環(huán)境統(tǒng)計(jì)學(xué)-概率分布

1環(huán)境統(tǒng)計(jì)學(xué)授課教師：林紅軍授課時(shí)間：2010學(xué)年第二學(xué)期Presentation（EnvironmentalStatistics）環(huán)境科學(xué)系辦公地點(diǎn)：校8幢123室，17幢612室E-mail:hjlin@,linhonjun@163.comCell6798562環(huán)境統(tǒng)計(jì)學(xué)第1章緒論第2章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第3章環(huán)境一元線性回歸分析第4章環(huán)境多元線性回歸分析第5章環(huán)境系統(tǒng)聚類(lèi)分析第6章環(huán)境模糊聚類(lèi)分析第7章環(huán)境判別分析第8章環(huán)境主成分分析第9章環(huán)境因子分析第10章人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)第11章環(huán)境空間統(tǒng)計(jì)分析3隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件事件的運(yùn)算概率概率古典概率概率計(jì)算數(shù)學(xué)特征數(shù)學(xué)期望方差變異系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)概率數(shù)學(xué)特征隨機(jī)事件概率分布正態(tài)分布t分布x2分布F分布概率分布統(tǒng)計(jì)推斷參數(shù)估值點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第四節(jié)重要的概率分布常用連續(xù)型概率分布5COD的測(cè)試微回流重鉻酸鉀測(cè)試方法正態(tài)分布

(normaldistribution)6COD的測(cè)試1000mg/L900次810次11次1次次數(shù)濃度7概率密度函數(shù)

(probabilitydensityfunction)1.設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x

為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿(mǎn)足條件

f(x)不是概率8正態(tài)分布

(normaldistribution)由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，1777—1855)作為描述誤差相對(duì)頻數(shù)分布的模型而提出描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布許多現(xiàn)象都可以由正態(tài)分布來(lái)描述可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如：二項(xiàng)分布經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)正態(tài)分布的定義及其特征

（一）正態(tài)分布的定義若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為

(1)

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱(chēng)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布(normaldistribution)，記為x～N(μ,σ2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為

(2)函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；稱(chēng)軸不變,而形狀在改變,圖形越高越瘦,圖形越矮越胖.軸平移,而不改變其形狀,可見(jiàn)正態(tài)分布的概率密為位置參數(shù).

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的計(jì)算原函數(shù)不是初等函數(shù)方法一:利用MATLAB軟件包計(jì)算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Xms一般正態(tài)分布

=1X標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0

時(shí),表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算設(shè)z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則z在[z1,z2

］何內(nèi)取值的概率為：＝Φ(z2)－Φ(z1)而Φ(z1)與Φ(z2)可由附表1查得。正態(tài)分布的概率計(jì)算

例如，Z=1.75，1.7放在第一列0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行與0.05所在列相交處的數(shù)值為0.95994，即

Φ(1.75)=0.95994

有時(shí)會(huì)遇到給定Φ(Z)值，例如Φ(Z)=0.284，反過(guò)來(lái)查u值。這只要在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對(duì)應(yīng)行的第一列數(shù)-0.5，對(duì)應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07，即相應(yīng)的u值為u=-0.57，即

Φ(-0.57)=0.284

如果要求更精確的u值，可用線性插值法計(jì)算。21【例1】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標(biāo)準(zhǔn)差為10元的正態(tài)分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會(huì)超過(guò)70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？解：設(shè)

=50，

=10，X～N(50,102)22【例2】解24思考題1、已知某種水果的單個(gè)重量服從正態(tài)分布，平均值為140g，標(biāo)準(zhǔn)差為12.2g，今隨機(jī)抽出一個(gè)，試問(wèn)其重量不小于130g的概率是多少？2、某地區(qū)成年男子身高服從正態(tài)分布，其均值是169cm，標(biāo)準(zhǔn)差為7cm。求滿(mǎn)足滿(mǎn)足以下條件的男子的比例：⑴、155cm以下；⑵、176cm以上；⑶155cm～176cm之間3、某電視機(jī)廠某種型號(hào)電視機(jī)的銷(xiāo)售價(jià)為2000元，成本為1200元。產(chǎn)品中有一部分可能會(huì)在保持期內(nèi)損壞，因此廠家得免費(fèi)維修，假設(shè)修理費(fèi)平均而言每臺(tái)500元?，F(xiàn)假設(shè)電視機(jī)的使用壽命呈正態(tài)分布，均值為7年，標(biāo)準(zhǔn)差為3年。問(wèn)：如果希望每臺(tái)電視機(jī)的平均利潤(rùn)達(dá)到750元，廠家應(yīng)承諾的保修期大概是幾年？

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時(shí)，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ所得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)記為t。即t

分布

若x～N(μ,σ2)，則～N(μ,σ2/n)。將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得：

，則z～N(0,1)。

t分布是類(lèi)似正態(tài)分布的一種對(duì)稱(chēng)分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴(lài)于稱(chēng)之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)zt

分布

在計(jì)算時(shí)，由于采用S來(lái)代替σ，使得t

變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度d=n-1

的t分布。t的取值范圍是（-∞，+∞）；ft

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢(shì)越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t

分布當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很?。籲>100時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n→∞時(shí)，t

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。由阿貝(Abbe)于1863年首先給出，后來(lái)由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來(lái)設(shè)，則令，則Y服從自由度為1的

2分布，即

當(dāng)總體，從中抽取容量為n的樣本，則

2分布

(

2distribution)30分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對(duì)稱(chēng)的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對(duì)稱(chēng)期望為：E(

2)=v，方差為：D(

2)=2v(v為自由度)可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的

2分布隨機(jī)變量，U~

2(v1)，V~

2(v2),則U+V這一隨機(jī)變量服從自由度為v1+v2的

2分布

2分布

(

2distribution)5、設(shè)X～N（u，），x1，x2……，xn是X的一個(gè)樣本，與分別為樣本的均值和方差，則有：

2分布

(

2distribution)

不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20

2分布

(

2distribution)33

分位點(diǎn)若對(duì)于給定的，0＜＜1，存在使得則稱(chēng)點(diǎn)為分布的上分位點(diǎn)，如圖所示。

34由統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fisher)

提出的，以其姓氏的第一個(gè)字母來(lái)命名設(shè)若U為服從自由度為v1的

2分布，即U~

2(v1)，V為服從自由度為v2的

2分布，即V~

2(v2),且U和V相互獨(dú)立，則稱(chēng)F為服從自由度v1和v2的F分布，記為F分布

(Fdistribution)35假設(shè)總體X-N()，總體Y-N()，X，Y相互獨(dú)立，x1,x2,……,xn和y1,y2,……,yn分別是來(lái)自X和Y的樣本。分別是它們的方差，則：36F分布

(圖示)

不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)37——α分位點(diǎn)對(duì)于給定的α，0<α<1，稱(chēng)滿(mǎn)足為F分布的α分位點(diǎn)。——參數(shù)估計(jì)（parametricestimation）假設(shè)檢驗(yàn)（testofhypothesis）

根據(jù)總體理論分布，從樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)對(duì)總體參數(shù)的推斷常用的有t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)和

2檢驗(yàn)等,基本原理相同。主要內(nèi)容：

假設(shè)檢驗(yàn)又叫顯著性檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)推斷

(Fdistribution)39統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量如：樣本均值、比率、方差總體均值、比率、方差等參數(shù)估計(jì)的基本理論抽樣估計(jì)的基本條件有合適的統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)量有合理的允許誤差范圍有一個(gè)可以接受的置信度參數(shù)估計(jì)的基本概念總體和樣本參數(shù)及統(tǒng)計(jì)量樣本容量和樣本個(gè)數(shù)重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣參數(shù)估計(jì)的基本方法點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)1.估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比率、樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值

的一個(gè)估計(jì)量2.參數(shù)用

表示，估計(jì)量用

表示3.估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值

x=80，則80就是

的估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值參數(shù)估計(jì)的方法估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)44點(diǎn)估計(jì)用樣本的估計(jì)量直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等點(diǎn)估計(jì)完全正確的概率通常為0。因此，我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)的范圍

區(qū)間估計(jì)。45區(qū)間估計(jì)含義：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)稱(chēng)為置信水平α是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平；常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的

為0.01，0.05，0.10注意對(duì)上式的理解：例如抽取了1000個(gè)樣本，根據(jù)每一個(gè)樣本均構(gòu)造了一個(gè)置信區(qū)間，，這樣，由1000個(gè)樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的1000個(gè)置信區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而5%的置信區(qū)間則沒(méi)有包含。這里，95%這個(gè)值被稱(chēng)為置信水平（或置信度）。一般地，將構(gòu)造置區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱(chēng)為置信水平。46樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱(chēng)為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值

我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)47區(qū)間估計(jì)的圖示

x95%的樣本

-1.96

x

+1.96

x99%的樣本

-2.58

x

+2.58

x90%的樣本

-1.65

x

+1.65

x48置信區(qū)間我們用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信區(qū)間為60-80分，如何理解？錯(cuò)誤的理解：60-80區(qū)間以95%的概率包含全班同學(xué)平均成績(jī)的真值；或以95%的概率保證全班同學(xué)平均成績(jī)的真值落在60-80分之間。正確的理解：如果做了多次抽樣（如100次），大概有95次找到的區(qū)間包含真值，有5次找到的區(qū)間不包括真值。真值只有一個(gè)，一個(gè)特定的區(qū)間“總是包含”或“絕對(duì)不包含”該真值。但是，用概率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了參數(shù)的真值。如果大家還是不能理解，那你們最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果：該班同學(xué)平均成績(jī)的置信區(qū)間是60-80分，置信度為95%。49置信區(qū)間與置信水平樣本均值的抽樣分布(1-

)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含

1–aa/2a/2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì)二、總體比率的區(qū)間估計(jì)三、總體方差的區(qū)間估計(jì)51一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比率方差總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

未知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n>30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為利用SPSS軟件對(duì)總體均值的估計(jì)

按Analyze→DescriptiveStatistics→Explore展開(kāi)Explore對(duì)話(huà)框，如圖。從左側(cè)的源變量框中，選擇需要估計(jì)的變量（要求是數(shù)值型變量）作為因變量進(jìn)入Dependent框中后，完成相應(yīng)的對(duì)話(huà)框選項(xiàng)。單擊OK即可完成總體均值的參數(shù)估計(jì)?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門(mén)經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量

112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96根據(jù)資料計(jì)算樣本均值為：

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為：該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間

36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)

233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645根據(jù)資料計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為：投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

未知小樣本(n<30)2.使用t

分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)(小樣本)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)

1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知Ｘ~N(

，2)，n=16,1-

=95%，t

/2=2.131

根據(jù)資料計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：

總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8-1503.2小時(shí)?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理基本思路小概率原理基本命題形式單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則與兩類(lèi)錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟假設(shè)檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)的關(guān)系利用P值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)62假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題

在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類(lèi)重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確.假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)概述

(hypothesistest)1.先對(duì)總體的參數(shù)(或分布形式)提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過(guò)程2.有參數(shù)檢驗(yàn)和非參數(shù)檢驗(yàn)3.邏輯上運(yùn)用反證法，統(tǒng)計(jì)上依據(jù)小概率原理假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理基本思路首先對(duì)研究命題提出一種假設(shè)（原假設(shè)）再?gòu)目傮w中抽出樣本，觀測(cè)取值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量最后比較判斷原假設(shè)是否正確小概率原理若對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不支持這一假設(shè)的事件（小概率事件）在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，如果發(fā)生即可懷疑原假設(shè)的真實(shí)性?；久}原假設(shè)（H0）備則假設(shè)（H1）備擇假設(shè)研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)也稱(chēng)“研究假設(shè)”總是有符號(hào)≠,

≤或≥表示為H1H1

：u<某一數(shù)值，或u＞某一數(shù)值例如：H1

：u<10cm或u＞

10cm原假設(shè)和備擇假設(shè)原假設(shè)研究者想收集證據(jù)予以反對(duì)的假設(shè)又稱(chēng)“0假設(shè)”總是有符號(hào)

,

或

表示為H0H0：

u=某一數(shù)值指定為符號(hào)=，<或>

例如,H0：

u＝10cm假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想...因此我們拒絕假設(shè)

=50...如果這是總體的假設(shè)均值樣本均值m=50抽樣分布H0這個(gè)值不像我們應(yīng)該得到的樣本均值...20總體

假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程抽取隨機(jī)樣本均值

x

=20

我認(rèn)為人口的平均年齡是50歲提出假設(shè)

拒絕假設(shè)別無(wú)選擇!

作出決策提出假設(shè)(例題分析)解：研究者想收集證據(jù)予以證明的假設(shè)應(yīng)該是“生產(chǎn)過(guò)程不正?！薄＝⒌脑僭O(shè)和備擇假設(shè)為

H0：

10cm

H1：

10cm

【例】一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為10cm，為對(duì)生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行控制，質(zhì)量監(jiān)測(cè)人員定期對(duì)一臺(tái)加工機(jī)床檢查，確定這臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產(chǎn)過(guò)程不正常，必須進(jìn)行調(diào)整。試陳述用來(lái)檢驗(yàn)生產(chǎn)過(guò)程是否正常的原假設(shè)和被擇假設(shè)解：研究者抽檢的意圖是傾向于證實(shí)這種洗滌劑的平均凈含量并不符合說(shuō)明書(shū)中的陳述。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：

H0：

500H1：

<500

500g提出假設(shè)(例題分析)

【例】某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中聲稱(chēng)：平均凈含量不少于500克。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過(guò)抽檢其中的一批產(chǎn)品來(lái)驗(yàn)證該產(chǎn)品制造商的說(shuō)明是否屬實(shí)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)解：研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“該城市中家庭擁有汽車(chē)的比率超過(guò)30%”。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：

H0：

30%

H1：

30%提出假設(shè)(例題分析)【例】一家研究機(jī)構(gòu)估計(jì)，某城市中家庭擁有汽車(chē)的比率超過(guò)30%。為驗(yàn)證這一估計(jì)是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。試陳述用于檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)(two-tailedtest)

備擇假設(shè)沒(méi)有特定的方向性，并含有符號(hào)“

”的假設(shè)檢驗(yàn)，又稱(chēng)雙側(cè)檢驗(yàn)或雙尾檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)(one-tailedtest)備擇假設(shè)具有特定的方向性，并含有符號(hào)“>”或“<”的假設(shè)檢驗(yàn)，稱(chēng)為單側(cè)檢驗(yàn)或單尾檢驗(yàn)。備擇假設(shè)的方向?yàn)椤?lt;”，稱(chēng)為左側(cè)檢驗(yàn)

備擇假設(shè)的方向?yàn)椤?gt;”，稱(chēng)為右側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)(假設(shè)的形式)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)單側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)原假設(shè)H0:m

=m0H0:m

m0H0:m

m0備擇假設(shè)H1:m

≠m0H1:

m

<m0H1:m

>m01.根據(jù)樣本觀測(cè)結(jié)果計(jì)算得到的，并據(jù)以對(duì)原假設(shè)和備擇假設(shè)作出決策的某個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量2.對(duì)樣本估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果原假設(shè)H0為真點(diǎn)估計(jì)量的抽樣分布檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(teststatistic)3.標(biāo)準(zhǔn)化的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn))抽樣分布0臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H01-

置信水平0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn))0臨界值臨界值

a/2a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn))0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域(雙側(cè)檢驗(yàn))0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域(單側(cè)檢驗(yàn))0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計(jì)量顯著性水平和拒絕域(左側(cè)檢驗(yàn))0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平顯著性水平和拒絕域(左側(cè)檢驗(yàn))0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計(jì)量顯著性水平和拒絕域(右側(cè)檢驗(yàn))0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量抽樣分布1-

置信水平拒絕H0顯著性水平和拒絕域(右側(cè)檢驗(yàn))決策規(guī)則1.給定顯著性水平

，查表得出相應(yīng)的臨界值z(mì)

或z

/2，t

或t

/22.將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與

水平的臨界值進(jìn)行比較3.作出決策雙側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量絕對(duì)值

>臨界值，拒絕H0左側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量<-臨界值，拒絕H0右側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量>臨界值，拒絕H0利用P值進(jìn)行決策P是一個(gè)概率值，是拒絕原假設(shè)的最小顯著性水平。在原假設(shè)為真的條件下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值大于或等于其計(jì)算值的概率。雙側(cè)檢驗(yàn)為分布中兩側(cè)面積的總和反映實(shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)H0之間不一致的程度被稱(chēng)為觀察到的(或?qū)崪y(cè)的)顯著性水平?jīng)Q策規(guī)則：若p值<

,拒絕H0雙側(cè)檢驗(yàn)的P值

/

2

/

2

Z拒絕H0拒絕H00臨界值計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量臨界值1/2P值1/2P值0臨界值a樣本統(tǒng)計(jì)量拒絕H0抽樣分布1-

置信水平計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量P值左側(cè)檢驗(yàn)的P值0臨界值a拒絕H0抽樣分布1-

置信水平計(jì)算出的樣本統(tǒng)計(jì)量P值右側(cè)檢驗(yàn)的P值假設(shè)檢驗(yàn)步驟的總結(jié)1.陳述原假設(shè)和備擇假設(shè)2.從所研究的總體中抽出一個(gè)隨機(jī)樣本3.確定一個(gè)適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并利用樣本數(shù)據(jù)算出其具體數(shù)值4.確定一個(gè)適當(dāng)?shù)娘@著性水平，并計(jì)算出其臨界值，指定拒絕域5.將統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值進(jìn)行比較，作出決策統(tǒng)計(jì)量的值落在拒絕域，拒絕H0，否則不拒絕H0也可以直接利用P值作出決策一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)z檢驗(yàn)(單尾和雙尾)

t檢驗(yàn)(單尾和雙尾)z

檢驗(yàn)(單尾和雙尾)

2檢驗(yàn)(單尾和雙尾)均值一個(gè)總體比率方差總體均值的檢驗(yàn)(作出判斷)

是否已知小樣本容量n大

是否已知否

t檢驗(yàn)否z檢驗(yàn)是z檢驗(yàn)是z檢驗(yàn)總體均值的檢驗(yàn)(大樣本)1. 假定條件正態(tài)總體或非正態(tài)總體大樣本(n

30)使用z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2

已知：

2

未知：總體均值的檢驗(yàn)(大樣本檢驗(yàn)方法的總結(jié))假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0

：m=m0H1：

m

m0H0：m

m0H1：m<m0H0：

m

m0

H1：

m>m0統(tǒng)計(jì)量

已知：

未知：拒絕域P值決策拒絕H0總體均值的檢驗(yàn)(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布小樣本(n<

30)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2

已知：

2

未知：利用SPSS軟件進(jìn)行一個(gè)總體的均值檢驗(yàn)單一樣本T檢驗(yàn)（One－SampleTTest）過(guò)程可以檢驗(yàn)單個(gè)變量的均值是否與給定的常數(shù)之間存在差異。按Analyze→CompareMean→One-SampleTTest展開(kāi)One-SampleTTest單一樣本T檢驗(yàn)對(duì)話(huà)框，如圖所示。總體均值的檢驗(yàn)(小樣本)假設(shè)雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)假設(shè)形式H0

：m=m0H1：

m

m0H0

：m

m0H1：

m<m0H0：

m

m0

H1：

m>m0統(tǒng)計(jì)量

已知：

未知：拒絕域P值決策拒絕H0注：

已知的拒絕域同大樣本利用SPSS軟件

進(jìn)行兩個(gè)總體比較的假設(shè)檢驗(yàn)

進(jìn)行獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)調(diào)用CompareMeans下的Independent-SamplesTtest過(guò)程。如圖所示。

配對(duì)樣本T檢驗(yàn)調(diào)用的是CompareMeans菜單下的Paired-SamplesTTest過(guò)程，如圖所示。兩個(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(小樣本

12，

22

已知)1.假定條件兩個(gè)獨(dú)立的小樣本兩個(gè)總體都是正態(tài)分布

12，

22已知2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差的檢驗(yàn)

(匹配樣本)1.假定條件兩個(gè)總體配對(duì)差值構(gòu)成的總體服從正態(tài)分布配對(duì)差是由差值總體中隨機(jī)抽取的

數(shù)據(jù)配對(duì)或匹配(重復(fù)測(cè)量——前/后)2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量樣本差值均值樣本差值標(biāo)準(zhǔn)差99讓我們先看一個(gè)例子.這一講我們討論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn).100

生產(chǎn)流水線上罐裝可樂(lè)不斷地封裝，然后裝箱外運(yùn).怎么知道這批罐裝可樂(lè)的容量是否合格呢？把每一罐都打開(kāi)倒入量杯,看看容量是否合于標(biāo)準(zhǔn).這樣做顯然不行！罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.101

每隔一定時(shí)間，抽查若干罐.

如每隔1小時(shí)，抽查5罐，得5個(gè)容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來(lái)判斷生產(chǎn)是否正常.

如發(fā)現(xiàn)不正常，就應(yīng)停產(chǎn)，找出原因，排除故障，然后再生產(chǎn)；如沒(méi)有問(wèn)題，就繼續(xù)按規(guī)定時(shí)間再抽樣，以此監(jiān)督生產(chǎn)，保證質(zhì)量.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.102

很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，因?yàn)橥．a(chǎn)的損失是很大的.

當(dāng)然也不能總認(rèn)為正常，有了問(wèn)題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.

如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗(yàn)面對(duì)的就是這種矛盾.103

在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂(lè)的容量應(yīng)在350毫升上下波動(dòng).這些因素中沒(méi)有那一個(gè)占有特殊重要的地位.因此，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.104它的對(duì)立假設(shè)是：稱(chēng)H0為原假設(shè)（或零假設(shè)，解消假設(shè)）；稱(chēng)H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).H0：（=355）H1：

這樣，我們可以認(rèn)為X1,…,X5是取自正態(tài)總體

的樣本，是一個(gè)常數(shù).當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)，現(xiàn)在要檢驗(yàn)的假設(shè)是：105那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？較大、較小是一個(gè)相對(duì)的概念，合理的界限在何處？應(yīng)由什么原則來(lái)確定？由于

是正態(tài)分布的期望值，它的估計(jì)量是樣本均值，因此可以根據(jù)與

的差距來(lái)判斷H0

是否成立.-

||較小時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)-

||生產(chǎn)已不正常.當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即-

||106問(wèn)題歸結(jié)為對(duì)差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱(chēng)為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動(dòng).107

然而，這種隨機(jī)性的波動(dòng)是有一定限度的，如果差異超過(guò)了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來(lái)解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱(chēng)作“系統(tǒng)誤差”108

問(wèn)題是，根據(jù)所觀察到的差異，如何判斷它究竟是由于偶然性在起作用，還是生產(chǎn)確實(shí)不正常？即差異是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？這里需要給出一個(gè)量的界限.109問(wèn)題是：如何給出這個(gè)量的界限？這里用到人們?cè)趯?shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.110

現(xiàn)在回到我們前面罐裝可樂(lè)的例中：在提出原假設(shè)H0后，如何作出接受和拒絕H0的結(jié)論呢？

在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們稱(chēng)這個(gè)小概率為顯著性水平，用表示.常取

的選擇要根據(jù)實(shí)際情況而定。111

罐裝可樂(lè)的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)在350毫升和360毫升之間.一批可樂(lè)出廠前應(yīng)進(jìn)行抽樣檢查，現(xiàn)抽查了n罐，測(cè)得容量為X1,X2,…,Xn，問(wèn)這一批可樂(lè)的容量是否合格？112提出假設(shè)選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量H0：

=355

H1：≠355由于已知，它能衡量差異大小且分布已知.對(duì)給定的顯著性水平

，可以在N(0,1)表中查到分位點(diǎn)的值，使113故我們可以取拒絕域?yàn)椋阂簿褪钦f(shuō),“”是一個(gè)小概率事件.W：如果由樣本值算得該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入?yún)^(qū)域W，則拒絕H0

；否則，不能拒絕H0.114

如果H0

是對(duì)的，那么衡量差異大小的某個(gè)統(tǒng)計(jì)量落入?yún)^(qū)域W(拒絕域)是個(gè)小概率事件.如果該統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測(cè)值落入W，也就是說(shuō)，H0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為H0不可信而否定它.

否則我們就不能否定H0

（只好接受它）.這里所依據(jù)的邏輯是：115

不否定H0并不是肯定H0一定對(duì)，而只是說(shuō)差異還不夠顯著，還沒(méi)有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”116

在上面的例子的敘述中，我們已經(jīng)初步介紹了假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和方法.

下面，我們?cè)俳Y(jié)合另一個(gè)例子，進(jìn)一步說(shuō)明假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟.117

例2某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長(zhǎng)度X假定服從正態(tài)分布未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問(wèn)這批產(chǎn)品是否合格?…分析：這批產(chǎn)品(螺釘長(zhǎng)度)的全體組成問(wèn)題的總體X.現(xiàn)在要檢驗(yàn)E(X)是否為32.5.118提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：已知X~未知.第二步：能衡量差異大小且分布已知取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布119第三步：即“

”是一個(gè)小概率事件.小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會(huì)發(fā)生.

對(duì)給定的顯著性水平=0.01，查表確定臨界值,使得否定域W:|t|>4.0322120得否定域W:|t|>4.0322故不能拒絕H0.第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量t

的實(shí)測(cè)值,|t|=2.997<4.0322沒(méi)有落入拒絕域

這并不意味著H0一定對(duì)，只是差異還不夠顯著,不足以否定H0.方差分析的基本原理某銀行對(duì)下屬的三位出納進(jìn)行了一次考核，考察了這三位出納一周內(nèi)每天接待客戶(hù)的數(shù)量，結(jié)果示于下表。問(wèn)從表中的數(shù)據(jù)可否推斷出哪一位出納的業(yè)務(wù)能力較強(qiáng)？周一周二周三周四周五周六張三455647515045李四555053595849王五546154585251t檢驗(yàn)法如果處理這一問(wèn)題采用的是t檢驗(yàn)，雖然也能判斷數(shù)據(jù)均值的差異是否顯著，但t檢驗(yàn)每次只能處理兩組數(shù)據(jù)，共需次檢驗(yàn)。每次檢驗(yàn)時(shí)共有兩組，12個(gè)數(shù)據(jù)，則誤差自由度為6-1=5。假設(shè)取α=0.05，則每次檢驗(yàn)不犯棄真錯(cuò)誤的概率為95％，又因每次檢驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，故犯棄真錯(cuò)誤的概率為1-0.953=0.143。方差分析的基本原理方差分析若采用方差分析，則把所有的數(shù)據(jù)作為一個(gè)整體考慮，一次比較就對(duì)各組間是否有顯著差異作出判斷。相比t檢驗(yàn)，進(jìn)行方差分析時(shí)不論數(shù)據(jù)分組的多少，均只要進(jìn)行一次檢驗(yàn)，犯棄真錯(cuò)誤的幾率不大；且誤差自由度為3×(6-1)=15，誤差估計(jì)精度較高。進(jìn)行方差分析時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)組間差異不顯著，則認(rèn)為各組均值相同；若差異顯著，則可再比較哪組數(shù)據(jù)與其它不同。方差分析的基本原理相關(guān)術(shù)語(yǔ)試驗(yàn)因素試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的原因或原因組合稱(chēng)為試驗(yàn)因素。試驗(yàn)因素可按性質(zhì)的不同分為：可控因素（固定因素）和非控因素（隨機(jī)因素）。試驗(yàn)因素常用大寫(xiě)字母A、B、C、…等表示。因素水平每個(gè)試驗(yàn)因素的不同狀態(tài)（數(shù)量或性狀上的區(qū)別），稱(chēng)為因素水平。因素水平常用下標(biāo)如A1、B1、C1、…等表示。相關(guān)術(shù)語(yǔ)試驗(yàn)處理對(duì)受試對(duì)象給予的某種外部干預(yù)，是實(shí)驗(yàn)中實(shí)施的因子水平的一個(gè)組合。可分為單因素和多因素處理。當(dāng)實(shí)驗(yàn)中涉及的因素只有一個(gè)時(shí)，稱(chēng)為單因素處理，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。試驗(yàn)中涉及兩個(gè)或以上的因素，則稱(chēng)為多因素處理，這時(shí)實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是各因素某一水平的組合。試驗(yàn)誤差試驗(yàn)中無(wú)法控制的因素所引起的差異。試驗(yàn)單位在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體。重復(fù)在試驗(yàn)中將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上。在一個(gè)多處理試驗(yàn)中，可得到一系列不同的觀測(cè)值。造成觀測(cè)值不同的原因可能為處理效應(yīng)或誤差效應(yīng)。方差分析的基本思想就是將總變異分解為處理效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)誤差，并作出數(shù)量估計(jì)。通過(guò)計(jì)算處理效應(yīng)和誤差效應(yīng)的均方，可檢驗(yàn)處理間差異的顯著性。隨著試驗(yàn)處理因素的增多，總變異可分解為各種原因的變異。方差分析的基本原理數(shù)學(xué)模型處理A1A2…Ai…Akx11x21…xi1…xk1x12x22…xi2…xk2┆┆┆┆┆┆x1jx2j…xij…xkj┆┆┆┆┆┆x1nx2n…xin…xkn總和……平均……假定試驗(yàn)中有k組觀測(cè)數(shù)據(jù)，每組n個(gè)觀測(cè)值，則可用下表來(lái)表示：對(duì)第i個(gè)處理的第j個(gè)觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，有：依據(jù)對(duì)τi

的不同假定，數(shù)學(xué)模型可分為固定、隨機(jī)和混合模型。數(shù)學(xué)模型固定模型在固定模型中，各個(gè)處理的效應(yīng)值τi是固定的，各個(gè)處理的平均效應(yīng)τi=μi-μ

是一個(gè)常量，且有∑τi=0。試驗(yàn)因素的水平是根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康氖孪戎饔^選定而不是隨機(jī)選定，得到的結(jié)論也只適合于方差分析中所考慮到的幾個(gè)水平。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型隨機(jī)模型在隨機(jī)模型中，各處理的效應(yīng)值τi

不是固定值，而是隨機(jī)因素引起的效應(yīng)。隨機(jī)模型中τi是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，具有均值0和方差σ2。由隨機(jī)模型得出的結(jié)論可推廣到多個(gè)隨機(jī)因素的所有水平上。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型混合模型混合模型的試驗(yàn)中既包含固定效應(yīng)的因素，又包括隨機(jī)效應(yīng)的因素。不同模型在設(shè)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)推斷上有明顯不同，因此進(jìn)行方差分析的公式推導(dǎo)也有所不同。且模型的側(cè)重點(diǎn)也不一致，固定模型注重效應(yīng)值τi

的估計(jì)和比較，隨機(jī)模型側(cè)重效應(yīng)方差的估計(jì)和檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型平方和與自由度的分解平方和的分解引起觀測(cè)值變異的原因可分為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差，根據(jù)線性可加模型，有：平方和與自由度的分解平方和的分解每一個(gè)處理n個(gè)觀測(cè)值離均差平方和累加，有：平方和與自由度的分解平方和的分解把k個(gè)處理的離均差再累加，得：平方和與自由度的分解其中平方和與自由度的分解平方和與自由度的分解平方和的分解可見(jiàn)，平方和經(jīng)過(guò)分解后最終可得：總平方和＝處理間平方和＋處理內(nèi)平方和，即：平方和與自由度的分解平方和與自由度的分解平方和的計(jì)算SST、SSt和SSe的計(jì)算公式如下：平方和與自由度的分解平方和與自由度的分解自由度的分解總自由度可分解為處理間自由度和處理內(nèi)自由度?？傋杂啥龋教幚黹g自由度＋處理內(nèi)自由度，即：平方和與自由度的分解平方和與自由度的分解自由度的計(jì)算dfT、dft和dfe的計(jì)算公式為：處理間方差和處理內(nèi)方差的計(jì)算st2、se2的計(jì)算公式為：平方和與自由度的分解某銀行對(duì)下屬的三位出納進(jìn)行了一次考核，考察了這三位出納一周內(nèi)每天接待客戶(hù)的數(shù)量，結(jié)果示于下表。問(wèn)從表中的數(shù)據(jù)可否推斷出哪一位出納的業(yè)務(wù)能力較強(qiáng)？例題1周一周二周三周四周五周六張三455647515045李四555053595849王五546154585251例題1總平方和計(jì)算周一周二周三周四周五周六總均值張三45564751504552.67李四555053595849王五546154585251處理間平方和計(jì)算周一周二周三周四周五周六總均值張三49494949494952.67李四545454545454王五555555555555例題1周一周二周三周四周五周六均值總均