit((x-2)/(x^2-4),2)limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)

（？）

5.4符號運算函數(shù)如果自變量不是x，最好顯式說明！>>symshx;（5）極限如果自變量不是x，最好顯式說明！>>symshx;>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)

5.4符號運算函數(shù)（6）微分

函數(shù)： diff調(diào)用格式： diff(f)

diff(f,t)

diff(f,n)

diff(f,t,n)

5.4符號運算函數(shù)（6）微分例已知f(x)=ax2+bx+c,求f(x)的微分。解題：>>symsabcx>>f=sym('a*x^2+b*x+c')>>diff(f)>>diff(f,2)>>diff(f,a)>>diff(f,a,2)>>diff(diff(f),a)

5.4符號運算函數(shù)（7）積分

函數(shù)：int

調(diào)用格式：int(f)int(f,t)int(f,a,b)(a,b為數(shù)值式)int(f,t,a,b)int(f,m,n)(m,n為符號式)

5.4符號運算函數(shù)（7）積分演練例題：例已知f(x)=ax2+bx+c,求f(x)的積分。解答：>>symsabcx>>f=sym('a*x^2+b*x+c')>>int(f)>>int(f,x,0,2)>>int(f,a)>>int(int(f,a),x)

5.4符號運算函數(shù)（8）級數(shù)sum

函數(shù)：symsum,taylor

調(diào)用格式：symsum(s,v,a,b)taylor(F,v,a,'order',n,)taylor(log(x),x,1,'Order',4)

ans=

x-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-1

5.4符號運算函數(shù)（8）級數(shù)例分別求級數(shù)解答：>>symsk>>symsum(1/k,k,1,inf)>>symsum(1/(k*(k+1)),k,1,inf)

5.4符號運算函數(shù)（9）方程求解

函數(shù)：solve解符號方程式f

調(diào)用格式：sovle(f1,f2,…,fn,v1,v2,v3,…,vn)

5.4符號運算函數(shù)（9）方程求解例題求一元二次方程f(x)=ax2+bx+c的根。>>f=sym('a*x^2+b*x+c')>>solve(f)>>symsa>>solve(f,a)

5.4符號運算函數(shù)（9）方程求解例題求方程的解，方程如下：

5.4符號運算函數(shù)（9）方程求解>>f1=sym('x+y+z-10');>>f2=sym('x-y+z');>>f3=sym('2*x-y-z+4');>>solve(f1,f2,f3);>>[x,y,z]=solve(f1,f2,f3)以下方式是否可以？>>f1=sym('x+y+z=10');>>f2=sym('x-y+z=0');>>f3=sym('2*x-y-z=-4');5.4符號運算函數(shù)可以符號表達式和符號方程的區(qū)別：符號表達式是由數(shù)字、函數(shù)和變量組成的代數(shù)式；符號方程是由函數(shù)和等號組成的等式。（10）微分方程求解

函數(shù)：dsolve解微分符號方程式f

調(diào)用格式：

dsolve(f,cond,v)

dsolve(f1,f2,…,fn,cond1,cond2…,condn,v1,v2…,vn)dsolve(f1,f2,…,fn)

5.4符號運算函數(shù)（10）微分方程求解注意事項：Dy代表dy/dt,D2y代表d2y/dt2

。如果沒有初始條件，則求微分方程的通解。系統(tǒng)默認變量t。5.4符號運算函數(shù)（10）微分方程求解例題：求微分方程y’=5的通解。求微分方程y’=x的通解，指定x為自變量。求微分方程y’’=1+y’的通解。求微分方程y’’=1+y’的解，y|t=0=1,dy/dt|t=0=0。

5.4符號運算函數(shù)（10）微分方程求解>>dsolve('Dy=5')>>dsolve('Dy=x','x')>>dsolve('D2y=1+Dy')>>dsolve('D2y=1+Dy','y(0)=1','Dy(0)=0')

5.4符號運算函數(shù)（10）微分方程求解例題：求微分方程組

5.4符號運算函數(shù)（10）微分方程求解>>[x,y]=dsolve('Dx=y+x,Dy=2*x')>>[x,y]=dsolve('Dx=y+x','Dy=2*x')

5.4符號運算函數(shù)本章小結(jié)本章主要內(nèi)容：符號變量定義；符號變量的化簡；復合函數(shù)；反函數(shù)，替換；相關(guān)微積分計算（極限，微分，積分等），級數(shù)；解方程和方程組。解微分方程和微分方程組。1.求下列函數(shù)的導數(shù)。（1），求

（2），求

（3）

2.求函數(shù)練習題3.求