專題34 與角平分線有關(guān)的動角問題（解析版）

專題34與角平分線有關(guān)的動角問題1．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使邊OM在的內(nèi)部，且恰好平分．問：此時直線ON是否平分？請說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第n秒時，直線ON恰好平分，則n的值為______（點接寫結(jié)果）(3)若圖1中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在的內(nèi)部時，的度數(shù)是多少？【答案】(1)平分，理由見解析(2)10或40(3)30°【分析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，則∠BON＝30°，即旋轉(zhuǎn)60°或240°時ON平分∠AOC，據(jù)此求解；（3）因為∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．（1）解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：設(shè)ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（對頂角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC；（2）解：由（1）得，∠BOM＝60°時，直線ON恰好平分，即旋轉(zhuǎn)60°時，ON平分∠AOC，再旋轉(zhuǎn)180°即旋轉(zhuǎn)240°時，ON平分∠AOC，由題意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案為：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．【點睛】本題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．如圖1：已知OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°，若射線OA繞O點以每秒30°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線OC繞O點每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與射線OD重合時，停止運動．(1)開始旋轉(zhuǎn)前，∠AOB＝．(2)若射線OB也繞O點以每秒20°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，三條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線與射線OD重合時，停止運動．當(dāng)三條射線中其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線時，求旋轉(zhuǎn)的時間．(3)【實際應(yīng)用】從今天上午6時整開始到上午7時整結(jié)束的運動過程中，經(jīng)過多少分鐘時針與分針所形成的鈍角等于120°（直接寫出所有可能結(jié)果）．【答案】(1)(2)秒或秒，秒或秒，秒或秒(3)分鐘或分鐘【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得；（2）根據(jù)路程等于速度乘以時間分別求得運動到所需要的時間，進而求得停止的時間，根據(jù)角度的和差可得，根據(jù)角度的方向以及角平分線的定義，建立絕對值方程，解方程求解即可；（3）根據(jù)題意作出圖形，類比（2）建立方程，在周角內(nèi)求角度，進而解方程求解即可．(1)OB⊥OD，OA⊥OC，∠COD＝40°故答案為：(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至所需要的時間為：（秒）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至?xí)r，其他線段都停止，則，旋轉(zhuǎn)秒后，，，，，①當(dāng)平分時，，即或解得：或②當(dāng)平分時，,即或解得：或③當(dāng)平分時，,即或解得：或綜上所述，或，或，或(3)如圖，根據(jù)題意，6時整時，，6時至7時，旋轉(zhuǎn)了30°，旋轉(zhuǎn)了360°則的速度為度/分鐘，的速度為度/分鐘，6點整之后，設(shè)分鐘后，則或解得：或【點睛】本題考查了角度的旋轉(zhuǎn)，幾何圖形中角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，鐘表角的計算，根據(jù)題意建立一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．已知直線AB和CD交于點O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時，射線OE′從OE開始以12°/秒的速度繞點O逆時針轉(zhuǎn)動，同時射線OF′從OF開始以8°/秒的速度繞點O順時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線OE′轉(zhuǎn)動一周時射線OF′也停止轉(zhuǎn)動，求經(jīng)過多少秒射線OE′與射線OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線OE′在轉(zhuǎn)動一周的過程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時，請直接寫出射線OE′轉(zhuǎn)動的時間為_________秒．【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30【分析】（1）根據(jù)題意利用互余和互補的定義可得：∠EOC與∠FOD的度數(shù)．（2）由題意先根據(jù)，得出∠EOF=150°，則射線OE'、OF'第一次重合時，其OE'運動的度數(shù)+OF'運動的度數(shù)=150，列式解出即可；（3）根據(jù)題意分兩種情況在直線OE的左邊和右邊，進而根據(jù)其夾角列4個方程可得時間．【詳解】解：（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=α＝30°，∴∠EOC=90°-30°=60°，∠AOD=180°-30°=150°，∵OF平分∠AOD，∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；故答案為：60，75；（2）當(dāng)，．設(shè)當(dāng)射線與射線重合時至少需要t秒，可得，解得：；答：當(dāng)射線與射線重合時至少需要秒；（3）設(shè)射線轉(zhuǎn)動的時間為t秒，由題意得：或或或，解得：或12或21或30．答：射線轉(zhuǎn)動的時間為3或12或21或30秒．【點睛】本題考查對頂角相等，鄰補角互補的定義，角平分線的定義，角的計算，第三問有難度，熟記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．4．若A、O、B三點共線，，將一個三角板的直角頂點放在點O處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的長直角邊OD在射線OB上，則____________°；(2)將圖1中的三角板DOE繞點O以每秒2°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2位置，此時，求運動時間的值；(3)將圖2中的三角板DOE再繞點O以每秒5°的速度按順時針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過秒后，直線OC恰好平分，求的值．【答案】(1)50(2)25秒(3)11或47【分析】（1）由余角的性質(zhì)可求解；（2）由角的數(shù)量關(guān)系列出等式可求解；（3）分兩種情況討論即可.（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，故答案為：50；（2）解：∵三角板DOE繞點O以每秒2°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴經(jīng)過t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40o，∠AOE=90o-2t，∵，∴2t-40o=（90o-2t），解得t=25.即運動時間為25秒.（3）解：圖2中∠AOE=90o-2t=40o，∠D1OE1=∠DOE=90o∵三角板DOE再繞點O以每秒5°的速度按順時針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，情況①如圖：經(jīng)過秒后，∠EOE1=5t∵直線OC恰好平分，∴∵∠BOC=40o∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140o即40o+5t+45o=140o解得：t=11；情況②如圖：此時有：5t-10o-45o=180o，解得t=47故的值為11或47.【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的定義，平角的性質(zhì)等知識，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．5．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當(dāng)射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)n(3)或或或或秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進行計算即可．(1)解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．故答案為：是．(2)∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．故答案為：n．(3)設(shè)運動時間為x秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止如圖，當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，當(dāng)時，根據(jù)題意可得,,則解得如圖,當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，當(dāng)時，,,解得即運動時間為秒時，射線OC是射線OB的“友好線”．③如圖，當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝∠COB，,,所以10+x＝，解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OB是射線OA的“友好線”．④如圖，當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝∠COB，,,解得⑤如圖，,當(dāng)時解得：當(dāng)時解得：綜上所述，當(dāng)運動時間為或或或或秒時，符合題意要求．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角的計算，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想．6．如圖1，直線與直線相交于點，、兩點同時從點出發(fā)，點以每秒個單位長度沿直線向左運動，點以每秒個單位長度沿直線向上運動．(1)若運動時，點比點多運動1個單位；運動時，點與點運動的路程和為6個單位，則_________，_________．(2)如圖2，當(dāng)直線與直線垂直時，設(shè)和的角平分線相交于點．在點、在運動的過程中，的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值（寫出主要過程）；若發(fā)生變化，請說明理由．(3)如圖3，將（2）中的直線不動，直線繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變．（i）用含有的式子表示的度數(shù)_________．（ii）如果再分別作的兩個外角，的角平分線相交于點，并延長、交于點．則下列結(jié)論正確的是_________（填序號）．①與互補；②為定值；③為定值；④與互余．【答案】(1)1，2(2)不變，135°(3)（i）；（ii）①③④【分析】（1）構(gòu)建方程組即可解決問題；（2）根據(jù)角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；（ⅱ）結(jié)論：①③④正確．根據(jù)角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一證明即可；（1）由題意：，解得，故答案為1，2．（2）解：不變化．．理由：如圖2，∵直線直線，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，在中，，∴度數(shù)不變化，總是等于．（3）（i）由題意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°?α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°?α，∴∠APB＝180°?（45°?α）＝135°＋α故答案為：．（ii）①∠APB與∠Q互補；正確．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°?(∠QAB＋∠QBA)＝180°?[(180°?∠OAB)＋(180°?∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°?(90°＋α)]＝45°?α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°?α＝180°②∠M?∠Q為定值．錯誤．理由：∵∠Q＝45°?α，∴∠M＝90°?∠Q＝45°＋α，∴∠M?∠Q＝α，不是定值．③∠APB?∠M為定值；正確．理由：同法可證：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB?∠M＝90°為定值．④∠Q與∠M互余；正確．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案為①③④【點睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、二元一次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．7．【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當(dāng)運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分四種情況進行計算即可．【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；（3）設(shè)運動時間為x（x≤36）秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝∠COB，所以3x＝（180﹣5x﹣3x），解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OB是射線OA的“友好線”．當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝∠AOB，所以180﹣5x﹣3x＝×3x，解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OB是射線OC的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝∠AOC，所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），解得x＝（符合題意），即運動時間為秒時，射線OC是射線OB的“友好線”．當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOC＝∠COB，所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），解得x＝30（符合題意），即運動時間為30秒時，射線OC是射線OA的“友好線”．綜上所述，當(dāng)運動時間為或或或30秒時，符合題意要求．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的運算，理解新定義，并用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．8．如圖①，直線?相交于點O，射線，垂足為點O，過點O作射線使．（1）將圖①中的直線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，在的內(nèi)部，當(dāng)平分時，是否平分，請說明理由；（2）將圖①中的直線繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖③，在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若，將圖①中的直線繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)度度（），設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，當(dāng)與互余時，求t的值．【答案】（1）平分，理由見解析；（2），理由見解析；（3）或時，與互余．【分析】（1）根據(jù)平分線的定義可得，根據(jù)，可得，從而得到，所以可得結(jié)論；（2）設(shè)為，根據(jù)可得，根據(jù)可得，從而得到與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)題意可知，因為，所以可得，可求出，根據(jù)“直線繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)”可得出，，，，然后分情況進行討論：①時，②時，③時，，從而得出結(jié)果．【詳解】解：（1）平分，理由如下：∵且平分∴∵∴∴∴∴即平分（2），理由如下：設(shè)為，則∵∴∴即（3）∵且∴又∵∴∴∵直線繞點O按每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)∴①時，若與互余，則解得②時，若與互余，則此時無解③時，若與互余，則解得綜上所述，或時，與互余．【點睛】本題考查了角的計算，角平分線有關(guān)的計算，余角相關(guān)計算．關(guān)鍵是認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系．9．[閱讀]材料1：如圖1，在透明紙上畫一個角，把這個角對折，使角的兩邊重合，再展平紙片，折痕把這個角分成兩個相等的角．我們稱這條折痕所在直線l平分這個角．材料2：如圖2中，三角板OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°到三角板OCD的位置，這時，三角板的邊OA、OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°到OC、OD的位置；如圖3中，三角板OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到三角板OCD的位置，這時，三角板的邊OA、OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到OC、OD的位置．[問題解決]（1）將兩個大小一樣的含30°角的直角三角板按圖3的方式擺放（頂點A、C重合）．現(xiàn)在將三角板OCD固定不動，從起始位置（圖4）開始，將三角板OAB繞點O順時針勻速轉(zhuǎn)動一周，轉(zhuǎn)動速度為每秒5°．設(shè)三角板OAB轉(zhuǎn)動的時間為t秒．①當(dāng)三角板OAB轉(zhuǎn)動到圖5的位置時，它的一邊OA平分∠COD，求t的值；②當(dāng)三角板OAB的一邊OB所在直線平分∠COD時，t＝秒；（直接寫出結(jié)果）（2）將兩個大小一樣的含30°角的直角三角板按圖6的方式擺放（頂點A、O、C在一條直線上）．在三角板OAB繞點O以每秒5°的速度順時針勻速轉(zhuǎn)動的同時，三角板OCD繞點O以每秒3°的速度逆時針勻速轉(zhuǎn)動，當(dāng)三角板OAB轉(zhuǎn)動一周時停止轉(zhuǎn)動，此時三角板OCD也停止轉(zhuǎn)動．兩塊三角板同時從起始位置（圖6）開始轉(zhuǎn)動，設(shè)三角板OAB轉(zhuǎn)動的時間為t秒．當(dāng)三角板OAB的一邊OB所在直線平分∠COD時，t＝秒．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）①t的值是6；②60；（2）15或37.5．【分析】（1）①可知∠DOC=60°，根據(jù)平分和三角板OAB轉(zhuǎn)動的速度可得t的值；②根據(jù)角平分先和三角板OAB轉(zhuǎn)動的速度可得t的值；（2）分線段OB平分∠DOC和直線OB平分∠DOC兩種情況，分情況討論即可．【詳解】解：（1）①由三角板可知∠DOC＝60°，∵三角板OAB繞點O順時針勻速轉(zhuǎn)動一周，轉(zhuǎn)動速度為每秒5°，∴t秒后，∠AOC＝5t．當(dāng)OA平分∠DOC時，∠AOC＝30°，∴5t＝30°，解得t＝6．答：t的值是6．②∵OB平分∠DOC時，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝90°﹣30°＝60°，∴5t＝360°﹣60°＝300°，解得t＝60．故答案為：60．（2）設(shè)三角板OAB和三角板OCD旋轉(zhuǎn)后分別為三角板OA′B′和三角板OC′D′，①線段OB平分∠DOC時，如圖：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝60°，∴5t+3t+60°＝180°，解得t＝15；②直線OB平分∠DOC時，如圖：∠AOA′＝5t，∠COC′＝3t，∠AOA′＝90°∵∠B′OC′＝30°，∴∠A′OC′＝90°+30°＝120°，∴5t+3t﹣120°＝180°，解得t＝37.5；故答案為：15或37.5．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)和折疊，角度的計算，掌握角平分線并會分類討論是解題關(guān)鍵．10．定義：在同一平兩內(nèi)，有公共端點的三條射線中，一條射線是另兩條射線組成夾角的角平分線，我們稱這三條射線為“共生三線”．如圖為一量角器的平面示意圖，為量角器的中心．作射線，，，并將其所對應(yīng)的量角器外圈刻度分別記為，，．（1）若射線，，為“共生三線”，且為的角平分線．①如圖1，，，則______；②當(dāng)，時，請在圖2中作出射線，，，并直接寫出的值；③根據(jù)①②的經(jīng)驗，得______（用含，的代數(shù)式表示）．（2）如圖3，，．在刻度線所在直線上方區(qū)域內(nèi)，將，，按逆時針方向繞點同時旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度分別為每秒，，，若旋轉(zhuǎn)秒后得到的射線，，為“共生三線”，求的值．【答案】（1）①40；②畫圖見解析，95；③；（2）或12或30【分析】（1）①根據(jù)“共生三線”的定義直接計算；②分別畫出OA，OB，再根據(jù)OC為∠AOB的平分線畫出OC；③根據(jù)①②的經(jīng)驗直接可得結(jié)論；（2）分OB′為∠A′OC′的平分線，OA′為∠B′OC′的平分線，OC′為∠A′OB′的平分線三種情況，列出方程求解．【詳解】解：（1）①∵OA，OB，OC為“共生三線”，OC平分∠AOB，∴∠AOB=b°-a°=80°，∴m°=∠AOB=×80°=40°，故m=40；②如圖，∵，，∴m=（a+b）÷2=95；③根據(jù)①②的經(jīng)驗可得：m=；（2）∵a=0，b=m=60，∴t秒后，a=12t，b=60+6t，m=60+8t，當(dāng)OB′為∠A′OC′的平分線時，b=，即60+6t=（12t+60+8t），解得：t=；當(dāng)OA′為∠B′OC′的平分線時，a=，即12t=（60+6t+60+8t），解得：t=12；當(dāng)OC′為∠A′OB′的平分線時，m=，即60+8t=（12t+60+6t），解得：t=30；綜上：t的值為或12或30．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義的運用，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)“共生三線”的定義分類討論，列出方程．11．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種