2023年湖南省各市中考數(shù)學(xué)試題真題匯編-函數(shù)b

函數(shù)B（真題匯編）2023年湖南省各市中考數(shù)學(xué)試題全解析版一．選擇題（共8小題）1．（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為（）

A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）2．（2023?株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，則下列說法正確的是（）?A．b恒大于0 B．a(chǎn)，b同號 C．a(chǎn)．b異號 D．以上說法都不對3．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當F為定值時，如圖中大致表示壓強P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．4．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x26．（2023?永州）已知點M（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k＞0，則點M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數(shù)的圖象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D．8．（2023?懷化）如圖，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與過點（﹣1，0）的直線AB相交于A、B兩點．已知點A的坐標為（1，3），點C為x軸上任意一點．如果S△ABC＝9，那么點C的坐標為（）A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）二．填空題（共4小題）9．（2023?衡陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第象限．10．（2023?婁底）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．11．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝．12．（2023?郴州）在一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+3中，y隨x的增大而增大，則k的值可以是（任寫一個符合條件的數(shù)即可）．三．解答題（共12小題）13．（2023?郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為5g．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點C的距離x/cm3025201510容器與水的總質(zhì)量y1/g1012152030加入的水的質(zhì)量y2/g57101525把上表中的x與y1各組對應(yīng)值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）請在該平面直角坐標系中作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象；（2）觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測y1與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求y1關(guān)于x的函數(shù)表達式；②求y2關(guān)于x的函數(shù)表達式；③當0＜x≤60時，y1隨x的增大而（填“增大”或“減小”），y2隨x的增大而（填“增大”或“減小”），y2的圖象可以由y1的圖象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的質(zhì)量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點C的距離x（cm）的取值范圍．14．（2023?衡陽）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．15．（2023?永州）小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如表的一組數(shù)據(jù)：時間t（單位：分鐘）12345…總水量y（單位：毫升）712172227…（1）探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請判斷和y＝kt+b（k，b為常數(shù)）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系？并求出y關(guān)于t的表達式；（2）應(yīng)用：①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升？②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．16．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點A、C分別在x軸負半軸，y軸負半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點A（t，0），點P（1，2）在函數(shù)的圖象上．（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．17．（2023?株洲）某花店每天購進16支某種花，然后出售，如果當天售不完，那么剩下的這種花進行作廢處理．該花店記錄了10天該種花的日需求量（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計如下表：日需求量n131415161718天數(shù)112411（1）求該花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；（2）當n＜16時，日利潤y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達式為：y＝10n﹣80；當n≥16時，日利潤為80元．①當n＝14時，問該花店這天的利潤為多少元？②求該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率．18．（2023?郴州）已知拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點A（1，0），B（4，0），與y軸相交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求的值；（3）如圖2，取線段OC的中點D，在拋物線上是否存在點Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2023?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且該二次函數(shù)的圖象過點（2，0），求b的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，點D在⊙O上且在第二象限內(nèi)，點E在x軸正半軸上，連接DE，且線段DE交y軸正半軸于點F，．①求證：．②當點E在線段OB上，且BE＝1．⊙O的半徑長為線段OA的長度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．20．（2023?岳陽）已知拋物線Q1：y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，交y軸于點C（0，3）．（1）請求出拋物線Q1的表達式．（2）如圖1，在y軸上有一點D（0，﹣1），點E在拋物線Q1上，點F為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點E，F(xiàn)使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點E，F(xiàn)的坐標；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點為K，與x軸正半軸交于點H，拋物線Q1上是否存在點P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2023?衡陽）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．22．（2023?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；（2）點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線AC，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標；（3）設(shè)直線l1：y＝kx+k﹣交拋物線于點M、N，求證：無論k為何值，平行于x軸的直線l2：y＝﹣上總存在一點E，使得∠MEN為直角．23．（2023?永州）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）經(jīng)過點F（0，5），頂點坐標為（2，9），點P（x1，y1）為拋物線上的動點，PH⊥x軸于H，且．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，直線OP：交BF于點G，求的最大值；（3）如圖2，四邊形OBMF為正方形，PA交y軸于點E，BC交FM的延長線于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求點P的橫坐標．24．（2023?邵陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過點A（﹣2，0）和點B（4，0），且與直線l：y＝﹣x﹣1交于D、E兩點（點D在點E的右側(cè)），點M為直線l上的一動點，設(shè)點M的橫坐標為t．（1）求拋物線的解析式．（2）過點M作x軸的垂線，與拋物線交于點N．若0＜t＜4，求△NED面積的最大值．（3）拋物線與y軸交于點C，點R為平面直角坐標系上一點，若以B、C、M、R為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點R的坐標．

函數(shù)B（真題匯編）2023年湖南省各市中考數(shù)學(xué)試題全解析版參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【答案】D【解答】解：∵點B的坐標為（2，4）在反比例函數(shù)y＝上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵點E在反比例函數(shù)上，∴可設(shè)（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故選：D．2．（2023?株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，則下列說法正確的是（）?A．b恒大于0 B．a(chǎn)，b同號 C．a(chǎn)．b異號 D．以上說法都不對【答案】C【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，∴對稱軸為直線，當a＜0時，則b＞0，當a＞0時，則b＜0，∴a，b異號，故選：C．3．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當F為定值時，如圖中大致表示壓強P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵壓力F（N）、壓強P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．∴當F為定值時，壓強P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)，故選：D．4．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∴①正確；當x＝0時，y＝3，則點點（0，3）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯誤；當y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有2個，故選：B．5．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【答案】B【解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．6．（2023?永州）已知點M（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，其中a，k為常數(shù)，且k＞0，則點M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解答】解：∵點M（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，∴a＝，∴k＞0，∴a＞0，∴點M一定在第一象限．故選：A．方法二：∵反比例函數(shù)中，k＞0，∴圖象的兩個分支在一、三象限，∵點M（2，a）在反比例函數(shù)的圖象上，∴點M一定在第一象限．故選：A．7．（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數(shù)的圖象上？（）A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D．【答案】D【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；D．∵，∴在反比例函數(shù)的圖象上，故選項符合題意．故選：D．8．（2023?懷化）如圖，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與過點（﹣1，0）的直線AB相交于A、B兩點．已知點A的坐標為（1，3），點C為x軸上任意一點．如果S△ABC＝9，那么點C的坐標為（）A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）【答案】D【解答】解：把點A（1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，∴k＝3，∴反比例函數(shù)為y＝，設(shè)直線AB為y＝ax+b，代入點D（﹣1，0），A（1，3）得，解得，∴直線AB為y＝x+，解，得或，∴B（﹣2，﹣），∵S△ABC＝9，∴S△ACD+S△BCD＝，∴CD＝4，∴點C的坐標為（﹣5，0）或（3，0）．故選：D．二．填空題（共4小題）9．（2023?衡陽）在平面直角坐標系中，點P（﹣3，﹣2）所在象限是第三象限．【答案】三．【解答】解：點P（﹣3，﹣2）在第三象限，故答案為：三．10．（2023?婁底）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x≥﹣1．【答案】x≥﹣1．【解答】解：由題意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故答案為：x≥﹣1．11．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過點A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝．【答案】．【解答】解：△AOB的面積為＝，所以k＝．故答案為：．12．（2023?郴州）在一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+3中，y隨x的增大而增大，則k的值可以是3（答案不唯一）（任寫一個符合條件的數(shù)即可）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在一次函數(shù)y＝（k﹣2）x+3的圖象中，y隨x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得：k＞2．∴k值可以為3．故答案為：3（答案不唯一）．三．解答題（共12小題）13．（2023?郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質(zhì)量為5g．在容器中加入一定質(zhì)量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質(zhì)量，得到下表：托盤B與點C的距離x/cm3025201510容器與水的總質(zhì)量y1/g1012152030加入的水的質(zhì)量y2/g57101525把上表中的x與y1各組對應(yīng)值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）請在該平面直角坐標系中作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象；（2）觀察函數(shù)圖象，并結(jié)合表中的數(shù)據(jù)：①猜測y1與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求y1關(guān)于x的函數(shù)表達式；②求y2關(guān)于x的函數(shù)表達式；③當0＜x≤60時，y1隨x的增大而減小（填“增大”或“減小”），y2隨x的增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”），y2的圖象可以由y1的圖象向下（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的質(zhì)量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點C的距離x（cm）的取值范圍．【答案】（1）作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象見解答過程；（2）①y1是x的反比例函數(shù)，y1＝；②y2＝﹣5；③減小，減小，下；（3）6≤x≤12.5．【解答】解：（1）作出y2關(guān)于x的函數(shù)圖象如下：（2）①觀察表格可知，y1是x的反比例函數(shù)，設(shè)y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1關(guān)于x的函數(shù)表達式是y1＝；②∵y1＝y(tǒng)2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③觀察圖象可得，當0＜x≤60時，y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而減小，y2的圖象可以由y1的圖象向下平移得到；故答案為：減小，減小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．14．（2023?衡陽）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點A．（1）求點A的坐標．（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．【答案】（1）（3，4）；（2）．【解答】解：（1）解方程組（x＞0），得，∴點A的坐標為（3，4）；（2）設(shè)點D的坐標為（x，0）．由題意可知，BC是OA的垂直平分線，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝，∴D（，0），OD＝．15．（2023?永州）小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量筒中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經(jīng)有少量水，因而得到如表的一組數(shù)據(jù)：時間t（單位：分鐘）12345…總水量y（單位：毫升）712172227…（1）探究：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，請判斷和y＝kt+b（k，b為常數(shù)）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系？并求出y關(guān)于t的表達式；（2）應(yīng)用：①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升？②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．【答案】（1）y＝5t+2；（2）①102毫升；②144天．【解答】解：（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，y＝kt+b（k，b為常數(shù)）能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系，∵當t＝1時，y＝7，當t＝2時，y＝12，∴，∴，∴y＝5t+2；（2）①當t＝20時，y＝100+2＝102，即估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升；②當t＝24×60＝1440分鐘時，y＝5×1440+2＝7202（毫升），當t＝0時，y＝2，∴＝144（天），答：估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用144天．16．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點A、C分別在x軸負半軸，y軸負半軸上，點B在第三象限內(nèi)，點A（t，0），點P（1，2）在函數(shù)的圖象上．（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．【答案】（1）k＝2；（2）Tmx＝1．【解答】解：（1）∵點P（1，2）在函數(shù)的圖象上，∴2＝，∴k＝2，即k的值為2；（2）∵點A（t，0）在x軸負半軸上，∴OA＝﹣t，∵四邊形OABC為正方形，∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x軸，∴△BCP的面積為S＝×（﹣t）×（2﹣t）＝t2﹣t，∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，∵﹣1＜0，∴拋物線開口向下，∴當t＝﹣1時，T有最大值，T的最大值是1．17．（2023?株洲）某花店每天購進16支某種花，然后出售，如果當天售不完，那么剩下的這種花進行作廢處理．該花店記錄了10天該種花的日需求量（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計如下表：日需求量n131415161718天數(shù)112411（1）求該花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；（2）當n＜16時，日利潤y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達式為：y＝10n﹣80；當n≥16時，日利潤為80元．①當n＝14時，問該花店這天的利潤為多少元？②求該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率．【答案】（1）花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)為4天；（2）①當n＝14時，該花店這天的利潤為60元；②該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率為．【解答】解：（1）1+1+2＝4，答：花店在這10天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)為4天；（2）①當n＝14時，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60，答：當n＝14時，該花店這天的利潤為60元；②當n＜16時，70＝10n﹣80，解得：n＝15，當n＝15時，有2天，∴＝．答：該花店這10天中日利潤為70元的日需求量的頻率為．18．（2023?郴州）已知拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點A（1，0），B（4，0），與y軸相交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求的值；（3）如圖2，取線段OC的中點D，在拋物線上是否存在點Q，使tan∠QDB＝？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）；（3）或（，2）或Q（3，﹣2）或．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4與x軸相交于點A（1，0），B（4，0），，解得：，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣5x+4；（2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，當x＝0時，y＝4，∴C（0，4），拋物線的對稱軸為直線，∵△PAC的周長等于PA+PC+AC，AC為定長，∴當PA+PC的值最小時，△PAC的周長最小，∵A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴PA+PC＝PB+PC≥BC，當P，B，C三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，此時點P為直線BC與對稱軸的交點，設(shè)直線BC的解析式為：y＝mx+n，則：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，當時，，∴，∵A（1，0），C（0，4），∴PA＝＝，PC＝＝，∴；（2）存在，∵D為OC的中點，∴D（0，2），∴OD＝2，∵B（4，0），∴OB＝4，在Rt△BOD中，，，∴∠QDB＝∠OBD；①當Q點在D點上方時：過點D作DQ∥OB，交拋物線于點Q，則：∠QDB＝∠OBD，此時Q點縱坐標為2，設(shè)Q點橫坐標為t，則：t2﹣5t+4＝2，解得：，∴Q（，2）或（，2）；②當點Q在D點下方時：設(shè)DQ與x軸交于點E，則：DE＝BE，設(shè)E（p，0），則：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2，∴p2+4＝（4﹣p）2，解得：，∴，設(shè)DE的解析式為：y＝kx+q，則：，解得：，∴，聯(lián)立，解得：或，∴Q（3，﹣2）或；綜上所述，或（，2）或Q（3，﹣2）或．19．（2023?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且該二次函數(shù)的圖象過點（2，0），求b的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，點D在⊙O上且在第二象限內(nèi)，點E在x軸正半軸上，連接DE，且線段DE交y軸正半軸于點F，．①求證：．②當點E在線段OB上，且BE＝1．⊙O的半徑長為線段OA的長度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②0．【解答】（1）解：∵a＝1，c＝﹣1，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+bx﹣1，∵該二次函數(shù)的圖象過點（2，0），∴4+2b﹣1＝0，解得：b＝﹣；（2）①證明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，∴△DOF∽△DEO，∴，∴＝，∵，∴；②解∵該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，∴OA＝﹣x1，OB＝x2，∵BE＝1．∴OE＝x2﹣1，∵⊙O的半徑長為線段OA的長度的2倍，∴OD＝﹣2x1，∵，∴，∴3x1+x2﹣1＝0，即x2＝1﹣3x1①，∵該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的兩個根，∴，∵4ac＝﹣a2﹣b2，a≠0，∴，即4（x1x2）+1+（x1+x2）2＝0②①代入②，即，即，整理得﹣8（x1）2＝﹣2，∴，解得：（正值舍去），∴，∴拋物線的對稱軸為直線，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0．20．（2023?岳陽）已知拋物線Q1：y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點，交y軸于點C（0，3）．（1）請求出拋物線Q1的表達式．（2）如圖1，在y軸上有一點D（0，﹣1），點E在拋物線Q1上，點F為坐標平面內(nèi)一點，是否存在點E，F(xiàn)使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請求出點E，F(xiàn)的坐標；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點為K，與x軸正半軸交于點H，拋物線Q1上是否存在點P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在，E（﹣2，3），F(xiàn)（1，2）．（3）點P的坐標為（1，0）或（﹣2，3）．【解答】解：（1）∵拋物線Q1：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），C（0，3）兩點，∴，解得：，∴拋物線Q1的表達式為y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在點E，F(xiàn)使得四邊形DAEF為正方形．理由：如圖1，過點E作EG⊥x軸于點G，則∠AGE＝90°＝∠AOD，∵A（﹣3，0），D（0，﹣1），∴OA＝3，OD＝1，∵四邊形DAEF是正方形，∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAG＝∠ADO，∴△EAG≌△ADO（AAS），∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，∴E（﹣2，3），當x＝﹣2時，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴點E在拋物線上，過點F作FL⊥y軸于點L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2，F(xiàn)（1，2）．（3）拋物線Q1上存在點P，使得∠CPK＝∠CHK．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線Q1的頂點坐標為（﹣1，4），∵將拋物線Q1向右平移2個單位，得到拋物線Q2，∴拋物線Q2的解析式為y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵拋物線Q2的頂點為K，與x軸正半軸交于點H，∴K（1，4），H（3，0），過點K作KT⊥y軸于點T，連接BC，如圖2，過點C作PS⊥y軸交BK于點S，交拋物線Q1于點P，連接PK，則T（0，4），∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT＝45°，CK＝KT＝，∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝45°，CH＝OC＝3，∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°，∴tan∠CHK＝＝＝，∵∠CPK＝∠CHK，∴tan∠CPK＝tan∠CHK＝，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝∠CHK，∵BK∥OC，∴∠CBK＝∠BCO，∴∠CBK＝∠CHK，即點P與點B重合時，∠CPK＝∠CHK，∴P1（1，0）；∵SK＝1，PS＝3，∴tan∠CPK＝＝，∴∠CPK＝∠CHK，∵點P與點C關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∴P（﹣2，3）；綜上所述，拋物線Q1上存在點P，使得∠CPK＝∠CHK，點P的坐標為（1，0）或（﹣2，3）．21．（2023?衡陽）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于點C，連接AC，過B、C兩點作直線．（1）求a的值．（2）將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點．在直線B′C′上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，請求出直線BP的解析式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）a＝﹣1．（2）存在，D（，）．（3）拋物線上存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直線BP的解析式為y＝﹣x+1或y＝﹣3x+9．．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A（﹣1，0），∴a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．（2）存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線B′C′的距離最大．∵y＝﹣x2+2x+3，當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，∵將直線BC向下平移m（m＞0）個單位長度，交拋物線于B′、C′兩點，∴直線B′C′的解析式為y＝﹣x+3﹣m，設(shè)D（t，﹣t2+2t+3），過點D作DE∥y軸，交B′C′于點E，作DF⊥B′C′于點F，設(shè)直線B′C′交y軸于點G，如圖，∴E（t，﹣t+3﹣m），∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵B′C′∥BC，∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，∵DE∥y軸，∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，∵∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），∵﹣＜0，∴當t＝時，DF取得最大值（+m），此時點D的坐標為（，）．（3）存在．當∠PBC在BC的下方時，在y軸正半軸上取點M（0，1），連接BM交拋物線于點P，如圖，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，∴△BOM≌△COA（SAS），∴∠MBO＝∠ACO，∵∠CBO＝45°，∴∠CBP+∠MBO＝45°，∴∠CBP+∠ACO＝45°，設(shè)直線BM的解析式為y＝k′x+b′，則，解得：，∴直線BM的解析式為y＝﹣x+1，聯(lián)立，得，解得：（舍去），，∴P（﹣，）；當∠PBC在BC的上方時，作點M關(guān)于直線BC的對稱點M′，如圖，連接MM′，CM′，直線BM′交拋物線于P，由對稱得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，∴∠MCM′＝90°，∴M′（2，3），則直線BM′的解析式為y＝﹣3x+9，聯(lián)立，得：，解得：（舍去），，∴P（2，3）；綜上所述，拋物線上存在點P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直線BP的解析式為y＝﹣x+1或y＝﹣3x+9．22．（2023?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標；（2）點P為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線AC，連接PA、PC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標；（3）設(shè)直線l1：y＝kx+k﹣交拋物線于點M、N，求證：無論k為何值，平行于x軸的直線l2：y＝﹣上總存在一點E，使得∠MEN為直角．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2+2x﹣8，頂點坐標為（﹣1，﹣9）；（2）S△PAC的最大值為8，點P（﹣2，﹣8）；（3）證明見解答．【解答】（1）解：∵拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣9）；（2）解：∵拋物線y＝x2+2x﹣8與y軸交于點C，∴C（0，﹣8），設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣8，設(shè)P（t，t2+2t﹣8），過點P作PF∥y軸，交AC于點F，如圖，則F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝PF?（t+4）+PF?（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴當t＝﹣2時，S△PAC的最大值為8，此時點P（﹣2，﹣8）；（3）證明：∵直線l1：y＝kx+k﹣交拋物線于點M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，∴xM+xN＝k﹣2，xMxN＝﹣k，∵yM＝kxM+k﹣，yN＝kxN+k﹣，∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN），∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，∵設(shè)MN的中點為O′，∴O′（，k2﹣），過點O′作O′E⊥直線l2：y＝﹣，垂足為E，如圖，∴E（，﹣），∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），∴O′E＝MN，∴以MN為直徑的⊙O′一定經(jīng)過點E，∴∠MEN＝90°，∴在直線l2：y＝﹣上總存在一點E，使得∠MEN為直角．23．（2023?永州）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）經(jīng)過點F（0，5），頂點坐標為（2，9），點P（x1，y1）為拋物線上的動點，PH⊥x軸于H，且．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，直線OP：交BF于點G，求的最大值；（3）如圖2，四邊形OBMF為正方形，PA交y軸于點E，BC交FM的延長線于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求點P的橫坐標．【答案】（1）拋物線的表達式為y＝﹣x2+4x+5；（2）的最大值為；（3）點P的橫坐標為．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）經(jīng)過點F（0，5），頂點坐標為（2，9），∴，解得，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+4x+5；（2）過點G作GT⊥x軸于點T，如圖所示，在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，解得x＝5或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），∵F（0，5），∴BO＝FO＝5，設(shè)直線BF的解析式為：y＝kx+5，∴