人教版八年級數(shù)學上冊12.2.2全等三角形的判定2(邊角邊)

八年級上冊12.2.2

三角形全等的判定

（第2課時）2021/5/91學習目標1.了解“SAS”公理的形成過程。2.掌握“SAS”公理的幾何意義，會用定理進行推理證明。3.注意：掌握“SSA”不能保證兩個三角形全等的反例圖形的幾何意義。自學指導自學課本：第37-39頁，包括課后練習2021/5/92

三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）。ABCDEF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符號語言表達為：三角形全等判定方法1知識回顧:2021/5/93C2021/5/94D2021/5/95

三步走：①準備條件②擺齊條件③得結論注重書寫格式2021/5/96除了SSS外,還有其他情況嗎？繼續(xù)探索三角形全等的條件.思考(2)三條邊(1)三個角(3)兩邊一角(4)兩角一邊當兩個三角形滿足六個條件中的三個時，有四種情況:SSS不能!?2021/5/97繼續(xù)探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖二在圖一中，∠A是AB和AC的夾角，符合圖一的條件，它可稱為“兩邊夾角”。符合圖二的條件，通常說成“兩邊和其中一邊的對角”2021/5/98尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法問題1先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即兩邊和它們的夾角分別相等）．把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們全等嗎？ABC2021/5/99ABCA′

DE尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法現(xiàn)象：兩個三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個三角形全等．

畫法：（1）畫∠DA′E=∠A；（2）在射線A′D上截取

A′B′=AB，在射線

A′E上截取A′C′=AC；（3）連接B′C′．B′

C′

2021/5/910三角形全等判定方法2用符號語言表達為：在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”)FEDCBAAC=DF∠C=∠FBC=EF尺規(guī)作圖，探究邊角邊的判定方法2021/5/911例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:在△ACB和△ADB中

AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB(公共邊）∴△ACB≌△ADB（SAS）課堂練習2021/5/912CABDO在下列推理中填寫需要補充的條件，使結論成立：(1)如圖，在△AOB和△DOC中已知AO=DO，BO=CO，求證：△AOB≌△DOCAO=DO(已知)______=_______()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC對頂角相等SAS證明：在△AOB和△DOC中2021/5/913(2).如圖，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB。求證：△AEC≌△ADB____=____(已知)∠A=∠A(公共角)____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS證明：在△AEC和△ADB中2021/5/914證明三角形全等的步驟：1.寫出在哪兩個三角形中證明全等。（注意把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上）.2.按邊、角、邊的順序列出三個條件，用大括號合在一起.3.寫出結論.每步要有推理的依據.2021/5/915在應用時，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，一是已知中給出的，二是圖形中隱含的（如公共邊，公共角、對頂角、鄰補角、外角、平角等）所以找條件歸結成兩句話：已知中找，圖形中看.平面幾何中常要說明角相等和線段相等，其說明常用方法：角相等――對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補角）相等；兩直線平行，同位角相等，內錯角相等；角平分線定義；等式性質；全等三角形的對應角相等.線段相等的方法――中點定義；全等三角形的對應邊相等；等式性質.2021/5/916如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求證：△ABD≌△ACD．課堂練習2021/5/917

已知：如圖，MA＝NB，MC＝ND，∠M＝∠N．求證：AB＝CD．∠M∠N

MCND

(SAS）

全等三角形的對應邊相等

等量減等量差相等

∴△AMC≌△BND∴AC=BD∴AC-BC=BD-BC∴AB=CD證明：在△AMC和△BND中課堂練習2021/5/918利用今天所學“邊角邊”知識，帶黑色的那塊．因為它完整地保留了兩邊及其夾角，一個三角形兩條邊的長度和夾角的大小確定了，這個三角形的形狀、大小就確定下來了．應用“SAS”判定方法，解決簡單實際問題問題2某同學不小心把一塊三角形的玻璃從兩個頂點處打碎成兩塊（如圖），現(xiàn)要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃．請問如果只準帶一塊碎片，應該帶哪一塊去，能試著說明理由嗎？2021/5/919問題:如圖有一池塘。要測池塘兩端A、B的距離，可無法直接達到，因此這兩點的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？AB例題講解，學會運用2021/5/920ABCED在平地上取一個可直接到達A和B的點C，連結AC并延長至D使CD=CA延長BC并延長至E使CE=CB連結ED，那么量出DE的長，就是A、B的距離.你知道為什么嗎？例題講解，學會運用按圖寫出“已知”“求證”，并加以證明已知：AD與BE交于點C，CA=CD，CB=CE.求證：AB=DE2021/5/921例題講解，學會運用AC=

DC（已知），∠1=∠2（對頂角相等），BC=EC（已知）

，證明：在△ABC和△DEC中，ABCDE12∴

△ABC≌△DEC（SAS）．∴

AB=DE（全等三角形的對應邊相等）．2021/5/922FABDCE例2：點E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF

求證：△AFD≌△CEB分析：證三角形全等的三個條件兩直線平行，內錯角相等∠A=∠C邊角邊AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）2021/5/923證明：∵AD//BC∴∠A=∠C（兩直線平行，內錯角相等）又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE

擺齊根據寫出結論FABDCE指范圍準備條件(已知）(已證）(已證）2021/5/924練習1、如圖，兩車從路段AB的一端A出發(fā)，分別向東，向西行進相同的距離，到達C、D兩地，此時C、D到B的距離相等嗎？為什么？ADCB2021/5/9251.已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD△ABD和△CBD全等嗎？學以致用分析:△ABD≌△CBD邊:角:邊:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊）證明：在△ABD和△CBD中

BA=BC（已知）∠ABD=∠CBD（已知）

BD=BD(公共邊）∴△ABD≌△CBD（SAS）追問：例1的已知條件不改變,問AD=CD嗎?BD平分∠ADC嗎？

2021/5/926已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD。問AD=CD，

DB平分∠ADC嗎？例題推廣ABCD2021/5/927ABCD變式：已知:AD=CD，BD平分∠ADC。

問∠A=∠C嗎？2021/5/9282.已知：如圖，AO=BO，DO=CO求證：AD∥CB歸納：判定兩條線段相等或二個角相等可以通過從它們所在的兩個三角形全等而得到。2021/5/929綜合提高已知：AB=AD，CB=CD.求證：AC⊥BD.分析：欲證AC⊥BD，只需證∠AOB=∠AOD，這就要證明

ABO≌ADO，它已經具備了兩個條件：AB=AD，OA=AO,所以只需證∠BAO=∠DAO，為了證明這一點，還需證明

ABC≌ADC.證明：在

ABC和ADC中，AB=AD(已知），CB=CD（已知），AC=AC(公共邊）∴

ABC≌ADC（SSS），∴∠BAO=∠DAO(全等三角形的對應角相等）在

ABO和ADO中，AB=AD(已知），

∠BAO=∠DAO(已證），AO=AO(公共邊）∴

ABO≌ADO（SAS），∴∠AOB=∠AOD(全等三角形的對應角相等）∴∠AOB=∠AOD=90°.∴AC⊥BD(垂直定義）.又∵∠AOB+∠AOD=180°(鄰補角定義）如右圖，2021/5/930如圖，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=

AD，∠B=∠B，但△ABC和△ABD不全等．

探索“SSA”能否識別兩三角形全等問題3

兩邊一角分別相等包括“兩邊夾角”和“兩邊及其中一邊的對角”分別相等兩種情況，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的條件能判定兩個三角形全等嗎？ABCD2021/5/931

畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm

，AC=DF=3cm

．觀察所得的兩個三角形是否全等？

兩邊和其中一邊的對角這三個條件無法唯一確定三角形的形狀，所以不能保證兩個三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．探索“SSA”能否識別兩三角形全等2021/5/932課堂練習1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求證：△ABC≌△ADE.122、已知：如圖，AE是△ABC的中線，D是BC延長線上一點，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.求證：AD＝2AE.ABCDE【點評】這里∠1和∠2不是所證三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的內角.所以須證∠BAC＝∠DAE，才能滿足①、②、③三個條件.

【分析】通過添加輔助線，構造全等三角形是一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，常延長中線成兩倍關系，構成全等三角形.F2021/5/933證明題：3．已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.

求證:AB＝CD.【提示】連結AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.

4．已知:如圖，∠1＝∠2，BD＝CA.

求證:∠A＝∠D.

【提示】先證ΔABC≌ΔADC2021/5/934求證:(1)AE＝CF；(2)AE∥CF；(3)∠AFE＝∠CEF.5．已知:如圖，B、F、E、D在一條直線上，AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D.

【提示】先證ΔABE≌ΔDCF6．已知：如圖，ABC為直線，EB⊥AC，BD＝BC，AB＝BE.

求證：AF⊥EC.【提示】求證△ABD≌△EBC，

得∠A＝∠E，因為∠ADB＝∠EDF，∠A＋∠ADB＝90°，所以∠E＋∠EDF＝90°，

AF⊥EC.2021/5/935已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，垂足分別是A，D。求證：△EAB≌△FDCAEBCDF∟∟90°附加題2021/5/936已知：如圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB

即∠DAB=∠EAC

在△ABD和△ACE中，

AB=AC