材料力學第4版單輝祖習題答案

PAGEPAGE2第一章緒論1-2如圖所示，在桿件的斜截面m-m上，任一點A處的總應力p＝120MPa，其方位角＝20°，試求該點處的正應力與切應力。 題1-2圖解：總應力p與截面m-m的法線間的夾角為 所以 1-3已知桿內橫截面上的內力主矢FR與主矩M如圖所示，且均位于x-y平面內。試問桿件橫截面上存在何種內力分量，并確定其大小。圖中，C為截面形心。 題1-3圖解：1-4圖示矩形截面桿，橫截面上的正應力沿截面高度線性分布，截面頂邊各點處的正應力均為=100MPa，底邊各點處的正應力均為零。試問桿件橫截面上存在何種內力分量，并確定其大小。圖中，C為截面形心。題1-4圖解：由題圖所示正應力分布可以看出，該桿橫截面上存在軸力和彎矩，其大小分別為 1-5圖a與b所示兩個矩形微體，虛線表示其變形或位移后的情況，該二微體在A點處的切應變分別記為(A)a與(A)b，試確定其大小。 題1-5圖(a)解： (A)a=0(b)解： 1-6板件變形如圖中虛線所示。試求棱邊AB與AD的平均正應變以及A點處直角BAD的切應變。題1-6圖解：平均正應變?yōu)? 由轉角 得A點處直角BAD的切應變?yōu)榈诙螺S向拉壓應力與材料的力學性能試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。圖2-12-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為q。 題2-2圖(a)解：由圖2-2a(1)可知， 軸力圖如圖2-2a(2)所示， 圖2-2a(b)解：由圖2-2b(1)可知， 軸力圖如圖2-2b(2)所示， 圖2-2b2-3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2，載荷F=50kN。試求圖示斜截面m-m上的正應力與切應力，以及桿內的最大正應力與最大切應力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應力為 斜截面m-m的方位角故有 桿內的最大正應力與最大切應力分別為 2-5某材料的應力-應變曲線如圖所示，圖中還同時畫出了低應變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限、屈服極限、強度極限與伸長率，并判斷該材料屬于何種類型（塑性或脆性材料）。題2-5圖解：由題圖可以近似確定所求各量。 , ,該材料屬于塑性材料。2-7一圓截面桿，材料的應力-應變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d=10mm，桿長l=200mm，桿端承受軸向拉力F=20kN作用，試計算拉力作用時與卸去后桿的軸向變形。題2-6圖解： 查上述曲線，知此時的軸向應變?yōu)?軸向變形為 拉力卸去后，有 ，故殘留軸向變形為 2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=32kN，板寬b=100mm，板厚15mm，孔徑d=20mm。試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中）。題2-9圖解：根據(jù) 查應力集中因數(shù)曲線,得 根據(jù) ，得 2-10圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN，板寬b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔徑d=10mm，圓角半徑R=12mm。試求板件橫截面上的最大拉應力（考慮應力集中）。題2-10圖解：1.在圓孔處根據(jù) 查圓孔應力集中因數(shù)曲線，得 故有 2．在圓角處根據(jù) 查圓角應力集中因數(shù)曲線，得 故有 3.結論 （在圓孔邊緣處）2-14圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設各桿的橫截面面積均為A，許用應力均為[]，試確定載荷F的許用值[F]。 題2-14圖解：先后以節(jié)點C與B為研究對象，求得各桿的軸力分別為 根據(jù)強度條件，要求 由此得 2-15圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[]。若在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，試確定使結構重量最輕的值（即確定節(jié)點A的最佳位置）。題2-15圖解：1.求各桿軸力設桿和的軸力分別為和，由節(jié)點B的平衡條件求得 2.求重量最輕的值由強度條件得 結構的總體積為 由 得 由此得使結構體積最小或重量最輕的值為 2-16圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應力為[]。若節(jié)點A和C間的指定距離為l，為使結構重量最輕，試確定的最佳值。題2-16圖解：1.求各桿軸力由于結構及受載左右對稱，故有 2.求的最佳值由強度條件可得 結構總體積為 由 得 由此得的最佳值為 2-17圖示桿件，承受軸向載荷F作用。已知許用應力[]＝120MPa，許用切應力[]＝90MPa，許用擠壓應力[bs]＝240MPa，試從強度方面考慮，建立桿徑d、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。 題2-17圖解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強度，得載荷F的許用值分別為 (a) (b) (c)理想的情況下， 在上述條件下，由式（a）與（c）以及式（a）與（b），分別得 于是得 由此得 2-18圖示搖臂，承受載荷F1與F2作用。已知載荷F1=50kN，F(xiàn)2=35.4kN，許用切應力[]=100MPa，許用擠壓應力=240MPa。試確定軸銷B的直徑d。題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程與，分別得 由此得軸銷處的總支反力為 2.確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強度條件（這里是雙面剪） 得 由軸銷的擠壓強度條件 得 結論：取軸銷直徑。2-19圖示木榫接頭，承受軸向載荷F=50kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應力。 題2-19圖解：切應力與擠壓應力分別為 2-20圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料相同，許用應力[]=160MPa，許用切應力[]=120MPa，許用擠壓應力[bs]=340MPa，載荷F=230kN。試校核接頭的強度。 題2-20圖解：最大拉應力為 最大擠壓與剪切應力則分別為 2-21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=45kN作用。已知木桿的截面寬度b=250mm，沿木紋方向的許用拉應力[]=6MPa，許用擠壓應力=10MPa，許用切應力[]=1MPa。試確定鋼板的尺寸與l以及木桿的高度h。題2-21圖解：由拉伸強度條件 得 （a）由擠壓強度條件 得 （b）由剪切強度條件 得 取代入式（a），得 結論：取 ，，。2-22圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知鉚釘直徑d=20mm，許用應力[]=160MPa，許用切應力[]=120MPa，許用擠壓應力=340MPa。板件與鉚釘?shù)牟牧舷嗤Ｔ囉嬎憬宇^的許用載荷。題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸強度由圖2-22所示之軸力圖可知， 圖2-222.考慮鉚釘?shù)募羟袕姸? 3．考慮鉚釘?shù)臄D壓強度 結論：比較以上四個F值，得 2-23圖a所示鋼帶AB，用三個直徑與材料均相同的鉚釘與接頭相連接，鋼帶承受軸向載荷F作用。已知載荷F=6kN，帶寬b=40mm，帶厚=2mm，鉚釘直徑d=8mm，孔的邊距a=20mm，鋼帶材料的許用切應力[]=100MPa，許用擠壓應力[bs]=300MPa，許用拉應力[]=160MPa。試校核鋼帶的強度。 題2-23圖解：1．鋼帶受力分析分析表明，當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時，通常即認為各鉚釘剪切面的剪力相同。鉚釘孔所受擠壓力Fb等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb相同，鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為 孔表面的最大擠壓應力為 在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b），切應力為 鋼帶的軸力圖如圖c所示。由圖b與c可以看出，截面1-1削弱最嚴重，而截面2-2的軸力最大，因此，應對此二截面進行拉伸強度校核。截面1-1與2-2的正應力分別為 第三章軸向拉壓變形3-2一外徑D=60mm、內徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長l=400mm，兩端承受軸向拉力F=200kN作用。若彈性模量E=80GPa，泊松比=0.30。試計算該桿外徑的改變量D及體積改變量V。解：1.計算D由于 故有 2.計算V變形后該桿的體積為 故有 3-4圖示螺栓，擰緊時產生=0.10mm的軸向變形。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。試求預緊力F，并校核螺栓的強度。題3-4圖解：1.求預緊力各段軸力數(shù)值上均等于，因此， 由此得 2.校核螺栓的強度 此值雖然超過，但超過的百分數(shù)僅為2.6％，在5％以內，故仍符合強度要求。3-5圖示桁架，在節(jié)點A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2的縱向正應變分別為1=4.0×10-4與2=2.0×10-4。已知桿1與桿2的橫截面面積A1=A2=200mm2，彈性模量E1=E2=200GPa。試確定載荷F及其方位角之值。題3-5圖解：1.求各桿軸力 2.確定及之值由節(jié)點的平衡方程和得 化簡后，成為 (a)及 (b)聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得 由此得 3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為，長度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E。試計算板的軸向變形。題3-6圖解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為 (a)由圖可知，若自左向右取坐標，則該截面的寬度為 代入式(a)，于是得 3-7圖示桿件，長為l，橫截面面積為A，材料密度為，彈性模量為E，試求自重下桿端截面B的位移。題3-7圖解：自截面B向上取坐標，處的軸力為 該處微段dy的軸向變形為 于是得截面B的位移為 3-8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設沿地樁單位長度的摩擦力為f，且f=ky2，式中，k為常數(shù)。已知地樁的橫截面面積為A，彈性模量為E，埋入土中的長度為l。試求地樁的縮短量。題3-8圖解：1.軸力分析摩擦力的合力為 根據(jù)地樁的軸向平衡， 由此得 （a）截面處的軸力為 2.地樁縮短量計算截面y處微段dy的縮短量為 積分得 將式(a)代入上式，于是得 3-9圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經無摩擦滑輪所支持。設鋼絲繩的軸向剛度（即產生單位軸向變形所需之力）為k，試求當載荷F作用時端點B的鉛垂位移。題3-9圖解：載荷作用后，剛性梁傾斜(見圖3-9)。設鋼絲繩中的軸力為，其總伸長為。 圖3-9以剛性梁為研究對象，由平衡方程得 由此得 由圖3-9可以看出， 可見， (b)根據(jù)的定義，有 于是得 3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計算節(jié)點A的水平與鉛垂位移。 題3-10圖（a）解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為 如圖3-10(1)所示，根據(jù)變形l1與l4確定節(jié)點B的新位置B’,然后，過該點作長為l+l2的垂線，并過其下端點作水平直線，與過A點的鉛垂線相交于A’,此即結構變形后節(jié)點A的新位置。于是可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為圖3-10（b）解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為于是由圖3-10(2)可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為3-11圖示桁架ABC，在節(jié)點B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積分別為A1=320mm2與A2=2580mm2。試問在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點B的鉛垂位移最小，應取何值（即確定節(jié)點A的最佳位置）。題3-11圖解：1.求各桿軸力由圖3-11a得 圖3-112.求變形和位移由圖3-11b得 及 3.求的最佳值由，得 由此得 將的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得 解此三次方程，舍去增根，得 由此得的最佳值為 3-12圖示桁架，承受載荷F作用。設各桿的長度為l，橫截面面積均為A，材料的應力應變關系為n=B，其中n與B為由試驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié)點C的鉛垂位移。 題3-12圖解：兩桿的軸力均為 軸向變形則均為 于是得節(jié)點C的鉛垂位移為 3-13圖示結構，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均相同。在梁的中點C承受集中載荷F作用。已知載荷F=20kN，各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E=200GPa，梁長l=1000mm。試計算該點的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1.求各桿軸力由，得 由，得 2．求各桿變形 3．求中點的位移由圖3-13易知， 圖3-13 3-14圖a所示桁架，承受載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試求節(jié)點B與C間的相對位移B/C。題3-14圖解：1.內力與變形分析利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為2.位移分析如圖b所示，過點d與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節(jié)點C的鉛垂線相交于點e與h，然后，在de與gh延長線取線段l3與l2，并在其端點m與n分別作垂線，得交點C’，即為節(jié)點C的新位置?？梢钥闯?，3-15如圖所示桁架，設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求載荷作用點沿載荷作用方向的位移。題3-15圖(a)解：各桿編號如圖3-15a所示，各桿軸力依次為 該桁架的應變能為 圖3-15依據(jù)能量守恒定律， 最后得 (b)解：各桿編號示圖b所示列表計算如下：1200345于是， 依據(jù)能量守恒定律， 可得 3-16圖示桁架，承受載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求節(jié)點B與C間的相對位移B/C。題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計算如下：12345由表中結果可得 依據(jù) 得 3-17圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。已知板的厚度為，長度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E，試用能量法計算板的軸向變形。題3-17圖解：對于變截面拉壓板件，應變能的表達式為 (a)由圖可知，若自左向右取坐標，則該截面的寬度為 將上式代入式（a）,并考慮到,于是得 設板的軸向變形為l，則根據(jù)能量守恒定律可知， 或 由此得 3-19圖示各桿，承受集中載荷F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為EA，試求支反力與最大軸力。 題3-19圖(a)解：桿的受力如圖3-19a(1)所示，平衡方程為 一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。 圖3-19aAC，CD與DB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得 桿的軸力圖如圖3-19a(2)所示，最大軸力為 (b)解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為 一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。 圖3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得 桿的軸力圖如圖3-19b(2)所示，最大軸力為 3-20圖示結構，桿1與桿2的橫截面面積相同，彈性模量均為E，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應力[t]=160MPa,許用壓應力[c]=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。 題3-20圖解：容易看出，在載荷F作用下，桿2伸長，桿1縮短，且軸向變形相同，故FN2為拉力，F(xiàn)N1為壓力，且大小相同，即以剛性梁BC為研究對象，鉸支點為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根據(jù)強度條件，取3-21圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設各桿各截面的拉壓剛度相同，試求各桿軸力。題3-21圖(a)解：此為一度靜不定桁架。設以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿為研究對象，由，得 (a)后取節(jié)點為研究對象，由和依次得到 (b)及 (c)在節(jié)點處有變形協(xié)調關系（節(jié)點鉛垂向下） (d)物理關系為 (e)將式(e)代入式(d)，化簡后得 聯(lián)解方程和，得（拉），（壓），（拉）(b)解：此為一度靜不定問題。考慮小輪的平衡，由，得 由此得 在作用下，小輪沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下，，故有 的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-22圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應力分別為[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，彈性模量分別為E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若載荷F=160kN，A1=A2=2A3，試確定各桿的橫截面面積。題3-22圖解：此為一度靜不定結構。節(jié)點處的受力圖和變形圖分別如圖3-22a和b所示。 圖3-22由圖a可得平衡方程 (a) (b)由圖b得變形協(xié)調方程為 (c)根據(jù)胡克定律，有 將式(d)代入式(c)，化簡后得補充方程為 聯(lián)解方程(a)，(b)和(c’)，并代入數(shù)據(jù)，得(壓)，（拉），（拉）根據(jù)強度要求，計算各桿橫截面面積如下： 根據(jù)題意要求，最后取 3-23圖a所示支架，由剛體ABC并經由鉸鏈A、桿1與桿2固定在墻上，剛體在C點處承受鉛垂載荷F作用。桿1與桿2的長度、橫截面面積與彈性模量均相同，分別為l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。設由千分表測得C點的鉛垂位移ymm，試確定載荷F與各桿軸力。 題3-23圖解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點A沿順時針方向作微小轉動，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖b所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程，得 (a)由變形圖中可以看出，變形協(xié)調條件為 (b)根據(jù)胡克定律， (c)將上述關系式代入式（b），得補充方程為 聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補充方程，得 (d)2.由位移y確定載荷F與各桿軸力變形后，C點位移至C’(CC’AC)（圖b），且直線AC與AB具有相同的角位移，因此，C點的總位移為 又由于 由此得 將式（c）與（d）的第一式代入上式，于是得 并從而得 3-24圖示鋼桿，橫截面面積A=2500mm2，彈性模量E=210GPa，軸向載荷F=200kN。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。(a)間隙=0.6mm；(b)間隙=0.3mm。 題3-24圖解：當桿右端不存在約束時，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為 當間隙=0.6mm時，由于，僅在桿C端存在支反力，其值則為 當間隙=0.3mm時，由于，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。 圖3-24桿的平衡方程為 補充方程為 由此得 而C端的支反力則為 3-25圖示兩端固定的等截面桿AB，桿長為l。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為，式中的為桿件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為E與。試求桿件橫截面上的應力。題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長此為一度靜不定問題。假如將B端約束解除掉，則在處的桿微段就會因溫升而有一個微伸長 全桿伸長為 2．求約束反力設固定端的約束反力為，桿件因作用而引起的縮短量為 由變形協(xié)調條件 可得 3．求桿件橫截面上的應力 3-26圖示桁架，桿BC的實際長度比設計尺寸稍短，誤差為。如使桿端B與節(jié)點G強制地連接在一起，試計算各桿的軸力。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題3-26圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號1~5。由強制裝配容易判斷，桿1~3受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點和的受力圖分別如圖3-26a和b所示。 圖3-26根據(jù)平衡條件，由圖a可得 (a)由圖b可得 (b)變形協(xié)調關系為(參看原題圖) (c)依據(jù)胡克定律，有 (d)將式(d)代入式(c)，得補充方程 (e)聯(lián)立求解補充方程(e)、平衡方程(a)與(b)，最后得 即 （拉） （壓）3-27圖a所示鋼螺栓，其外套一長度為l的套管。已知螺栓與套管的橫截面面積分別為Ab與At，彈性模量分別為Eb與Et，螺栓的螺距為p?，F(xiàn)將螺母旋緊1/5圈，試求螺栓與套管所受之力。螺帽與螺母的變形忽略不計。 題3-27圖解：首先設想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉1/5圈，即旋進=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。設螺栓所受拉力為FNb，伸長為lb，套管所受壓力為FNt，縮短為lt，則由圖b與c可知，平衡方程為 (a)而變形協(xié)調方程則為 利用胡克定律，得補充方程為 (b)最后，聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（b），得螺栓與套管所受之力即預緊力為 式中， 3-28圖示組合桿，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內徑為30mm的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40℃，試計算鉚釘剪切面上的切應力。鋼與銅的彈性模量分別為Es=200GPa與Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為=12.5×10-6℃-1與=16×10-6℃-1。題3-28圖解：設溫度升高時鋼桿和銅管自由伸長量分別為和，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變形協(xié)調條件為 或寫成 這里，伸長量和縮短量均設為正值。引入物理關系，得 將靜力平衡條件代入上式，得 注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應力為 由此得 3-29圖示結構，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA，梁BD為剛體，試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補充方程。(1)若桿2的實際尺寸比設計尺寸稍短，誤差為；(2)若桿1的溫度升高T，材料的熱膨脹系數(shù)為l。題3-29圖(1)解：如圖3-29(1)a所示，當桿2未與剛性桿BD連接時，下端點位于，即。當桿2與剛性桿BD連接后，下端點鉛垂位移至，同時，桿1的下端點則鉛垂位移至。過作直線C’e垂直于桿1的軸線，顯然，即代表桿1的彈性變形，同時，，即代表桿2的彈性變形。與上述變形相應，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(1)b所示。圖3-29(1)可以看出，即變形協(xié)調條件為而補充方程則為或(2)解：如圖3-29(2)a所示，當桿1未與剛性桿BD連接時，由于其溫度升高，下端點位于，即。當桿1與剛性桿BD連接后，下端點C鉛垂位移至，而桿2的下端點D則鉛垂位移至。過作直線垂直于直線，顯然，即代表桿1的彈性變形，同時，，代表桿2的彈性變形。與上述變形相應，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(2)b所示。圖3-29(2)可以看出，故變形協(xié)調條件為而補充方程則為或3-30圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應力均相同，并分別為A，E與[]，試確定該桁架的許用載荷[F]。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設計長度l變?yōu)?。試問當為何值時許用載荷最大，其值[F]max為何。題3-30圖解:此為一度靜不定問題。節(jié)點處的受力及變形分別如圖3-30a和b所示。圖3-30由圖a得平衡方程為 (a)由圖b得變形協(xié)調條件為 (b)依據(jù)胡克定律,有 (c)將式(c)代入式(b)，化簡后得補充方程為 (b’)將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得 由此得為了提高值，可將桿3做長，由圖b得變形協(xié)調條件為 式中，均為受載后的伸長，依題意，有了后，應使三根桿同時達到，即 由此得 此時，各桿的強度均充分發(fā)揮出來，故有第四章扭轉4-5一受扭薄壁圓管，外徑D=42mm，內徑d=40mm，扭力偶矩M=500N?m，切變模量G=75GPa。試計算圓管橫截面與縱截面上的扭轉切應力，并計算管表面縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為 于是，該圓管橫截面上的扭轉切應力為 依據(jù)切應力互等定理，縱截面上的扭轉切應力為 該圓管表面縱線的傾斜角為 4-7試證明，在線彈性范圍內，且當R0/≥10時，薄壁圓管的扭轉切應力公式的最大誤差不超過4.53%。解：薄壁圓管的扭轉切應力公式為 設，按上述公式計算的扭轉切應力為 (a)按照一般空心圓軸考慮，軸的內、外直徑分別為 極慣性矩為 由此得 (b)比較式(a)與式(b)，得 當時， 可見，當時，按薄壁圓管的扭轉切應力公式計算的最大誤差不超過4.53％。4-8圖a所示受扭圓截面軸，材料的曲線如圖b所示，并可用表示，式中的C與m為由試驗測定的已知常數(shù)。試建立扭轉切應力公式，并畫橫截面上的切應力分布圖。題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到 (a)根據(jù)題設，軸橫截面上距圓心為處的切應力為 (b)由靜力學可知， (c)取徑向寬度為的環(huán)形微面積作為，即 (d)將式(d)代入式(c)，得 由此得 (e)將式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭轉切應力公式為 橫截面上的切應力的徑向分布圖如圖4-8所示。 圖4-84-9在圖a所示受扭圓截面軸內，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC切出單元體ABCDEF（圖b）。試繪各截面上的應力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的。題4-9圖解：單元體ABCDEF各截面上的應力分布圖如圖4-9a所示。 圖4-9根據(jù)圖a，不難算出截面上分布內力的合力為 同理，得截面上分布內力的合力為 方向如圖c所示設作用線到軸線的距離為，容易求出 根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內力的合力為 同理，左端面上的合力為 方向如圖c所示設作用線到水平直徑的距離為（見圖b），由 得 同理，作用線到水平直徑的距離也同此值。根據(jù)圖b，還可算出半個右端面上豎向分布內力的合力為 設作用線到豎向半徑的距離為（見圖b），由 得 同理，可算出另半個右端面以及左端面上的豎向分布內力的合力為 方向均圖c所示。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為。由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對力構成四個力偶，顯然，這是一個空間力偶系的平衡問題。 既然是力偶系，力的平衡方程（共三個）自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的在數(shù)值上均等于。4-11如圖所示，圓軸AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=56mm，許用切應力[]=80MPa，套管的外徑D=80mm，壁厚=6mm，許用切應力[]=40MPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-11圖解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M。1.由圓軸求的許用值 由此得的許用值為 2．由套管求的許用值 此管不是薄壁圓管。 由此得的許用值為 可見，扭力偶矩M的許用值為 4-13圖示階梯形軸，由AB與BC兩段等截面圓軸組成，并承受集度為m的均勻分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長度l1與l2以及直徑d1與d2。已知軸總長為l，許用切應力為[]。題4-13圖解：1.軸的強度條件在截面處的扭矩最大，其值為 由該截面的扭轉強度條件 得 (a)段上的最大扭矩在截面處，其值為 由該截面的扭轉強度條件得 2．最輕重量設計軸的總體積為 根據(jù)極值條件 得 由此得 (b)從而得 (c) (d)該軸取式(a)~(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4-14一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F=1kN作用。設彈簧的平均直徑D=40mm，彈簧絲的直徑d=7mm，許用切應力[]=480MPa，試校核彈簧的強度。解：由于 故需考慮曲率的影響，此時， 結論：，該彈簧滿足強度要求。4-20圖示圓錐形薄壁軸AB，兩端承受扭力偶矩M作用。設壁厚為，橫截面A與B的平均直徑分別為dA與dB，軸長為l，切變模量為G。試證明截面A和B間的扭轉角為題4-20圖證明：自左端向右取坐標，軸在處的平均半徑為 式中， 截面的極慣性矩為 依據(jù) 得截面和間的扭轉角為 4-21圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設扭轉剛度為已知常數(shù)。題4-21圖(a)解：此為靜不定軸，但有對稱條件可以利用。設A與B端的支反力偶矩分別為，它們的轉向與扭力偶矩相反。由于左右對稱，故知 由可得 即 (b)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，如圖4-21b所示。 圖4-21b變形協(xié)調條件為 (a)利用疊加法，得 (b)將式(b)代入式(a)，可得 進而求得 （轉向與相反）(c)解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對稱條件，容易得到 的轉向與相反。(d)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，從變形趨勢不難判斷，的轉向與相反。變形協(xié)調條件為 (c)利用疊加法，得到（從左端向右?。? (d)將式(d)代入式(c)，可得 進而求得 的轉向亦與相反。4-22圖示軸，承受扭力偶矩M1=400N?m與M2=600N?m作用。已知許用切應力[]=40MPa，單位長度的許用扭轉角[]=0.25°/m，切變模量G=80GPa。試確定軸徑。題4-22圖解：1.內力分析此為靜不定軸，設端支反力偶矩為，該軸的相當系統(tǒng)如圖4-22a所示。 圖4-22利用疊加法，得 將其代入變形協(xié)調條件，得 該軸的扭矩圖如圖4-22b所示。2.由扭轉強度條件求d由扭矩圖可見， 將其代入扭轉強度條件， 由此得 3.由扭轉剛度條件求d將最大扭矩值代入 得 結論：最后確定該軸的直徑。4-23圖示兩端固定階梯形圓軸AB，承受扭力偶矩M作用。已知許用切應力為[]，為使軸的重量最輕，試確定軸徑d1與d2。題4-23圖解：1.求解靜不定設A與B端的支反力偶矩分別為MA與MB，則軸的平衡方程為 (a)AC與CB段的扭矩分別為 ，代入式（a），得 (b)設AC與CB段的扭轉角分別為AC與CB，則變形協(xié)調條件為 (c)利用扭轉角與扭矩間的物理關系，分別有 ，代入式（c），得補充方程為 (d)最后，聯(lián)立求解平衡方程（b）與補充方程（d），得 ， (e)2.最輕重量設計從強度方面考慮，要使軸的重量最輕，應使AC與CB段的最大扭轉切應力的數(shù)值相等，且當扭力偶矩M作用時，最大扭轉切應力均等于許用切應力，即要求 由此得 將式（e）代入上式，得 并從而得 ，根據(jù)圓軸扭轉強度條件，于是得軸的直徑為 4-24圖示兩平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷F作用。已知載荷F=750N，軸1和軸2的直徑分別為d1=12mm和d2=15mm，軸長均為l=500mm，搖臂長度a=300mm，切變模量G=80GPa，試求軸端的扭轉角。題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調條件為 或 (a)這里，和分別為剛性搖臂1和2在接觸點處的豎向位移。設二搖臂間的接觸力為，則軸1和2承受的扭矩分別為 (b)物理關系為 (c)將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得 4-26如圖所示，圓軸AB與套管CD借剛性突緣E焊接成一體，并在突緣E承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=38mm，許用切應力[]=80MPa，切變模量G1=80GPa；套管的外徑D=76mm，壁厚=6mm，許用切應力[]=40MPa，切變模量G2=40GPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學關系和變形協(xié)調條件分別為 (a) (b)物理關系為 (c)將式(c)代入式(b)，并注意到 得 (d)將方程(a)與(d)聯(lián)解，得 2．由圓軸的強度條件定的許用值 由此得扭力偶矩的許用值為 3.由套管的強度條件定的許用值 由此得扭力偶矩的許用值為 結論：扭力偶矩的許用值為 4-27圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一體，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。試校核其強度。設鋼與銅的許用切應力分別為[s]=80MPa與[c]=20MPa，切變模量分別為Gs=80GPa與Gc=40GPa，試校核組合軸強度。題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面B），假想地將組合軸切開，并設鋼軸與銅管的扭矩分別為Ts與Tc，則由平衡方程可知， (a)兩個未知扭矩，一個平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即 (b)設軸段AB的長度為l，則 將上述關系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得補充方程為 (c)聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（c），于是得 (d)2．強度校核 將相關數(shù)據(jù)代入式（d），得 對于鋼軸， 對于銅管， 4-28將截面尺寸分別為100mm×90mm與90mm×80mm的兩鋼管相套合，并在內管兩端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力偶矩M0后，內、外管橫截面上的最大扭轉切應力。解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內管兩端施加后，產生的扭轉角為 (a)去掉后，有靜力學關系 (b)幾何關系為 (c)物理關系為 (d)將式(d)和式(a)代入式(c)，得 或寫成 由此得 (e)聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得 2.計算最大扭轉切應力內、外管橫截面上的最大扭轉切應力分別為 4-29圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在直徑為D=100mm的圓周上，突緣的厚度為=10mm，軸所承受的扭力偶矩為M=5.0kN·m，螺栓的許用切應力[]=100MPa，許用擠壓應力[bs]=300MPa。試確定螺栓的直徑d。題4-29圖解：1.求每個螺栓所受的剪力由 得 2.由螺栓的剪切強度條件求 由此得 3.由螺栓的擠壓強度條件求 由此得 結論：最后確定螺栓的直徑。4-30圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個螺栓均勻排列在直徑為D1的圓周上，另外四個螺栓則均勻排列在直徑為D2的圓周上。設扭力偶矩為M，各螺栓的材料相同、直徑均為d，試計算螺栓剪切面上的切應力。 題4-30圖解：突緣剛度遠大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認為：螺栓i剪切面上的平均切應變i與該截面的形心至旋轉中心O的距離ri成正比，即 式中，k為比例常數(shù)。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應力為 而剪力則為 最后，根據(jù)平衡方程 得 于是得外圈與內圈螺栓剪切面上的切應力分別為 4-31圖a所示托架，承受鉛垂載荷F=9kN作用。鉚釘材料均相同，許用切應力[]=140MPa，直徑均為d=10mm。試校核鉚釘?shù)募羟袕姸取? 題4-31圖解：由于鉚釘均勻排列，而且直徑相同，所以，鉚釘群剪切面的形心C，位于鉚釘2與鉚釘3間的中點處（圖b）。將載荷平移至形心C，得集中力F與矩為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應力相等，其值均為 在附加力偶作用下，鉚釘1與4剪切面上的切應力最大，其值均為 (a)由圖中可以看出， ，所以， 代入式（a），得 將上述兩種切應力疊加，即得鉚釘1與4的總切應力即最大切應力為4-34圖示半橢圓形閉口薄壁桿，a=200mm，b=160mm，=3mm，=4mm，T=6kN·m，試求最大扭轉切應力。題4-34圖解：截面中心線所圍面積為 由此得 于是得最大扭轉切應力為 4-35一長度為l的薄壁管，兩端承受矩為M的扭力偶作用。薄壁管的橫截面如圖所示，平均半徑為R0，上、下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別為G1與G2，厚度分別為1與2，且1<2，試計算管內的最大扭轉切應力，以及管端兩橫截面間的扭轉角。 題4-35圖解：1.扭轉切應力計算閉口薄壁管扭轉切應力的一般公式為 現(xiàn)在 所以，最大扭轉切應力為 2.扭轉變形計算用相距dx的兩個橫截面，與夾角為d的兩個徑向縱截面，從管的上部切取一微體，其應變能為 由此得整個上半圓管的應變能為 同理得整個下半圓管的應變能為 根據(jù)能量守恒定律， 于是得 4-36圖示三種截面形狀的閉口薄壁桿，若截面中心線的長度、壁厚、桿長、材料以及所受扭矩均相同，試計算最大扭轉切應力之比和扭轉角之比。題4-36圖解：由于三者中心線的長度相同，故有 由此得 據(jù)此可求得長方形、正方形及圓形薄壁截面的，其值依次為 依據(jù) 可得三種截面薄壁桿的最大扭轉切應力之比為 依據(jù) 可得三種截面薄壁桿的扭轉角之比為 結果表明：在題設條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉強度及扭轉剛度均最佳，正方形截面薄壁桿的次之，長方形截面薄壁桿的最差。一般說來，在制造閉口薄壁桿時，應盡可能加大其中心線所圍的面積，這樣對強度和剛度均有利。4-37圖示閉口薄壁桿，承受扭力偶矩M作用，試計算扭力偶矩的許用值。已知許用切應力[]=60MPa，單位長度的許用扭轉角[]=0.5°/m，切變模量G=80GPa。若在桿上沿桿件母線開一槽，則許用扭力偶矩將減少至何值。題4-37圖解：1.計算閉口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉強度條件 得 由扭轉剛度條件 得 其中用到 比較可知， 2.計算開口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉強度條件 得 由扭轉剛度條件 得 比較可知， 第五章彎曲內力5-3試證明，在集中力F作用處（圖a），梁微段的內力滿足下列關系：而在矩為Me的集中力偶作用處（圖b），則恒有題5-3圖證明：根據(jù)題圖a，由 保留有限量，略去微量后，得 為了更一般地反映作用處剪力的突變情況（把向下的也包括在內），可將上式改寫為 仍據(jù)題圖a，由 保留有限量，略去一階和二階微量后，得 下標系指梁微段右端面的形心，對題圖(b)亦同。根據(jù)題圖b，由 略去微量后，得 仍據(jù)題圖b，由 保留有限量，略去一階和二階微量后，得 為了更一般地反映作用處彎矩的突變情況（把逆鐘向的也包括在內），可將上式改寫為 5-6已知梁的剪力、彎矩圖如圖所示，試畫梁的外力圖。題5-6圖解：根據(jù)題圖中所給的圖和圖，并依據(jù)三個微分關系和兩個突變關系，可畫梁的外力圖，如圖5-6a和b所示。 圖5-65-8圖示外伸梁，承受均布載荷q作用。試問當a為何值時梁的最大彎矩值（即）最小。題5-8圖解：1.求支反力由對稱性可知，二支座的支反力相等（圖5-8a），其值為 圖5-82．畫彎矩圖根據(jù)各梁段的端值及剪力、彎矩與載荷集度間的微分關系，畫彎矩圖如圖b所示。3．確定a值當梁中點處的彎矩值、以及C與D處彎矩的絕對值相等時，梁的最大彎矩值才可能最小，由此得 解此方程，得 舍去增根，最后確定 5-9圖示簡支梁，梁上小車可沿梁軸移動，二輪對梁之壓力均為F。試問：(1)小車位于何位置時，梁的最大彎矩值最大，并確定該彎矩之值；(2)小車位于何位置時，梁的最大剪力值最大，并確定該剪力之值。題5-9圖解：1.求支反力由圖5-9a所示位置，可求得兩端的支反力分別為 圖5-92．確定最大彎矩值及小車位置根據(jù)支反力及梁上小車壓力，畫剪力、彎矩圖如圖b和c所示。由圖可以看出最大彎矩必在作用處。求左輪處之，并求其極值，即可得到。 (a)由 得 (b)此即左輪處達最大值的左輪位置。將式(b)代入式(a)，得彎矩的最大值為 (c)由對稱性可知，當時，右輪處的達到最大，其值同式(c)。3．確定最大剪力值及小車位置由剪力圖不難判斷，最大剪力只可能出現(xiàn)在左段或右段，其剪力方程依次為 二者都是的一次函數(shù)，容易判斷，當或時，即小車無限移近梁的左端或右端時，梁支座內側截面A+或B-出現(xiàn)最大剪力，其絕對值為 5-11圖示各梁，承受分布載荷作用。試建立梁的剪力、彎矩方程，并畫剪力、彎矩圖。題5-11圖(a)解：1.建立剪力、彎矩方程設截面處的載荷集度為，由圖5-11a(1)可知， 圖5-11a由圖5-11a(2)可得，剪力與彎矩方程分別為 2．畫剪力、彎矩圖由式(a)和(b)可知，二者均為簡單的冪函數(shù)，其函數(shù)圖依次為二次下凹曲線及三次下凹曲線。算出A與B兩端的FS與M值，并考慮到上述曲線形狀，即可繪出FS與M圖，如圖5-11a（3）和（4）所示。(b)解：由圖5-11b(1)可知，半跨梁上分布載荷的合力為 于是由平衡方程與，得支反力為圖5-11b為研究方便，選取圖5-11b(2)所示左半跨梁AC為研究對象。顯然，截面C的剪力與彎矩分別為 還可以看出，橫截面x1的載荷集度為 于是得AC段的剪力與彎矩方程分別為 (a) (b)同理，以右半跨梁CB段為研究對象[圖5-11b(3)],得相應剪力與彎矩方程分別為 根據(jù)上述方程，畫梁的剪力與彎矩圖分別如圖5-11b(4)與(5)所示。為了確定彎矩極值及其所在截面的位置，由式(a)并令其為零，即 得彎矩極值截面的橫坐標為 代入式（b），得彎矩極值為 (c)解：1．求支反力 圖5-11c由和得 2．建立剪力、彎矩方程坐標如圖5-11c(1)所示，由截面法可得剪力、彎矩方程分別為3．畫剪力、彎矩圖依據(jù)式（e）與(f)可繪剪力圖，如圖5-11c(2)所示；依據(jù)式(g)與(h)可繪彎矩圖，如圖5-11c(3)所示。注意在處，，有極大值，其值為 (d)解：1．建立剪力、彎矩方程 圖5-11d坐標如圖5-11d(1)所示，由截面法易得剪力、彎矩方程分別為2．畫剪力、彎矩圖依據(jù)式(i)與(j)可繪剪力圖，如圖5-11d(2)所示；依據(jù)式(k)與可繪彎矩圖，如圖5-11d(3)所示。注意在處，，取極值，其絕對值為 5-12圖示簡支梁，承受分布載荷作用，其集度表達式為 式中，q0代表載荷集度的最大絕對值。試建立梁的剪力、彎矩方程，并畫剪力、彎矩圖。 題5-12圖解：分布載荷的合力為 剪力方程為 由此得 彎矩方程為 由此得 根據(jù)上述方程，畫剪力與彎矩圖分別如圖b與c所示，最大剪力與彎矩分別為 5-13在圖示梁上，作用有集度為m=m(x)的分布力偶。試建立力偶矩集度、剪力與彎矩間的微分關系。題5-13圖解：在截面處取微段，其受力圖如圖5-13所示。 圖5-13根據(jù)圖示，由 得 或寫成 (a)其中為微段右端截面的形心。又由 得 或寫成 (b)式(a)和(b)即為本題要求建立的微分關系。5-14對于圖示桿件，試建立載荷集度（軸向載荷集度q或扭力偶矩集度m）與相應內力（軸力或扭矩）間的微分關系。題5-14圖解：在橫截面處取微段，其受力如圖5-14a和b所示。 圖5-14根據(jù)圖a，由 得 或寫成 (a)根據(jù)圖b，由 得 或寫成 (b)5-15試繪制圖示桿件的內力圖，并利用題5-14所述微分關系檢查內力圖的正確性。 題5-15圖解：題(a)的軸力圖與題(b)的扭矩圖，分別如圖5-15a與b所示，最大軸力與最大扭矩分別為圖5-155-16圖示桿件，承受平行于桿軸方向的均布載荷q作用。試畫桿的內力圖，并利用相應載荷與內力間的微分關系檢查內力圖的正確性。題5-16圖(a)解:坐標自左端向右取，內力，其圖則如圖5-16a所示。 圖5-16a上述受力情況，相當于梁上承受集度為的分布力偶情況，利用微分關系（題5-13式(a)）。 可以檢查圖的正確性。這里，為正常值，表明圖應為上傾斜直線。圖5-16a所示確為上傾斜直線，說明所畫圖正確。(b)解：坐標自左端向右取，剪力、彎矩圖及軸力圖依次如圖5-16b(1),(2)和(3)所示。 圖5-16b上述受力情況，相當于桿上作用有載荷集度為的均布軸向載荷和集度為的均布力偶。鉛垂方向無分布載荷作用，即，利用微分關系 檢查圖，其斜率為0，應為水平直線，這是對的。利用微分關系 檢查圖，左半段為正常數(shù)，應為上傾斜直線，對的；右半段為負常數(shù)，應為下傾斜直線，且斜率是左邊的3倍，也是對的。利用微分關系 檢查圖，斜率為負常數(shù)，應為下傾斜直線，所繪圖正確。5-17試畫圖示剛架的內力圖。題5-17圖解：內力圖如圖5-17所示。 圖5-175-18試畫圖示剛架的彎矩圖。題5-18圖解：剛架的彎矩圖如圖5-18所示。 圖5-185-19圖a所示剛架，承受均布軸向載荷q作用，試畫剛架的軸力、剪力與彎矩圖。AB與BC段的長度均為a。 題5-19圖解：由整個剛架的平衡方程，求得支座A與C的支反力分別為 將剛架劃分為AB與BC兩段，并選坐標x1與x2如圖a所示。在橫截面x1處將剛架切開，并選切開后的左段為研究對象，得 同理，在橫截面x2處將剛架切開，并選切開后的下段為研究對象，得 根據(jù)上述方程，畫剛架的軸力、剪力與彎矩圖分別如圖b，c與d所示。5-20試畫圖示各曲梁的彎矩圖。 題5-20圖(a)解：由平衡方程得 由圖5-20a(1)可以看出，曲梁的彎矩方程為彎矩圖如圖5-20a(2)所示，最大彎矩為圖5-20a(b)解：由平衡方程得 由圖5-20b(1)可以看出，曲梁BC段的彎矩方程為根據(jù)上述方程，并考慮到問題的對稱性，畫曲梁彎矩圖如圖5-20b(2)所示，最大彎矩為圖5-20b第六章彎曲應力6-2如圖所示，直徑為d、彈性模量為E的金屬絲，環(huán)繞在直徑為D的輪緣上，試求金屬絲內的最大彎曲正應變、最大彎曲正應力與彎矩。 題6-2圖解：金屬絲的曲率半徑為 所以，金屬絲的最大彎曲正應變?yōu)?最大彎曲正應力為 而彎矩則為6-3圖示帶傳動裝置，膠帶的橫截面為梯形，截面形心至上、下邊緣的距離分別為y1與y2，材料的彈性模量為E。試求膠帶內的最大彎曲拉應力與最大彎曲壓應力。題6-3圖解：由題圖可見，膠帶中性層的最小曲率半徑為 依據(jù) 可得膠帶內的最大彎曲拉應力和最大彎曲壓應力分別為 6-6圖a所示正六邊形截面，邊長為a，試計算抗彎截面系數(shù)Wz與Wy。 題6-6圖解：1.Wz計算由圖b可以看出， 所以，ADB對z軸的慣性矩為 中部矩形截面對z軸的的慣性矩為 于是得整個六邊形截面對z軸的慣性矩為 而對z軸的抗彎截面系數(shù)則為 2.Wy計算ADB對y軸的慣性矩為 中部矩形截面對y軸的的慣性矩為 于是得整個六邊形截面對y軸的慣性矩為 而對y軸的抗彎截面系數(shù)則為 6-7圖示直徑為d的圓木，現(xiàn)需從中切取一矩形截面梁。試問：(1)如欲使所切矩形梁的彎曲強度最高，h和b應分別為何值；(2)如欲使所切矩形梁的彎曲剛度最高，h和b又應分別為何值。題6-7圖解：(1)為使彎曲強度最高，應使值最大。 由此得 (2)為使彎曲剛度最高，應使值最大。 由此得 6-8圖a所示簡支梁，由№18工字鋼制成，彈性模量E=200GPa，a=1m。在均布載荷q作用下，測得截面C底邊的縱向正應變=3.010-4，試計算梁內的最大彎曲正應力。題6-8圖解：1.內力分析梁的彎矩圖如圖b所示，橫截面C的彎矩為 梁內的最大彎矩則為 (a)2.應力計算（解法一）橫截面C底部的彎曲正應力為 由此得 代入式（a），得 于是得梁的最大彎曲正應力為 3.應力計算（解法二）橫截面C底部的彎曲正應力為 由于應力與內力成正比，所以，梁內的最大彎曲正應力為 計算結果相同。6-9圖示簡支梁，承受均布載荷q作用。已知抗彎截面系數(shù)為Wz，彈性模量為E，試計算梁底邊AB的軸向變形。 題6-9圖解：梁的彎矩方程為 橫截面x處底邊微長dx的軸向變形為 所以，梁底邊AB的軸向變形為 6-10圖示截面梁，由№18工字鋼制成，截面上的彎矩M=20kN·m，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比=0.29。試求截面頂邊AB與上半腹板CD的長度改變量。題6-10圖解：1.截面幾何性質工字鋼截面大致形狀及尺寸符號如圖6-10所示。 圖6-10由附錄F表4查得 從而得 2．計算頂邊的長度改變量頂邊處有 由此可得邊的伸長量為 3．計算上半腹板的長度改變量距中性軸為的點，彎曲正應力的絕對值為 （以向上為正）該處的橫向應變?yōu)?由此可得線段的伸長量為 6-12圖a所示矩形截面懸臂梁，桿端截面承受剪切載荷F作用?，F(xiàn)用縱截面AC與橫截面AB將梁的下部切出，試繪單元體ABCD各切開截面上的應力分布圖，并說明該部分是如何平衡的。題6-12圖解：1.單元體的應力分析梁內各橫截面的剪力相同，其值均為F；在固定端處，橫截面上的彎矩則為 與上述內力相對應，單元體各截面的應力如圖b所示。在橫截面AB上，彎曲切應力按拋物線分布，最大切應力為 在該截面上，彎曲正應力線性分布，最大彎曲壓應力則為 在縱截面AC上，作用有均勻分布的切應力，其值為 在橫截面CD上，作用有合力為F1=F/2的剪切分布力。2.單元體的受力分析根據(jù)上述分析，畫單元體的受力如圖c所示。圖中，F(xiàn)2代表橫截面AB上由切應力構成的剪切力，F(xiàn)3代表該截面上由彎曲正應力構成的軸向合力，F(xiàn)4則代表縱截面AC上由切應力構成的剪切合力。顯然， 3.單元體的平衡根據(jù)上述計算結果，得 說明單元體滿足平衡條件。6-13圖示矩形截面簡支梁，承受矩為Me=Fa的集中力偶作用。截面的寬度為b，高度為h。試繪單元體ABCD的應力分布圖（注明應力大?。?，并說明該單元體是如何平衡的。題6-13圖解：1.畫剪力、彎矩圖左、右支座的支反力大小均為，方向是左向上、右向下。據(jù)此可畫剪力與彎矩圖分別如圖6-13a與b所示。 圖6-132．求單元體兩端面上的應力及其合力單元體兩端面及縱截面上的應力分布如圖c所示，最大彎曲正應力和切應力分別為 由切應力互等定理可知，縱截面上的切應力與數(shù)值相等。左、右端面上彎曲正應力構成的軸向合力分別為 左、右端面上彎曲切應力構成的豎向合力大小相等，其值為 縱截面上彎曲切應力構成的軸向合力為 3．檢查單元體的平衡方程是否滿足 由此可見，單元體的全部平衡方程均能滿足（另三個平衡方程是恒等滿足，無需寫出）。6-14梁截面如圖所示，剪力FS=200kN，并位于x-y平面內。試計算腹板上的最大彎曲切應力，以及腹板與翼緣（或蓋板）交界處的彎曲切應力。題6-14圖(a)解：截面形心至其頂邊的距離為 慣性矩和截面靜矩分別為 于是得腹板上的最大彎曲切應力為 腹板與翼緣交界處的彎曲切應力則為 (b)解：采用負面積法，得截面形心至其頂邊的距離為 慣性矩（采用負面積法）和截面靜矩分別為 于是得腹板上的最大彎曲切應力為 腹板與上蓋板交界處的彎曲切應力為 腹板與下蓋板交界處的彎曲切應力為 6-17圖示鑄鐵梁，載荷F可沿梁AC水平移動，其活動范圍為0<<3l/2。已知許用拉應力[t]=35MPa，許用壓應力[c]=140MPa,l=1m，試確定載荷F的許用值。題6-17圖解：1.截面幾何性質計算由圖6-17可得 圖6-172．確定危險面的彎矩值分析可知，可能的危險截面及相應彎矩如下：當作用在段時， 當作用在段時， 3．確定載荷的許用值由危險面的壓應力強度要求 得 由截面的拉應力強度要求 得 由作用面的拉應力強度要求 得 該面上的最大壓應力作用點并不危險，無需考慮。比較上述計算結果，得載荷的許用值為 6-18圖示矩形截面階梯梁，承受均布載荷q作用。已知截面寬度為b，許用應力為[]。為使梁的重量最輕，試確定l1與截面高度h1和h2。題6-18圖解：1.求最大彎矩左段梁最大彎矩的絕對值為 右段梁最大彎矩的絕對值為 2．求截面高度和由根部截面彎曲正應力強度要求 得 (a)由右段梁危險截面的彎曲正應力強度要求 得 (b)3．確定梁的總體積為 由 得 最后，將式(c)代入式(b)，得 為使該梁重量最輕（也就是最?。?，最后取 6-19圖示簡支梁，由四塊尺寸相同的木板膠接而成。已知載荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面寬度b=50mm，高度h=80mm，木板的許用應力[]=7MPa，膠縫的許用切應力[]=5MPa，試校核強度。題6-19圖解：1.畫剪力、彎矩圖該梁的剪力、彎矩圖如圖6-19所示。由圖可知，最大剪力（絕對值）和最大彎矩分別為 圖6-192．校核木板的彎曲正應力強度 3．校核膠縫的切應力強度 結論：該膠合木板簡支梁符合強度要求。6-21圖示四輪吊車起重機的導軌為兩根工字形截面梁，設吊車自重W=50kN，最大起重量F=10kN，許用應用[]=160MPa，許用切應力[]=80MPa。試選擇工字鋼型號。由于梁較長，需考慮梁自重的影響。題6-21圖解：1.求最大彎矩設左、右輪對梁的壓力分別為，不難求得 由圖6-21a所示梁的受力圖及坐標，得支反力 圖6-21該梁的剪力、彎矩圖分別如圖b和c所示。圖中， 由 得極值位置依次為 兩個彎矩極值依次為 比較可知，單梁的最大彎矩值為 2．初選工字鋼型號先不計梁的自重，由彎曲正應力強度要求，得 由附錄表4初選№28a工字鋼，有關數(shù)據(jù)為 3．檢查和修改考慮梁自重的影響，檢查彎曲正應力強度是否滿足。由于自重，梁中點截面的彎矩增量為 上面分析的最大彎矩作用面在跨中以右0.167m處，因二者相距很近，檢查正應力強度時可將二者加在一起計算（計算的比真實的略大一點，偏于安全），即 最后，再檢查彎曲切應力強度是否滿足。 結論：檢查的結果表明，進一步考慮梁自重影響后，彎曲正應力和切應力強度均能滿足要求，故無需修改設計，最后選擇的工字鋼型號為№28a。6-22圖a所示組合木梁，由6個等間距排列的螺栓連接而成，梁端承受載荷F作用，試求螺栓剪切面上的剪力。題6-22圖解：螺栓的間距為用橫截面1-1與2-2，從上半木梁中切取塊體如圖b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力為（a）式中，將上述表達式代入式(a)，于是得6-23圖示簡支梁，由兩根№50b工字鋼經鉚釘連接而成，鉚釘?shù)闹睆絛=23mm，許用切應力[]=90MPa，梁的許用應力[]=160MPa。試確定梁的許用載荷[q]及鉚釘?shù)南鄳g距e。提示：按最大剪力確定間距。題6-23圖解：1.計算組合截面的和由附錄F表4查得№50b工字鋼的有關數(shù)據(jù)為 由此得組合截面的慣性矩與靜矩分別為 2．許用載荷的確定 由此得許用載荷為 3．鉚釘間距的確定由鉚釘?shù)那袘姸纫髞碛嬎?。最大剪力?按最大剪力計算兩工字鋼交界面上單位長度上的剪力（剪流），其值為 間距長度內的剪力為，它實際上是靠一對鉚釘?shù)氖芗裘鎭沓袚?，?由此得梁長方向鉚釘?shù)拈g距為 6-24橫截面如圖a所示的簡支梁，由兩塊木板經螺釘連接而成。設載荷F=10kN，并作用于梁跨度中點，梁跨度l=6m，螺釘間距e=70mm，試求螺釘剪切面上的剪力。 題6-24圖解：用間距為e的橫截面1-1與2-2，從上部木板中切取塊體如圖b所示?？梢钥闯?，螺釘剪切面上的剪力為（a）式中：Iz代表整個橫截面對中性軸的慣性矩；代表上部木板橫截面對中性軸的靜矩。由圖c可以看出， 還可以看出，將相關數(shù)據(jù)與表達式代入式(a)，于是得6-25圖示截面鑄鐵梁，已知許用壓應力為許用拉應力的4倍，即[c]=4[t]。試從強度方面考慮，確定寬度b的最佳值。 題6-25圖解：從強度方面考慮，形心的最佳位置應使 即 (a)由圖中可以看出， (b)比較式(a)與(b)，得 于是得 6-26當載荷F直接作用在簡支梁AB的跨度中點時，梁內最大彎曲正應力超過許用應力30%。為了消除此種過載，配置一輔助梁CD，試求輔助梁的最小長度a。題6-26圖解：當無輔助梁時，簡支梁的最大彎矩為 當配置輔助梁后，簡支梁的最大彎矩變?yōu)?根據(jù)題意， 即 由此得 6-27圖示簡支梁，跨度中點承受集中載荷F作用。已知許用應力為[]，許用切應力為[]，若橫截面的寬度b保持不變，試根據(jù)等強度觀點確定截面高度h(x)的變化規(guī)律。題6-27圖解：1.求截面高度彎矩方程為 由等強度觀點可知， 由此得 (a)梁的右半段與左邊對稱。2．求端截面高度由式(a)可知，在處，，這顯然是不合理的，彎曲切應力強度要求得不到滿足，故需作局部修正。由 得梁左端的截面高度為 (b)這是滿足剪切強度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。3．確定h(x)的變化規(guī)律設可取截面高度為h(0)的最大長度為x1，為了同時滿足正應力和切應力強度要求，應取由此得最終確定截面高度h(x)的變化規(guī)律為：在區(qū)間內在區(qū)間內梁的右半段與左邊對稱。6-29圖示懸臂梁，承受載荷F1與F2作用，已知F1=800N，F(xiàn)2=1.6kN，l=1m，許用應力[]=160MPa。試分別按下列要求確定截面尺寸：(1)截面為矩形，h=2b；(2)截面為圓形。題6-29圖解：(1)矩形截面危險截面在懸臂梁根部，危險點為截面右上角點（拉應力）和左下角點（壓應力）。最大彎曲正應力為 根據(jù)彎曲正應力強度條件，要求 由此得 于是得 (2)圓形截面危險截面的總彎矩為 由彎曲正應力強度條件，要求 于是得 6-30圖示懸臂梁，承受載荷F作用。由實驗測得A與B點處的縱向正應變分別為A=2.110-4與B=3.210-4，材料的彈性模量E=200GPa，試求載荷F及其方位角之值。題6-30圖解：橫截面上A與B點處的彎曲正應力分別為 (a) (b)將式（a）除式（b），得 由此得 由式（a），得 6-31圖示簡支梁，在兩個縱向對稱面內分別承受集中載荷作用，試求梁內的最大彎曲正應力。題6-31圖解：1.支反力計算由圖6-31a得支反力為 圖6-312．彎矩圖與危險截面分析彎矩圖如圖b所示。由該圖不難判斷：在AC段，截面C最危險；在BD段，截面D最危險；在CD段，My與Mz均為的線性函數(shù)，因此，也是的線性函數(shù)，其最大值必位于該段的端點處，即截面C或截面D。3．最大彎曲正應力計算由以上分析可知，只需計算截面與的最大彎曲正應力即可，分別為 由此可見， 第七章彎曲變形7-2圖示外伸梁AC，承受均布載荷q作用。已知彎曲剛度EI為常數(shù)，試計算橫截面C的撓度與轉角。 題7-2圖解：1.建立撓曲軸近似微分方程并積分支座A與B的支反力分別為 AB段（0≤x1≤a）： (a) (b)BC段（0≤x2≤a）： (c) (d)2.確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為 (1) (2)連續(xù)條件為 (3) (4)由式（b）、條件（1）與（2），得 ，由條件（4）、式（a）與（c），得 由條件（3）、式（b）與（d），得 3.計算截面C的撓度與轉角將所得積分常數(shù)值代入式（c）與（d），得CB段的轉角與撓度方程分別為 將x2=0代入上述二式，即得截面C的轉角與撓度分別為 7-3圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試根據(jù)梁的彎矩圖與約束條件畫出撓曲軸的大致形狀。題7-3圖解：各梁的彎矩圖及撓曲軸的大致形狀如圖7-3所示。 圖7-37-6圖示簡支梁，左、右端各作用一個力偶矩分別為M1與M2的力偶。如欲使撓曲軸的拐點位于離左端l/3處，則力偶矩M1與M2應保持何種關系。題7-6圖解：梁的彎矩圖如圖7-6所示。依題意，拐點或M=0的截面，應在處，即要求 由此得 圖7-67-7在圖示懸臂梁上，載荷F可沿梁軸移動。如欲使載荷在移動時始終保持相同的高度，則此梁應預彎成何種形狀。設彎曲剛度EI為常數(shù)。 題7-7圖解：在位于截面x的載荷F作用下，該截面的撓度為 因此，如果將梁預彎成 的形狀，則當載荷F沿梁軸移動時，載荷始終保持同樣高度。7-8圖示懸臂梁，彎曲剛度EI為常數(shù)。在外力作用下，梁的撓曲軸方程為 式中，a為已知常數(shù)。試畫梁的剪力與彎矩圖，并確定梁所承受的載荷。 題7-8圖解：1.內力分析梁的剪力、彎矩圖如圖7-8所示。圖7-82.外力分析在區(qū)間A＋B－內，由上式與剪力、彎矩圖的連續(xù)性可知，在該區(qū)間內既無分布載荷，也無集中載荷。由剪力、彎矩圖可知，截面B－的剪力與彎矩分別為在梁端切取微段B－B，并研究其平衡，得作用在截面B的集中力與集中力偶矩分別為（）（）7-9圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用奇異函數(shù)法計算截面B的轉角與截面C的撓度。題7-9圖(a)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： 在處， (c) 在處， (d)將條件(c)代入式(b)，得 將條件(d)代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分別為 5．計算和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為(b)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： (c) (d)將條件(c)與(d)分別代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分別為 5．計算和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式（a），得截面的轉角為 (c)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 3．確定積分常數(shù)該梁的位移邊界條件為： (c) (d)將條件(c)與(d)分別代入式(b)和(a)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段、段和段的撓曲軸方程依次為 5．計算wC和將代入上述或的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為 (d)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得 2．建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標，由題圖可見，彎矩的通用方程為 撓曲軸的通用近似微分方程為 將其相繼積分兩次，得 (a) (b)3．確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為： 在處， (c) 在處， (d)將條件(c)代入式(b)，得 將條件(d)代入式(b)，得 4．建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為 由此得段與段的撓曲軸方程分別為 5．計算和將代入上述的表達式中，得截面的撓度為 將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉角為 7-10圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用疊加法計算截面B的轉角與截面C的撓度。題7-10圖(a)解：由產生的位移為 由產生的位移為 應用疊加法，得截面的轉角及截面的撓度分別為 (b)解：梁段及梁段的受力情況分別如圖7-10b(1)和(2)所示。 圖7-10b由圖(1)可得截面的轉角為 由圖(1)和圖(2)，應用疊加法得截面的撓度為 (c)解：梁段及梁段的受力情況分別如圖7-10c(1)和(2)所示。 圖7-10c由圖(1)可得截面的轉角為 由圖(1)和圖(2)，應用疊加法得截面的撓度為 (d)解：求時可以書中附錄E的7號梁為基礎，以x代替a，以q(x)dx代替F，寫出B端截面的微轉角(a)式中，q(x)為截面x處的載荷集度，其值為(b)將式(b)代入式(a)后兩邊積分，即得截面B的轉角為求wC可以教材附錄E中8號梁為基礎，所求截面的撓度為表中所列的一半，即 7-12圖示外伸梁，兩端承受載荷F作用，彎曲剛度EI為常數(shù)。試問：(a)當x/l為何值時，梁跨度中點的撓度與自由端的撓度數(shù)值相等；(b)當x/l為何值時，梁跨度中點的撓度最大。 題7-12圖解：在端點力偶矩Me作用下，跨度為a的簡支梁的中點撓度為 將梁端載荷F簡化到截面D與G，得簡支梁DG的受力如圖b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。根據(jù)上述公式，簡支梁DG中點的撓度為 (a)在上述二力偶矩作用下，截面D的轉角為 （）所以，外伸梁端點A的撓度為 (b)為使梁跨度中點C與梁端A的撓度數(shù)值相等，即使 得為使梁跨度中點C的撓度最大，由式（a），并令 得7-14圖示各剛架，各截面的彎曲剛度與扭轉剛度分別為EI與GIt，試用疊加法計算自由端形心C的水平與鉛垂位移。題7-14圖(a)解：由圖7-14a可以看出，在力偶矩作用下,桿段AB的截面B產生水平位移Bx與轉角，其值分別為 由此得截面C的水平與鉛垂位移分別為 圖7-14(b)解：由圖7-14b可以看出，桿段AB處于彎扭受力狀態(tài)，截面B的鉛垂位移與轉角分別為 由此得截面C的水平與鉛垂位移分別為 7-16試用疊加法計算圖示各階梯形梁的最大撓度。設慣性矩I2=2I1。題7-16圖(a)解：容易判斷，最大撓度發(fā)生在截面處（見下圖）。如圖7-16a(1)所示，梁段在F和Fa作用下，有 和 圖7-16a由圖(2)可得 最后，應用疊加法求得最大撓度為 (a)(b)解：不難判斷，最大撓度發(fā)生在中間截面處。 圖7-16b如圖7-16b(1)所示，由于左右對稱，截面的轉角必然為零。由此可將圖(1)求的問題轉化為圖(2)所示懸臂梁求撓度的問題，并可利用本題(a)中所得的結果，只需將式(a)中的更換為即可。最后求得的最大撓度為 (b)7-17圖示懸臂梁，承受均布載荷q與集中載荷ql作用。材料的彈性模量為E，試計算梁端的撓度及其方向。題7-17圖解： 梁端的總撓度為 其方向如圖7-17所示，由圖可知， 圖7-177-19試求圖示各梁的支反力。設彎曲剛度EI為常數(shù)。題7-19圖(a)解：此為三度靜不定問題，但有反對稱條件可以利用。此題以解除多余內約束較為方便。在作用面處假想將梁切開，并在其左、右面各施加一，在