2021考研數(shù)學章節(jié)練習答案解析-《數(shù)學-線代》-第三講 向量

1

設四階矩陣工的秩是2,則其伴隨矩陣/的秩是,

伴隨矩陣由矩陣”的三階代數(shù)余子式構成.

又因為矩陣,4的秩是2,即可得

矩陣』的二階子式中至少有一個不為0且三階子式均為0.

所以矩陣/的余子式均為0,即伴隨矩陣/的任意元素都是0.

「公"公田］所以伴隨矩陣的秩是0.

參考答案」

2

'12-2

設.4=41-3,并且/的列向量線性相關，則『=.

3-11

矩陣N的列向量線性相關，即矩陣的列秩小于3.

由三秩相等可得，?(/)<3.

12-2

故|4|=0,即4t-3=r+8-18+6f-3-8=0,解得［=3.

3-11

［參考答案］

3

.里線性表示?

(2)問a,Z＞取何值時,尸能由向量組%線性表示？并

寫出其一般表示式.

［參考答案］

(1)設+三％+三4=0'

‘陽+2三+3X3=4

并按照分量寫出方程式

2X2+x3=b

-1234一-1234

_021—1021-1

A=

1a160a-2-22

—021b000b+1—

-1234'1025

021—1021-1

f一

0a+20004+200

000b+1000b+1

當匕。-1時，方程無解，力不能由向量組％4.4線性表示;

（2）當6=-1,〃。一2時，增廣矩陣的秩為3,

$=7

同解方程組為《2X2+x3=-1=><^x2=0

(n+2)X2=0

B的表達式為/?=7%-%;

若Z,=_1M=_2時，增廣矩陣的秩為2,原方程有無窮多解,

%=5-2t,

卜產(chǎn)29=5.令三,，則,

同解方程組為4

2工？+/=-LX2=

，的表達式為尸=（5-21）/+：（-1-，）4+r%a為任意常數(shù)）

2

4

31

-2-2

已知向量組,4:及向量組］應=

2

-1一4

證明向量組/與向量組5等價.

由題意得，7(/)=7?(8)=2.

■8131'-1-312--1-312

-42-2-20-5130-513

(45)=一f

1-312025-5-150000

17-1-4010-2-60000

7，(/)=r(B)=2=r(4B),

即向量組5能由“線性表示，向量組N能由5線性表示.

「公出『田1綜上，向量組,與向量組5等價?

［參考答案］

設向量組%%.外線性無關，問常數(shù)s"滿足什么條件時，向量組

0bl-s%.2cLi也線性無關？

向量組名.生.生線性無關，

即向量組%%,6的秩為3,I%%*引W0.

--503'

向量組［4-5%26+6.3《一@］=［%4.。3］110

02-/

設向量組％-s?,2al+%,3?-7%也線性無關，則

向量組生-s%2%+生,3?-ta3的秩為3.

即|%-s%20+/,3%|。0.

-503

故110H0，展開得s/+6wO,sfW-6.

02T

綜上，S/H-6時，向量組%-s%2生+6.3?!一但線性無關.

［參考答案］

6

12253

23-526-4

求向量組q=,a、=.4=q=，里=

3—48-91

—41—3-122

的一個極大無關組，并把其余向量用此極大無關組線性表示.

將向量組轉為矩陣形式,

/

12253、

23-526--4

3-48-91

-41-3-122,

"12253

0-1-916-10

->

0-102-24

、095814

’12253、005-r

019-161001021

一

001-21001-21

、00000,o00o>

于是%.%.生為原向量組的一個極大無關組,

且區(qū)=5a+2a—2a.a=-a+a+?.

［參考答案］

r

設丹=q?丹=?+%.…,0=a+%+…+4且向量組%a,

線性無關，證明向量組以.旦?…?月線性無關.

已知的r個等式可以寫成

T11、

011,記為5=WfiT.

(A，旦,，，、艮)=

、00

因為|K|=1二O,K可逆,所以RCB)=R(/)=r,

從而向量組女.廣、.….以線性無關.

［參考答案］

設向量組分別為(。，3,以,(2也3)T,Q2,1)T,(2,3,1)T,

其向量組的秩為2,求。,人

由題可知名=(43.1)7,6=(2?,3尸,生=。,2,1尸,04=(2,3,1)7.

因為

’12a2、113、

(生..%%)=233b二01a-1-1

1113/、011b-6,

rl113、

I01a-1-1

、002-a

而廠(區(qū).4,%%)=2,所以aF=2,b-=5.

［參考答案］

9

設,4為〃階矩陣(〃22).,4*為.4的伴隨陣，證明

n,r{A)=n.

7(4*)=<L7(.4)=77-1,

0.r(A)<n-2.

當7，(/)=〃時，|A\^0,

故有|^4*|=||A\E\=\A\^0,|.4*|^0,所以r(/*)=n.

當r(Z)=〃T時，|N|=0,故有44*=|,4|E=O,

即A*的列向量都是方程組Ax=O的解.

因為r(N)=〃T,

所以方程組Nx=0的基礎解系中只含一個解向量，

即基礎解系的秩為1,因此R(N*)=L

當r(A)<〃-2時，N中每個元素的代數(shù)余子式都為0.

故N*=O,從而r(N*)=0.

［參考答案］

10

設有向量組4：q=32*10)7,%=(-2,1,5)。生=(一1,1,4)"

及尸=(1，瓦-1)。問a)為何值時：

(1)向量,不能由向量組，線性表示：

(2)向量夕能由向量組/線性表示，且表示式唯一；

(3)向量)能由向量組N線性表示，且表示式不唯一，并求一

般表示式.

-1-2a1、-1-2ai、

(%/：4向=112b0-12+a6+1

、4510口、004+a一3九

(1)故可得當。=~4,》工0時,r(Z)wr(4向,

此時向量尸不能由向量組A線性表示.

(2)故可得當a#-4時，r(/)=r(4￡)=3,

此時向量組里,生，