數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期3.6+多項式的乘法

專題3.6多項式的乘法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1.會進行單項式的乘法,單項式與多項式的乘法,多項式的乘法計算．2.掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律簡化運算.【要點梳理】要點一、單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.要點二、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.要點三、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【典型例題】類型一、計算單項式乘以多項式 1．化簡：（1）；（2）．【答案】(1)，(2).【分析】(1)利用單項式乘多項式化簡，后合并同類項即可；(2)利用單項式乘多項式，積的乘方，進行化簡，后合并同類項.解：(1)原式==；(2)原式==.【點撥】本題考查了代數(shù)式的化簡，熟練掌握單項式乘以多項式，各種計算公式，合并同類項是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】計算：【答案】【分析】先單項式乘多項式法則計算，再利用單項式與單項式法則計算，最后合并同類項即可，解：原式，．【點撥】本題考查整式的乘法混合運算，掌握整式乘法的運算法則，同類項以及合并同類項法則世界關(guān)鍵．【變式2】計算：（1）；

（2）．【答案】（1）a6；（2）4x2+5xy【分析】（1）根據(jù)冪的運算法則化簡，即可合并求解；

（2）根據(jù)整式的混合運算化簡，即可求解．(1)解：=6a6+9a6-14a6.=a6(2)解：【點撥】此題主要考查冪與整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．類型二、單項式乘以多項式化簡求值 2．先化簡，再求值：．其中．【答案】，-3【分析】先分別將和5乘進去，然后去括號，再合并同類項，最后利用，計算出，求解即可．解：原式，因為，所以，所以，原式．【點撥】本題主要考查整式的化簡求值，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中．【答案】-x2，【分析】根據(jù)積的乘方原則，單項式乘以多項式的法則，合并同類項原則，將原式化簡，代入求值即可．解：原式=當時，原式=【點撥】本題考查整式的運算，積的乘方等相關(guān)知識點，能夠熟練應(yīng)用相關(guān)知識點進行準確計算是解題關(guān)鍵．【變式2】先化簡，再求值，已知，．【答案】，37．【分析】先根據(jù)整式混合運算法則進行化簡，最后把，代入中即可得．解：原式==，把，代入得：=．【點撥】本題考查了整式的混合運算——化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握整式混合運算法則．類型三、利用單項式乘以多項式求字母的值 3．已知，求，的值．【答案】a=2，b=1【分析】根據(jù)整式的乘法展開，分別得到a，b的關(guān)系式，故可求解．解：∵∴5a=10，-3a=-6，ab=2∴a=2，b=1．【點撥】此題主要考查整式運算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知整式乘法的運算法則．舉一反三：【變式1】若成立，請求出a、b的值．【答案】，【分析】先利用單項式乘多項式法則將等式左邊化簡，再根據(jù)多項式定義得出a、b的值．解：由，得，∴，.∴，.【點撥】本題考查單項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是利用單項式乘多項式法則將等式左邊化簡.【變式2】先化簡，后求值（1），其中．（2），其中，，．【答案】（1）；8；（2）；-1【分析】（1）（2）原式利用單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把x的值代入計算即可．.解：（1）解：將代入上式，得原式（2）解：將，代入上式，得原式【點撥】此題考查了整式的混合運算?化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．類型四、單項式乘以多項式的應(yīng)用 4．如圖，請計算陰影部分的面積．【答案】2b2-2a2.【分析】用大長方形的面積減去空白長方形的面積列出代數(shù)式，然后去括號合并同類項化簡即可.解：b(2b-a)-a(2a-b)=2b2-ab-2a2+ab=2b2-2a2.故答案為2b2-2a2.【點撥】本題考查了整式的化簡.舉一反三：【變式1】如圖，兩個形狀大小相同的長方形和長方形,點在邊，其中.（1）圖1中陰影部分的面積為_____(用含的代數(shù)式表示).（2）如圖2，分別聯(lián)結(jié)，試比較與的面積大小，并說明理由.（3）求圖2中陰影部分的面積（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（1）；（3）【分析】（1）根據(jù)先找出陰影部分的邊長，然后利用四邊形的面積公式求解即可；（2）分別找出與的邊長，然后計算面積比較即可；（3）通過構(gòu)造一個大正方形，然后通過減去空白部分的面積，即可求出陰影部分的面積.解：（1）陰影部分的面積=；（2），∵∴（3）如下圖S陰影==.【點撥】本題考查了列代數(shù)式與整式的乘法應(yīng)用，讀懂題意得出利用圖形的邊長是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，學(xué)校有一塊長為（2a＋b）米，寬為（2a－b）米的長方形地塊，其中有兩條寬為b米的甬道，學(xué)校計劃將除甬道外其余部分進行綠化．（1）用含有a、b的式子表示綠化的總面積；（結(jié)果寫成最簡形式）；（2）若a＝5，b＝2，請你計算出綠化的總面積；【答案】（1）；（2）60【分析】（1）長方形地塊的長與寬分別減小b米后的長方形面積就是要綠化的總面積，最后化簡即可；（2）把a與b的值代入（1）中化簡后的代數(shù)式中，求值即可．【詳解】（1）長方形地塊的長、寬分別減小b米后的長方形長為2a+b-b=2a(米)，寬為2a-b-b=(2a-2b)米，從而要綠化的總面積為：2a(2a-2b)=(4a2-4ab)平方米；即綠化的總面積為(4a2-4ab)平方米；（2）當a=5，b=2時，（平方米）．【點撥】本題考查了列代數(shù)式及求代數(shù)式的值，正確表示去掉路寬后的長方形的長與寬是關(guān)鍵．類型五、計算多項式乘以多項式 5．計算：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用多項式乘以多項式法則計算即可得到；解：（1）；（2）；（3）．【點撥】此題考查整式的乘法法則，熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算：（1）x（4x2﹣x）+x3÷x；（2）（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）．【答案】（1）4x3；（2）﹣3y2．【分析】（1）根據(jù)多項式乘單項式，以及同底數(shù)冪的除法的計算方法進行計算即可；（2）根據(jù)多項式乘多項式，單項式乘多項式的計算方法進行計算即可．解：（1）x（4x2﹣x）+x3÷x=4x3﹣x2+x2=4x3；（2）（x﹣y）（x+3y）﹣x（x+2y）=x2+3xy﹣xy﹣3y2﹣x2﹣2xy=﹣3y2．【點撥】本題考查了多項式乘單項式，多項式乘多項式以及同底數(shù)冪除法的計算方法，掌握計算方法是正確計算的前提．【變式2】計算

（1）

（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）用乘以括號內(nèi)每一項，將所得的結(jié)果相加；（2）用第一個多項式的每一項分別乘以第二個多項式的每一項，將所得的結(jié)果相加即可．解：（1）原式==；（2）原式===【點撥】本題考查單項式乘以多項式，多項式乘以多項式．熟記運算法則是解題關(guān)鍵．類型六、（x+p）（x+q）型多項式的運算 6．已知，試求的值．【答案】?16【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則，可表示為（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn計算，再把m2n＋mn2因式分解，即可得出答案．解：∵，∴x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋（m＋n）xy＋mny2＝x2＋2xy?8y2，∴m＋n＝2，mn＝?8，∴＝mn（m＋n）＝?8×2＝?16．【點撥】本題主要考查多項式乘以多項式的法則，注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項．舉一反三：【變式1】填空：；；；；（1）從上面的計算中總結(jié)規(guī)律，寫出下式結(jié)果：；（2）運用上述結(jié)果，寫出下列各題結(jié)果：①；②【答案】填空：，，，；（1）；（2）①；②．【分析】填空：根據(jù)多項式乘以多項式的法則即可得；（1）根據(jù)上面的結(jié)果，歸納類推出一般規(guī)律即可得；（2）①運用（1）的規(guī)律即可得；②運用（1）的規(guī)律即可得．解：，，，，故答案為：，，，；（1）由上面的計算可知，，故答案為：；（2）①，，故答案為：；②，，故答案為：．【點撥】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握多項式的乘法法則是解題關(guān)鍵．【變式2】已知，，均為整數(shù)，且，求的所有可能值．【答案】，．【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則求出即可得到，，由此進行求解即可．解：∵，∴，，∵a，b，均為整數(shù)，∴或或或或或或或，∴，或或，，或或m取的值有±5或±7．【點撥】本題考查的是多項式乘多項式，多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．類型七、多項式乘積中“不含”問題 7．已知將展開的結(jié)果不含和項，（m、n為常數(shù)）（1）求m、n的值；（2）在（1）的條件下，求的值．（先化簡，再求值）【答案】（1）；（2），-1792【分析】（1）先按照多項式乘以多項式的計算法則展開，根據(jù)題意不含和項，則展開項的和項的系數(shù)為0，據(jù)此列出方程組，解方程組即可求得的值；（2）先將代數(shù)式化簡，再根據(jù)（1）中的結(jié)論，將的值代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：（1），，由題意得：，解得：；（2），當，時，原式【點撥】本題考查了整式的乘法運算，整式的化簡求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】關(guān)于x的代數(shù)式（ax﹣3）（2x+1）﹣4+m化簡后不含有項和常數(shù)項，且an+mn＝1，求a，m，n的值．【答案】a＝2，m＝3，n＝【分析】去括號、合并同類項后，使x2項和常數(shù)項為0即可求出a，m的值，再根據(jù)條件求出n的值即可．解：（ax﹣3）（2x+1）﹣4+m＝2a+ax﹣6x﹣3﹣4+m＝（2a﹣4）+（a﹣6）x+m﹣3，∵化簡后不含有項和常數(shù)項，∴2a﹣4＝0，m﹣3＝0，∴a＝2，m＝3，又∵an+mn＝1，∴2n+3n＝1，∴n＝．【點撥】本題考查了化簡求值中的不含有特定項問題，熟練進行多項式乘以多項式的計算，掌握不含有項的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2】若的積中不含的二次項和一次項，求的值是多少？【答案】6【分析】通過多項式的乘法求出的積，然后根據(jù)二次項和一次項的系數(shù)為0求出的值，最后代入計算即可．解：原式的積中不含的二次項和一次項，，，，．．【點撥】本題主要考查多項式的乘法，根據(jù)積中不含的二次項和一次項求出的值是關(guān)鍵．類型八、多項式乘以多項式化簡求值問題 8．先化簡，再求值：（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2），其中x＝﹣2．【答案】5x+19，9【分析】先計算多形式的乘法，再去括號合并同類項，然后把x＝﹣2代入計算．解：原式=2x2+x-2x-1-2(x2+2x-5x-10)=2x2+x-2x-1-2x2-4x+10x+20=5x+19，當x＝﹣2時，原式=-10+19=9【點撥】本題考查了整式的四則混合運算，熟練掌握運算順序是解答本題的關(guān)鍵．四則混合運算的順序是先算乘除，再算加減；同級運算，按從左到右的順序計算．舉一反三：【變式】化簡求值:，其中．【答案】－2x－3；－4【分析】根據(jù)多項式乘以多項式的法則展開，再合并，最后把代入計算即可．解:原式＝x2－3x+x－3－x2＝－2x－3．當x＝時，原式＝－1－3＝－4．【點撥】本題考查整式運算中的化簡求值，先根據(jù)多項式乘以多項式的法則展開合并再代入求值是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（1）先化簡，再求值：（5x﹣y）（y+2x），其中x＝1，y＝2．（2）若x﹣y＝5，﹣xy＝3，求（7x+5y+xy）﹣6（y+x﹣xy）的值．【答案】（1）3xy+10x2﹣y2，12；（2）-16【分析】（1）根據(jù)多項式乘法法則相乘，然后合并同類項，將，代入求值即可；（2）根據(jù)單項式與多項式相乘，先去括號，然后合并同類項，將，代入求值即可．解：（1）當，時，原式；（2）當，時，原式．【點撥】題目主要考察多項式與多項式相乘及多項式的混合運算，掌握運算法則及合并同類項是解題關(guān)鍵．類型九、多項式乘以多項式的面積問題 9.在一個長方形中截去2個相同的小正方形所得的圖形（如圖所示）試根據(jù)圖中所注各邊的長度，解答下列問題：（1）分別用含a，b的式子表示陰影部分的周長L和面積S；（2）當a=1，b=3時，求周長L和面積S．【答案】（1）周長：4a+2b，面積：2ab-2a2；（2）周長：10，面積：4【分析】（1）先用表示出，進而求得周長和面積；（2）將字母的值代入求解即可解：（1）依題意，得x=b-2a∴L=b+6a+b-2a=4a+2b．S=ba+(b-2a)a=ba+ab-2a2=2ab-2a2

(2)當a=1，b=3時，L=4×1+2×3=10

S=2×1×3-2×12=4【點撥】本題考查了整式的混合運算的應(yīng)用，代數(shù)式求值，正確的計算是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】某小區(qū)要修建觀賞區(qū)，計劃在長為米，寬為米的長方形地面進行綠化改造，若在其中間修建一占地為邊長米的正方形的花壇，其余地面鋪設(shè)草坪（陰影部分）．（1）用含有、的式子表示草坪的總面積．（結(jié)果化為最簡）（2）若，，求出此時草坪的面積．【答案】（1）；（2）270【分析】（1）根據(jù)已知條件將長方形面積減去正方形的面積即可求得草坪的面積；（2）將，，代入（1）的結(jié)果求解即可【詳解】（1）草坪的總面積為（2）當，時，草坪的總面積為【點撥】本題考查了整式的乘法運算與圖形面積，正確的計算是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，某區(qū)有一塊長為，寬為的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間的邊長為的空白的正方形地塊將修建一個涼亭．（1）用含有、的式子表示綠化總面積；（2）若，，求出此時的綠化總面積．【答案】（1）；（2）325【分析】（1）根據(jù)陰影部分面積等于長方形面積減去正方形面積，然后根據(jù)多項式的混合運算法則計算即可；（2）將，代入（1）中的式子即可得出答案．解：（1），答：綠化總面積是．（2），，，答：此時綠化總面積是．【點撥】本題考查了多項式乘以多項式法則和列代數(shù)式，能夠根據(jù)題意列出代數(shù)式是解本題的關(guān)鍵．類型十、多項式乘以多項式的規(guī)律問題 10.探究應(yīng)用：（1）計算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計算結(jié)果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設(shè)A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．【答案】（1）x3﹣1，8x3﹣y3；（2）a3﹣b3；（3）C；（4）見解析【分析】（1）用多項式乘以多項式的法則計算即可；（2）觀察第（1）問的計算，找出規(guī)律，用字母表示即可；（3）判斷各選項是否符合公式的特點；（4）公式的逆用，求得A中有37的因數(shù)即可．解：（1）（x-1）（x2+x+1）=x3+x2+x-x2-x-1=x3-1；（2x-y）（4x2+2xy+y2）=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3=8x3-y3；故答案為：x3-1；8x3-y3；（2）從第（1）問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，故答案為：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（3）A．第一個多項式不是減法，不符合題意；B．最后一項應(yīng)該是4n2，不符合題意；C．符合題意；D．第二個多項式的第二項應(yīng)該為mn，不符合題意．故選：C．（4）A=109-1=（103）3-1=（103-1）（106+103+12）=999×1001001=3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．【點撥】本題考查了多項式乘以多項式的法則，考查學(xué)生的計算能力，能對公式進行逆用是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】觀察下列各式：……（1）根據(jù)以上規(guī)律，______；（2）你能否由此歸納出一般規(guī)律：______；（3）根據(jù)以上規(guī)律求的結(jié)果．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)已知等式的規(guī)律即可求出結(jié)論；（3）將x=2，n=2018代入（2）的公式中即可求出結(jié)論．解：（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律可得：故答案為：；（2）故答案為：；（3）令x=2，n=2018由（2）可得．【點撥】此題考查的是探索運算規(guī)律題，找出運算規(guī)律并歸納公式是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】（1）計算：（x+1）（x2﹣x+1）；（2）計算：（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）；（3）根據(jù)以上等式進行猜想，當n是偶數(shù)時，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝．【答案】（1）x3+1；（2）x5+1；（3）xn+1+1【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可；（2）根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)果得出規(guī)律，再得出答案即可．【詳解】解：