備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)解讀專題03平行線四大模型

專題03平行線四大模型（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】歷年中考考試中，有不少題目都考查了平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，現(xiàn)汲取四大模型，供同學(xué)們賞析，希望能到達(dá)指導(dǎo)學(xué)習(xí)之目的。【方法技巧】模型一“鉛筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.模型二“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.模型三“臭腳”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【模型1“鉛筆”模型】【典例1】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【變式1-1】把一塊等腰直角三角尺和直尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．18° C．15° D．13°【典例2】問(wèn)題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．（提示：如圖2，過(guò)P作PE∥AB）問(wèn)題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）【變式2-1】已知，AB∥CD，試解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，∠1+∠2＝；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【變式2-2】如圖，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度數(shù)；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點(diǎn)Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．【模型2“豬蹄”模型（M模型）】【典例3】【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【變式3-1】如圖所示是汽車(chē)燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【變式3-2】學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式3-3】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【模型3“鋸齒”模型】【典例4】如圖，點(diǎn)P在直線CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求證：∠E＝∠F．【變式4-1】2022北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，AB∥CD，如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．【變式4-2】如圖已知：∠1＝∠2，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使AB∥CD成立，并寫(xiě)出證明過(guò)程．【變式4-3】如圖（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三條折線段．（1）若∠E＝∠F，如圖（b）所示，求證：∠1＝∠2；（2）根據(jù)圖（a），寫(xiě)出∠1+∠E與∠2+∠F之間的關(guān)系，不需證明．專題03平行線四大模型（知識(shí)解讀）【專題說(shuō)明】歷年中考考試中，有不少題目都考查了平行線的性質(zhì)及應(yīng)用，現(xiàn)汲取四大模型，供同學(xué)們賞析，希望能到達(dá)指導(dǎo)學(xué)習(xí)之目的。【方法技巧】模型一“鉛筆”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“鉛筆”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°結(jié)論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.模型二“豬蹄”模型（M模型）點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD內(nèi)部“豬蹄”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.模型三“臭腳”模型點(diǎn)P在EF右側(cè)，在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD模型四“骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè)，在AB、CD外部·“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD，則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，則AB∥CD.【典例分析】【模型1“鉛筆”模型】【典例1】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【答案】A【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．【變式1-1】把一塊等腰直角三角尺和直尺按如圖所示的方式放置，若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．18° C．15° D．13°【答案】D【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB，則OP∥AB∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．故選：D．【典例2】問(wèn)題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．（提示：如圖2，過(guò)P作PE∥AB）問(wèn)題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，①當(dāng)P在OA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β，理由：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【變式2-1】已知，AB∥CD，試解決下列問(wèn)題：（1）如圖1，∠1+∠2＝；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3＝；（3）如圖3，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；（2）過(guò)點(diǎn)E作一條直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）過(guò)點(diǎn)E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；（4）根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n﹣2）條輔助線，運(yùn)用（n﹣1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個(gè)角的和是180°（n﹣1）．【變式2-2】如圖，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．（1）求∠AFG的度數(shù)；（2）若AQ平分∠FAC，交BC于點(diǎn)Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度數(shù)．【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，∴∠E＝∠1＝50°，∵AF∥DE，∴∠AFG＝∠E＝50°；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BQ，由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，∵BQ∥GE，∴AM∥BQ∥GE，∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，∵AQ平分∠FAC，∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，∵AM∥BQ，∴∠ACB＝∠MAC＝80°．【模型2“豬蹄”模型（M模型）】【典例3】【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【解答】解：（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠C＝28°，∵∠AEC是△AEF的一個(gè)外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，故答案為：70°；（2）利用（1）的結(jié)論可得：∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，∴∠AEC＝∠BED＝90°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝45°，∴∠BEF的度數(shù)為45°；（3）∵BC∥DF，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG＝∠CDF＝62°，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠CDG＝62°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝31°，∵∠GDE＝20°，∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，利用（1）的結(jié)論可得：∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，∴∠AED的度數(shù)為129°．【變式3-1】如圖所示是汽車(chē)燈的剖面圖，從位于O點(diǎn)燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線BA，CD都是水平線，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α【答案】C【解答】解：連接BC，∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．故選：C．【變式3-2】學(xué)習(xí)完平行線的性質(zhì)與判定之后，我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以幫我們解決許多問(wèn)題．（1）小明遇到了下面的問(wèn)題：如圖1，l1∥l2，點(diǎn)P在l1，l2內(nèi)部，探究∠A，∠APB，∠B的關(guān)系，小明過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線，可得∠APB，∠A，∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APB＝．（2）如圖2，若AC∥BD，點(diǎn)P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【解答】解：（1）∵記過(guò)點(diǎn)P作l1的平行線為PC，∵PC∥l1，∴∠A＝∠APC，∵l1∥l2，∴PC∥l2，∴∠B＝∠BPC，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，故答案為：∠APB＝∠A+∠B；（2）發(fā)生變化，如圖，過(guò)點(diǎn)PF∥AC，則∠APF＝∠A，∵AC∥BD，∴PF∥BD，∴∠B＝∠BPF，∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．【變式3-3】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，又∵∠BPD＝∠BED+∠D，∴∠BPD＝∠B+∠D；（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．連接QP并延長(zhǎng)，∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（或由（2）的結(jié)論得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【模型3“鋸齒”模型】【典例4】如圖，點(diǎn)P在直線CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求證：∠E＝∠F．【解答】證明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠BAP＝∠APC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∠3＝∠BAP﹣∠1，∠4＝∠APC﹣∠2，∴∠3＝∠4（等式的性質(zhì)），∴AE∥PF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠E＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【變式4-1】2022北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪