上海市閔行區(qū)六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

六校聯(lián)考2023學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）1．空間中兩條直線的位置關(guān)系有.2．若球的半徑為1，則球的體積是.3．空間兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角．4．若正四棱柱的底面周長(zhǎng)為，高為，則該正四棱柱的表面積為.5．已知正方體中，直線與直線所成角的大小為.6．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．7．在矩形中，平面，則與平面所成的角的大小為．8．若正方體的棱長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)到平面的距離為．9．在中，，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.10．已知為直角三角形，且，，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，若，且平面，為垂足，則.11．在長(zhǎng)方體中，棱，，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是12．動(dòng)點(diǎn)的棱長(zhǎng)為1的正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)的距離是，點(diǎn)的集合形成一條曲線，這條曲線的長(zhǎng)度為二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）13．下列條件中，能夠確定一個(gè)平面的是（

）A．兩個(gè)點(diǎn) B．三個(gè)點(diǎn)C．一條直線和一個(gè)點(diǎn) D．兩條相交直線14．已知直線在平面上，則“直線”是“直線”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．非充分非必要15．在下列判斷兩個(gè)平面與平行的四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1），都垂直于平面，那么.（2），都平行于平面，那么.（3），都垂直于直線，那么.（4）如果，是兩條異面直線，且，，，，那么.A． B． C． D．16．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A． B． C． D．三、解答題（共5道大題，其中17題14分，18題14分，19題14分，20題16分，21題18分，共計(jì)76分）17．在直三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成的角.18．如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長(zhǎng)為，.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點(diǎn)；(1)求證：直線平面；(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小；20．高二學(xué)農(nóng)期間，某高中組織學(xué)生到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某學(xué)生欲將一個(gè)底面半徑為，高為的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).(1)求該圓柱的側(cè)面積的最大值；(2)求該圓柱的體積的最大值.21．如圖為某一幾何體的展開圖，其中是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使四點(diǎn)重合，請(qǐng)畫出其直觀圖，試問需要幾個(gè)這樣的幾何體才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體?(2)設(shè)正方體的棱的中點(diǎn)為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．平行、相交、異面【分析】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系即可作答.【詳解】空間中兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交、異面.故答案為：平行、相交、異面.2．【分析】已知半徑，根據(jù)球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】已知球的半徑，∴體積.故答案為：.3．相等或互補(bǔ)【分析】利用等角定理進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)等角定理有：當(dāng)角的兩組對(duì)應(yīng)邊同時(shí)同向或同時(shí)反向時(shí)，兩角相等；當(dāng)角的兩組對(duì)應(yīng)邊一組同向一組反向時(shí)，兩角互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．4．10【分析】求出側(cè)面積和上下底面積，相加即可得答案.【詳解】因?yàn)檎睦庵牡酌嬷荛L(zhǎng)為4，所以底面正方形邊長(zhǎng)為1，則該正四棱柱的表面積，故答案為：10.5．【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義求解即可.【詳解】因?yàn)闉檎襟w，所以，，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為.故答案為：.6．【分析】由已知求得母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式求解．【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長(zhǎng)l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π．故答案為2π．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.7．【分析】由PA⊥平面ABCD，可得PC與平面ABCD所成角為∠PCA，在直角△PCA中，即可求出PC與平面ABCD所成角．【詳解】∵PA⊥平面ABCD∴PC與平面ABCD所成角為∠PCA，∵矩形ABCD中，AB＝1，BC，∴AC，∵PA＝1，∴tan∠PCA，∴∠PCA＝．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，確定∠PCA即為直線PC與底面ABCD所成角是關(guān)鍵．8．【分析】連接，設(shè)，進(jìn)而可證明平面，再由已知棱長(zhǎng)求得即為答案．【詳解】解：如圖，在正方體中，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知平面，因?yàn)槠矫?，所以連接，設(shè)，則，因?yàn)椋矫?，所以，平面，即平面，所以，即為頂點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，．故答案為：．9．【分析】根據(jù)題意，在直角中，設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，求出和的長(zhǎng)，由圓錐的定義可知形成的幾何體為兩個(gè)圓錐，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在中，，設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，易得，且，將繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為兩個(gè)圓錐，兩個(gè)圓錐的底面半徑都為，高相等，為，則形成的幾何體的體積．故答案為：．10．4【分析】根據(jù)線面垂直和等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到點(diǎn)為中點(diǎn)，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求即可.【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋渣c(diǎn)為中點(diǎn)，因?yàn)?，，所?故答案為：4.11．【分析】將△沿為軸旋轉(zhuǎn)至于平面共面，可得△，利用求解即可．【詳解】解：將△沿為軸旋轉(zhuǎn)至于平面共面，可得△則，故，當(dāng)且僅當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：．12．【分析】根據(jù)題意知，分情況解決即可.【詳解】由題意，此問題的實(shí)質(zhì)是以為球心，為半徑的球，因?yàn)椋栽谡襟w各個(gè)面上交線的長(zhǎng)度計(jì)算，正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：為過(guò)球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為，為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為，故各段弧圓心角為，所以這條曲線長(zhǎng)度為，故答案為：13．D【分析】?jī)蓚€(gè)點(diǎn)能確定一條直線，但一條直線不能確定一個(gè)平面，可判斷A；若三個(gè)點(diǎn)共線，則不能確定一個(gè)平面，可判斷B；若點(diǎn)在直線上，則一條直線和一個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，可判斷C；兩條直線能確定一個(gè)平面，可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，兩個(gè)點(diǎn)能確定一條直線，但一條直線不能確定一個(gè)平面，所以兩個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面；對(duì)于B，三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，若三個(gè)點(diǎn)共線，則不能確定一個(gè)平面，故B不能；對(duì)于C，一條直線和這條直線外一點(diǎn)能確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，則不能確定一個(gè)平面，故C不能；對(duì)于D，兩條相交直線能確定一個(gè)平面，故D能.故選：D.14．B【分析】利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，結(jié)合充要條件及必要條件的定義即可求解.【詳解】直線在平面上，則“直線”成立時(shí)，“直線”不一定成立；“直線”?“直線”，∴直線在平面上，則“直線”是“直線”的必要非充分條件.故選：B.15．D【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)判斷（1）；根據(jù)平面平行的傳遞性判斷（2）；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷（3）；根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的判定定理判斷（4）.【詳解】（1），還可以相交，故（1）錯(cuò)；（2）由平面平行的傳遞性可知（2）正確；（3）由線面垂直的性質(zhì)可知（3）正確；（4）過(guò)直線作平面與，分別交于，，過(guò)直線作平面與，分別交于，，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，所以，同理可得，，因?yàn)?，是異面直線，所以，相交，因?yàn)?，所以，故?）正確.故選：D.16．D【分析】由題意和面面平行的判定，可得平面平面，所以點(diǎn)P在直線上，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，由三角形等面積法可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)，所以平面，則平面，因?yàn)椋酝淼闷矫?，又，得平面平面，因?yàn)橹本€平面，所以點(diǎn)P在直線上，在中，有，所以，故當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，有故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定定理和三角形的等面積法求高，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目.17．(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)與的交點(diǎn)為，由線面平行的判定定理，即可證明；（2）由條件可得為直線與所成的角，結(jié)合余弦定理，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹比庵?，且，則四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，又D是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由（1）可知，，所以為直線與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，，，，由余弦定理可得，，則，即異面直線與所成的角為.18．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）證明出平面，從而得到面面垂直；（2）等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)樗睦庵鶠檎睦庵?，所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以⊥BD，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以平面平?（2）設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，，所以，，由三線合一可得：⊥BD，且，由勾股定理得：，所以，故，又，平面故，由，故點(diǎn)A到平面的距離為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理可得答案；（2）根據(jù)平面可得為二面角的平面角，為直線與平面所成的角，，由平面，為直線與平面所成的角，，設(shè)，在直角三角形中計(jì)算邊長(zhǎng)可得答案．【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平?所以平面，平面，所以，又，，,平面，所以直線平面；（2）由（2）知，平面，平面，平面，所以，，即為二面角的平面角，平面平面，平面平面，平面，，平面，是直線與平面所成角，即，所以，由（2）知平面，為直線與平面所成的角，直線與平面所成角為，，，，設(shè)，則，，，，為等腰直角三角形，，，，是二面角的平面角，二面角的大小為．20．(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓柱的半徑為，高為，由題意得，用表示，計(jì)算圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求出側(cè)面積的最大值．（2）寫出圓柱的體積解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出圓柱體的最大體積．【詳解】（1）設(shè)圓柱的半徑為，高為，則由題意可得，解得，所以圓柱的側(cè)面積為，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以圓柱的側(cè)面積最大值為．（2）圓柱的體積為，求導(dǎo)，得，令，解得或（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取最大值，所以圓柱體的最大體積為．21．（1）直觀圖見解析，3個(gè)；（2）；（3）不存在．【分析】（1）先還原為一個(gè)四棱錐，在正方體中觀察；（2）延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交線，作出二面角的平面角，計(jì)算即可；（3）假設(shè)點(diǎn)存在，作出點(diǎn)到平面的垂線段，然后計(jì)算的長(zhǎng)，若，則點(diǎn)在邊上，否則不在邊上．【詳解】（1）圖1圖1左邊是所求直觀圖，放到圖1右邊正方體中，觀察發(fā)現(xiàn)要3個(gè)這樣的四棱錐才能拼成一個(gè)正方體．（2）圖2如圖（2）延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則為平面與平面的交