數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期4.4 因式分解-公式法

專題4.4因式分解-公式法（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能運(yùn)用平方差公式、完全平方公式把簡單的多項式進(jìn)行因式分解；2.會綜合運(yùn)用提公因式法和平方差公式、完全平方公式把多項式分解因式；3．發(fā)展綜合運(yùn)用知識的能力和逆向思維的習(xí)慣；4.能運(yùn)用平方差公式和完全平方公式的因式分解解決實際問題?！局R要點(diǎn)】要點(diǎn)一、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點(diǎn)二、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項式或多項式.要點(diǎn)三、因式分解步驟（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解（以后會學(xué)到）．要點(diǎn)四、因式分解注意事項（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止．【典型例題】類型一、判斷能否用公式法因式分解1、下列各式中，不能分解因式的是（

）A．—a2+b2； B．x2+4xy+y2； C．a(chǎn)2—a+； D．x2+2x+4．【答案】D【分析】應(yīng)用公式分解時用的公式主要有平方差公式，完全平方公式．分析各選項看能不能用這兩個公式分解以及是否能提取公因式．解：A、用平方差公式可分解為(b+a)(b?a)，不符合題意；B、用完全平方公式可分解為：(，不符合題意；C、用完全平方公式可分解為：，不符合題意D、不能分解，當(dāng)中間項為±4x時才可以用完全平方公式分解．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查應(yīng)用公式法進(jìn)行因式分解，在分解過程中主要用到的有平方差公式和完全平方公式．舉一反三：【變式1】下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）A．﹣a2﹣b2 B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2 D．﹣m2+1【答案】D【分析】根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兩個平方項，并且符號相反，對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：A、，有兩個平方項，但是符號相同，不能用平方差公式進(jìn)行分解，不符合題意；B、，有兩個平方項，但是符號相同，不能用平方差公式進(jìn)行分解，不符合題意；C、，有兩個平方項，但是符號相同，不能用平方差公式進(jìn)行分解，不符合題意；D、，可以利用平方差公式進(jìn)行分解，符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解時，多項式需滿足的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵．【變式2】下列各式能用公式法因式分解的是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用完全平方公式和平方差公式對各個選項進(jìn)行判斷即可．解：A、，故本選項正確；B、x2+2xy-y2一、三項不符合完全平方公式，不能用公式法進(jìn)行因式分解，故本選項錯誤；C、x2+xy-y2中間乘積項不是兩底數(shù)積的2倍，不能用公式法進(jìn)行因式分解，故本選項錯誤；D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法進(jìn)行因式分解，故本選項錯誤．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了公式法分解因式，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的式子的特點(diǎn)是：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數(shù)積的2倍，熟記公式結(jié)構(gòu)是求解的關(guān)鍵．類型二、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解 2、因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)4（x＋1）（x－1）(2)（a＋1）2（a－1）2【分析】（1）提取公因數(shù)后利用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式，再結(jié)合完全平方公式分解因式；(1)解：原式=4（x2－1）=4（x＋1）（x－1）；(2)解：原式=（a2＋1＋2a）（a2＋1－2a）=（a＋1）2（a－1）2；【點(diǎn)撥】本題主要考查平方差公式和完全平方公式的靈活運(yùn)用，熟記公式是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】【答案】【分析】將后三項利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出即可．解：，，，．【點(diǎn)撥】此題主要考查了分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分組．【變式2】因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)平方差公式進(jìn)行解答，將（m+n）和看做整體；（2）根據(jù)平方差公式進(jìn)行解答，將（x2+y2）和看做整體．(1)解：===解：===【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解——公式法，熟悉公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．類型三、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解 3、把下列各式因式分解：(1)(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：；解：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】因式分解：．【答案】【分析】利用完全平方公式分解即可．解：（x-y）2+6（x-y）+9=（x-y+3）2．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】因式分解：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題主要考了多項式的因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項式的因式分解的方法——提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分組分解法、十字相乘法，并根據(jù)多項式的特征靈活選取不同的方法，還要注意一定要分解徹底．類型四、運(yùn)用公式法綜合進(jìn)行因式分解4、．把下列各式分解因式；（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）=；（2）==．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟記公式，掌握分解因式的方法是解答的關(guān)鍵，注意分解要徹底．舉一反三：【變式1】將下列各式因式分解：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提取公因式y(tǒng)，再將括號中的式子利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先將前三項利用完全平方公式進(jìn)行合并，再與后面的1利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；解：（1）（2）【點(diǎn)撥】本題主要考查了提取公因式法與公式法以及分組法與公式法的綜合運(yùn)用，考核學(xué)生的計算能力，熟悉平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式2】分解因式：．【答案】【分析】利用平方差公式變形，再利用完全平方公式分解．解：原式．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．類型五、運(yùn)用提取公因式與公式法綜合進(jìn)行因式分解5、因式分解(1)(2)【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式-1,調(diào)整符號，再利用完全平方公式因式分解即可．(1)解：；(2)解：．【點(diǎn)撥】本題既考查了對因式分解方法的掌握，解題的關(guān)鍵是正確分解因式．舉一反三：【變式1】把下列多項式分解因式(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先提公因式，再根據(jù)平方差公式因式分解即可；（2）先提公因式，再根據(jù)完全平方公式因式分解即可(1)【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因數(shù)－2，再利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：==；(2)解：==．【點(diǎn)撥】本題考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟練掌握提公因式和公式法分解因式是解答的關(guān)鍵．類型六、公式法進(jìn)行因式分解的應(yīng)用6、在中，角、、所對的邊的長分別為、、，若且．試證明是等邊三角形．【分析】先分別將等式的兩邊進(jìn)行因式分解，可得，再由，可得，然后根據(jù)，即可求證．解：證明：∵，∴∴，∵在中，，∴，∴，，∴是等腰三角形，又∵，∴是等邊三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了多項式的因式分解，等邊三角形的判定，熟練掌握多項式的因式分解方法，等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）若，求的值．（2）已知a，b，c分別是的三邊長，且滿足，試確定的形狀．【答案】（1）-144

（2）等邊三角形【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)可得，，然后整體代入整理后的代數(shù)式進(jìn)行求值；（2）利用配方得到，再通過非負(fù)性得到、、的關(guān)系，再判斷的形狀．解：（1）∵∴，∴，∵∴原式（2）∵∴∴，∴∴是等邊三角形【點(diǎn)撥】本題考查