對(duì)數(shù)函數(shù)及性質(zhì)習(xí)題課

對(duì)數(shù)函數(shù)及性質(zhì)習(xí)題課1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)

叫做對(duì)數(shù)函數(shù).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).圖在下一頁(yè)y=logax(a>0,且a≠1)3.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)互為

.它們的圖象關(guān)于

對(duì)稱.反函數(shù)y=x函數(shù)y=logax

（a>0,a1）a的取值0<a<1a>1定義域值域R圖象圖象特征在y軸的右側(cè)，過(guò)定點(diǎn)（1，0）當(dāng)x>0且x→0時(shí),圖象趨近于

y軸正半軸.當(dāng)x>0且x→0時(shí)，圖象趨近于

y軸負(fù)半軸.單調(diào)性在(0,+∞)上是減函數(shù).在(0,+∞)上是增函數(shù).函數(shù)值的變化規(guī)律當(dāng)0<x<1時(shí)，y∈(0,+∞)當(dāng)

x=1

時(shí)，y=0;當(dāng)

x>1時(shí),y<0.當(dāng)

0<x<1時(shí)，y<0;當(dāng)x=1時(shí)，

y=0

;當(dāng)x>1時(shí)，

y>0.返回目錄一比較大小比較大?。海?），；（2）,;（3）,.【分析】從對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及圖象變化規(guī)律入手.【解析】（1）∵函數(shù)y=在(0,+∞)上遞減，又∵,∴.（2）借助y=及y=的圖象，如圖所示，在(1,+∞)內(nèi)，前者在后者的下方，∴.（3）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，>0,<0,∴>.【評(píng)析】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常用方法：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)相同，真數(shù)不同時(shí)，用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)不同而真數(shù)相同時(shí)，常借助圖象比較，也可用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)后比較；（3）當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不同時(shí)，需尋求中間值比較.二求定義域求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）【分析】注意考慮問(wèn)題要全面，切忌丟三落四.【解析】（1）由log0.5(4x-3)≥04x-3>0得0<4x-3≤1,∴<x≤1.∴函數(shù)的定義域是.(2)由16-4x>0x<2x+1>0得x>-1x+1≠1x≠0.∴-1<x<0或0<x<2.∴函數(shù)的定義域是(-1,0)∪(0,2).【評(píng)析】求函數(shù)定義域?qū)嵸|(zhì)上就是據(jù)題意列出函數(shù)成立的不等式（組）并解之，對(duì)于含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)定義域的求解，必須同時(shí)考慮底數(shù)和真數(shù)的取值條件，在本例（2）（4）中還用到指數(shù)、對(duì)數(shù)的單調(diào)性.三求值域求下列函數(shù)的值域：（1）（2）（3）y=loga(a-ax)(a>1).【分析】復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題，要先求函數(shù)的定義域，再由單調(diào)性求解.【解析】（1）∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16,又∵-x2-4x+12>0,∴0<-x2-4x+12≤16.∵y=logx在(0,16］上是減函數(shù),∴y≥log16=-4.∴函數(shù)的值域?yàn)椋?4,+∞).（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,又∵x2-2x-3>0,且y=logx在(0,+∞)上是減函數(shù),∴y∈R,∴函數(shù)的值域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.（3）令u=a-ax,∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1,∴y=loga(a-ax)的定義域?yàn)閧x|x<1},∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,∴y=loga(a-ax)<logaa=1,∴函數(shù)的值域?yàn)閧y|y<1}.【評(píng)析】求函數(shù)的值域一定要注意定義域?qū)λ挠绊?，然后利用函?shù)的單調(diào)性求之，當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí)需要討論參數(shù)的取值.四求最值已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大值及當(dāng)y取最大值時(shí)x的值.【分析】要求函數(shù)y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的定義域，最后用換元法求出函數(shù)的值域.【解析】∵f(x)=2+log3x,∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,9］,∴要使函數(shù)y=［f(x)］2+f(x2)有定義，必須1≤x2≤91≤x≤9.∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.令u=log3x，則0≤u≤1.又∵函數(shù)y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函數(shù),∴當(dāng)u=1時(shí)，函數(shù)y=(u+3)2-3有最大值13.即當(dāng)log3x=1,即x=3時(shí)，函數(shù)y=［f(x)］2+f(x2)有最大值為13.【評(píng)析】求函數(shù)的值域和最值，必須考慮函數(shù)的定義域，同時(shí)應(yīng)注意求值域或最值的常用方法.五求單調(diào)區(qū)間求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)=；（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).【分析】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，宜分解為兩個(gè)基本函數(shù)后解決.【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2+.∵由-2x2+x+6>0知-<x<2,∴當(dāng)x∈時(shí)，隨x的增大t的值增大，從而logt的值減?。划?dāng)x∈時(shí)，隨x的增大t的值減小，從而logt的值增大.∴函數(shù)y=log(-2x2+x+6)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）先求此函數(shù)的定義域，由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x-3)>0，得x<-或x>3.易知y=log0.1μ是減函數(shù)，μ=2x2-5x-3在上為減函數(shù)，即x越大，μ越小，∴y=log0.1u越大；在(3,+∞)上函數(shù)μ為增函數(shù)，即x越大，μ越大，∴y=log0.1μ越小.∴原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(3,+∞).【評(píng)析】復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法應(yīng)注意三點(diǎn)：一是抓住變化狀態(tài)；二是掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是注意復(fù)合函數(shù)的定義域.六求變量范圍已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】若f(x)的定義域?yàn)镽，則對(duì)一切x∈R,f(x)有意義；若f(x)值域?yàn)镽，則f(x)能取到一切實(shí)數(shù)值.【解析】（1）要使f(x)的定義域?yàn)镽，只要使μ(x)=ax2+2x+1的值恒為正值，∴a>0Δ=4-4a<0，（2）若f(x)的值域?yàn)镽，則要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).當(dāng)a<0時(shí)，這不可能；當(dāng)a=0時(shí)，μ(x)=2x+1∈R成立；當(dāng)a>0時(shí)，μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞)，需

a>0Δ=4-4a≥0綜上所述，0≤a≤1.【評(píng)析】本題兩小題的函數(shù)的定義域與值域正好錯(cuò)位.（1）中函數(shù)的定義域?yàn)镽,由判別式小于零確定；（2）中函數(shù)的值域?yàn)镽，由判別式不小于零確定.七對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用已知函數(shù)f(x)=.（1）判斷f(x)的奇偶性；（2）證明：f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).【分析】由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的證明方法作出證明.【解析】（1）由>0解得f(x)的定義域是(-∞,-1)∪(1,+∞),∵f(-x)====-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).（2）證明:設(shè)x1,x2∈(1,+∞)，且x1<x2,u(x)==,則【評(píng)析】無(wú)論什么函數(shù)，證明單調(diào)性、奇偶性，定義是最基本、最常用的方法.u(x1)-u(x2)=∵x2>x1>1,∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0,∵y=logu在(0,+∞)上是減函數(shù),∴l(xiāng)ogu(x1)<logu(x2),即log<log,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).八反函數(shù)已知a>0,且a≠1，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是（）【分析】分a>1,0<a<1兩種情況，分別作出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定關(guān)系.B【解析】解法一：首先，曲線y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，從而排除A，C.其次，從單調(diào)性著手，y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反，又可排除D，故只能選B.解法二：若0<a<1，則曲線y=ax下降且過(guò)點(diǎn)(0,1)，而曲線y=loga(-x)上升且過(guò)(-1,0)，而選項(xiàng)均不符合這些條件.若a>1，則曲線y=ax上升且過(guò)點(diǎn)(0,1)，而曲線y=loga(-x)下降且過(guò)(-1,0)，只有B滿足條件.解法三：如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象為y=logax的圖象，因?yàn)閥=logax與y=ax互為反函數(shù)（圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱），則可直接選B.【評(píng)析】本題可以從圖象所在的位置及單調(diào)性來(lái)判別，也可利用函數(shù)的性質(zhì)識(shí)別圖象，特別注意底數(shù)a對(duì)圖象的影響.要養(yǎng)成從多角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)思維的靈活性.原函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱是其重要性質(zhì).1.如何確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？（1）圖象法：此類方法的關(guān)鍵是圖象變換.（2）形如y=logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的確定方法：首先求滿足f(x)>0的x的范圍，即求函數(shù)的定義域.假設(shè)f(x)在定義域的子區(qū)間I1上單調(diào)遞增，在子區(qū)間I2上單調(diào)遞減，則①當(dāng)a>1時(shí)，原函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間相同，即在I1上單調(diào)遞增，在I2上單調(diào)遞減.②當(dāng)0<a<1時(shí)，