專題15 函數(shù)與幾何中的面積問題（原卷版）

專題15函數(shù)與幾何中的面積問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【題型二】割補法求面積二、最新?？碱}組練【題型一】直接利用幾何面積公式求面積【典例分析】在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線與x軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，．(1)如圖1，求值；(2)如圖2，連接，點在第一象限的拋物線上，過點作軸于點，與交于點，連接，設點的橫坐標為，四邊形的面積為，求與的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，若，點在線段上，連接，點在的延長線上，點在軸上，連接，，交軸于點，點在線段上且，若，連接，求正切值．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)中，用坐標表示出幾何圖形的底邊長、高等要素，然后利用面積公式列出函數(shù)解析式，最后根據(jù)函數(shù)的增減性討論面積?！咀兪窖菥殹?．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）中，，，點在直線上運動，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．(1)當點與點重合時，如圖，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關系；(2)點在線段上不與點，重合時，請寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)若，，請直接寫出的面積．2．（2023春·廣東東莞·九年級?？计谥校┮阎猂t△OAB，，，斜邊，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，如題圖1，連接BC．(1)填空：________°；(2)如圖1，連接AC，作，垂足為P，求OP的長度；(3)如圖2，點M，N同時從點出發(fā)，在邊上運動，M沿路徑勻速運動，N沿路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當x為何值時y取得最大值？最大值為多少？【題型二】割補法求面積【典例分析】（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點，連接，．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在第四象限的拋物線上，若的面積為4時，求點P的坐標；(3)點M在拋物線上，當時，求點M的橫坐標．【提分秘籍】基本規(guī)律針對不規(guī)則圖形的面積問題，通常采用割補法進行求解，一般方法為：過幾何圖形的某一頂點做坐標軸的平行線，對原有幾何圖形進行分割或者補的方式，構造出我們常見的幾何圖形，例如構造成三角形等。再利用坐標表示出構造三角形的底和高，從而列出有關面積的函數(shù)解析式?！咀兪窖菥殹?．（2023·天津·統(tǒng)考一模）將一個直角三角形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點，．以點A為中心順時針旋轉，得到，點O，B的對應點分別是C，D，記旋轉角為．(1)如圖①，當點C落在邊上時，求點C的坐標；(2)如圖②，連接，點E，F(xiàn)分別是線段的中點，連接，，若線段的長為t，試用含t的式子表示線段的長度，并寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，若的面積是S，當時，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，，交y軸于點C，且．(1)求該拋物線的解析式；(2)點P為直線下方拋物線上的一點，連接、、、，求四邊形的面積的最大值，以及此時點P的坐標；1．（2023·江蘇宿遷·沭陽縣懷文中學統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上是否存在一點，使，若存在請直接寫出點的坐標___________；若不存在，說明理由．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸分別交于點、，與y軸交于點C．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點P是該二次函數(shù)圖象上的動點，且P在直線的上方，①如圖1，當平分時，求點P的坐標；②如圖2，連接交BC于E點，設，求k的最大值．3．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學?？寄M預測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達式；(2)過D作交于點E，連接BE，當時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標，若不存在，請簡要說明理由.4．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點、與相交于點，與軸交于點，連接．(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上存在一點，使，請直接寫出點的坐標；5．（2023·江蘇南通·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，直線：與x軸交于點B，與y軸交于點A，點C是x軸負半軸上一點，過A、B、C三點的（圓心M落在第四象限）交y軸負半軸于點D，連接，已知．(1)（請用α的代數(shù)式表示），并求證：；(2)若，求點D的坐標；(3)如圖2，連接并延長，交于點F，交于點E，①若，求的長；②若，請直接寫出四邊形的面積．6．（2022·江蘇揚州·校考二模）(1)【嘗試探究】已知中，，點O是的中點，作，分別交于點P、Q，連接．①如圖1，若，試探索線段之間的數(shù)量關系；②如圖2，試探索①中的結論在一般情況下是否仍然成立；(2)【解決問題】如圖3，已知中，，點O是的中點，過C、O兩點的圓分別交邊于點P、Q，連接，求面積的最大值．7．（2022·江蘇揚州·?？既＃┤鐖D1，在一平面內，線段，、是線段上兩點，且．點從點開始向終點運動，分別以，為邊在線段同側作等邊和等邊．(1)直接寫出和位置關系：___________；(2)如圖2，連接，，求證：；(3)如圖3，設的中點為，在點從點開始運動到終點的過程中，求點移動路徑的長；(4)如圖4，點、點分別是、的中點，求當線段取得最小值時的面積．8．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）定義：若一個四邊形能被其中的一條對角線分割成兩個相似三角形，則稱這個四邊形為“師梅四邊形”，這條對角線稱為“師梅線”．我們熟知的平行四邊形就是“師梅四邊形”．(1)如圖1，平分，，．四邊形是被分割成的“師梅四邊形”，