專題17 全等三角形判定與性質(zhì)定理【有答案】

專題17全等三角形判定與性質(zhì)定理1.基本概念（1）全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.（注意對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置上）（3）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).（4）對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.（5）對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.2．全等三角形的表示全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。4．三角形全等的判定定理（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（4）角角邊定理：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成AAS）.5．直角三角形全等的判定：HL定理：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）【例題1】（2020?甘孜州）如圖，等腰△ABC中，點(diǎn)D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC【答案】B【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．∵△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∴當(dāng)AD＝AE時(shí)，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ACD；當(dāng)∠AEB＝∠ADC，則根據(jù)“AAS”可判斷△ABE≌△ACD；當(dāng)∠DCB＝∠EBC，則∠ABE＝∠ACD，根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【答案】C．【解析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個(gè)判斷即可．A．∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，本選項(xiàng)正確；D．AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤?！纠}2】（2020?北京）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明△ABD≌△ACD，這個(gè)條件可以是（寫出一個(gè)即可）．【答案】BD＝CD．【解析】由題意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一組邊對(duì)應(yīng)相等，可證△ABD與△ACD全等．∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD與△ACD中AB=AC∠ABD=∠ACD∴△ABD≌△ACD（SAS），【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019齊齊哈爾）如圖，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC≌△DEF，則還需添加的一個(gè)條件是（只填一個(gè)即可）．【答案】AB＝DE．【解析】添加AB＝DE；∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）【例題3】（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，ED⊥AB于點(diǎn)D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．【答案】見解析?！窘馕觥坑伞癆AS”可證△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論．證明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求證：△ABC≌DEF；（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數(shù)．【答案】見解析。【解析】求出AC=DF，根據(jù)SSS推出△ABC≌△DEF．由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：∠A=∠EDF，進(jìn)而得出結(jié)論即可．證明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°一、選擇題1．（2020?鄂州）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA＝∠OHB＝90°，由AAS證明△OGA≌△OHB（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出OM平分∠AMD，④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；∵∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OGA和△OHB中，∵∠OGA=∴△OGA≌△OHB（AAS），∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，在△AMO與△DMO中，∠AOM=∴△AMO≌△OMD（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).2.如圖，若△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°，則∠E等于（）A．35° B．45° C．60° D．100°【答案】D．【解析】∵△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠F=35°∴∠D=∠A=45°∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=100°．3.（2020安順模擬）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．∵AB=AC，∠A為公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量關(guān)系可得AD=AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因?yàn)镾SA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件．4．如圖，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c【答案】D．【解析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c5．如圖，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D、E，AD=3，BE=1，則DE的長(zhǎng)是（）A． B．2 C．2 D．【答案】B．【解析】根據(jù)條件可以得出∠E=∠ADC=90°，進(jìn)而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=26．如圖，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，則對(duì)于結(jié)論①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正確；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②錯(cuò)誤；EF=BC，故③正確；∠EAB=∠FAC，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個(gè)．二、填空題7．（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個(gè)條件是．（只填一個(gè)即可）【答案】AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．【解析】利用全等三角形的判定方法添加條件．∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴當(dāng)添加AD＝AC時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠D＝∠C時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠ABD＝∠ABC時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABD≌△ABC．8．（2020?遼陽(yáng)）如圖，在△ABC中，M，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若BC＝4，則CD的長(zhǎng)為．【答案】2【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=12BC＝2，MN∥BC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD＝MN＝∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=12BC＝2，MN∥∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．9．（2020?黑龍江）如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【答案】AB＝ED．【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF等，只要符合全等三角形的判定定理即可．添加的條件是：AB＝ED，理由是：∵在△ABC和△EDF中∠B=∴△ABC≌△EDF（ASA）10.(2019四川成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長(zhǎng)為______.【答案】9【解析】此題考察的是全等三角形的性質(zhì)和判定，因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，所以有AB=AC，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，所以△ABD△ACE(ASA)，所以BD=二次，EC=9.11.（2019?湖南邵陽(yáng)）如圖，已知AD＝AE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ADC≌△AEB，你添加的條件是．（不添加任何字母和輔助線）【答案】AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。【解析】根據(jù)圖形可知證明△ADC≌△AEB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用ASA.SAS、AAS證明兩三角形全等．∵∠A＝∠A，AD＝AE，∴可以添加AB＝AC，此時(shí)滿足SAS；添加條件∠ADC＝∠AEB，此時(shí)滿足ASA；添加條件∠ABE＝∠ACD，此時(shí)滿足AAS，故答案為AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD。12．（2019?山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】8．【解析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD＝90°，得到長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，由線段中點(diǎn)的定義得到AD＝BD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，求得CD＝2，于是得到結(jié)論．∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案為：8．三、解答題13．（2020?南充）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求證：AB＝CD．【答案】見解析?！窘馕觥孔C明△ABC≌△CDE（ASA），可得出結(jié)論．證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，∴∠ACB＝∠CED．在△ABC和△CDE中，∠ACB=∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AB＝CD．14．（2020?硚口區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE．【答案】見解析?！窘馕觥恳CBD＝CE只要證明AD＝AE即可，而證明△ABE≌△ACD，則可得AD＝AE．證明：在△ABE與△ACD中∠A=∴△ABE≌△ACD．∴AD＝AE．∴BD＝CE．15．（2020?銅仁市）如圖，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析?！窘馕觥渴紫壤闷叫芯€的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，進(jìn)而利用全等三角形的判定定理ASA，進(jìn)而得出答案．證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∠B=∴△ABC≌△DEF（ASA）．16．（2020?無錫）如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．【答案】見解析?！痉治觥浚?）先由平行線的性質(zhì)得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB＝∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線的判定可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，∵AB=CD∠B=∠C∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．17．（2020?溫州）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE．（2）連結(jié)AE，當(dāng)BC＝5，AC＝12時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【答案】見解析。【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△DCE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，∴AE=AC218．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點(diǎn)D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長(zhǎng)CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】見解析?！痉治觥浚?）①證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論；②根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，證明△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分線，證明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分線，可得結(jié)論．【解答】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)，AC∥DM，∴BMBC即M是BC的中點(diǎn)，∵EP＝CE，即E是PC的中點(diǎn)，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BE=12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是線段BP的垂直平分線，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如圖2，延長(zhǎng)DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠CDA＝∠A＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分線，∴∠QFE＝